职高复习第一轮《数列》教案

等是数列

一、高考要求：

掌握等差数列的概念，掌握其等差中项、通项公式及前n项和公式,并会用公式解简单的问题.

二、知识要点：

1.等差数列的概念：

一般地，如果一个数列从它的第2项起每一项与它的前一项的差都等于同一常数，则这个数列叫做

等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d来表示.

公差为0的数列叫做常数列.

2.等差数列｛/｝的通项公式+（〃一1）/

3.等差中项的概念：

一般地，如果在数a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.

4等差数列｛*｝的前n项和公式:S〃="⑷;为）或

三、典型例题：

例1:已知牝="，恁=5,求等差数列｛凡｝的通项公式及前n项的和公式.

例2:在等差数列｛%｝中,S?=4a=16,S〃=121,求n.

例3：已知数列｛〃“｝是等差数列，且q-%+。9-％3+。17=U7，求为+%5的值.

例4:已知数列｛〃“｝的前n项的和为=n2+3〃,求证数列｛%｝是等差数列.

例5:等差数列｛〃“｝中，叫<0,59=部2,该数列的前多少项的和最小？

四、归纳小结：

1.判断一个数列是等差数列的方法：

（1）%="（nN2,d为常数）0｛4｝是公差为d的等差数列；

（2）2«„=a„_,+a/l+l（n>2）<=>｛%｝是等差数列;

（3）。”=A〃+b（k,b为常数）0｛%｝是公差为k的等差数列；

（4）S〃=42十加（A,B为常数）=｛%｝是等差数列.

2.三个数a.b,c成等差数列的充要条件是a+c=2b（b是a和c的等差中项）.

等差中项描述了等差数列中相邻三项之间的数量关系：%7+。向=2册（*2）,可推广为:若项数

m,n,p成等差数列，则am+ap=2an.

3.公差为d的等差数列｛〃”｝的主要性质：

（l）d>0时,｛册｝是递增数列；d«0时,｛““）是递减数列；d=0时,｛册｝是常数列；

(2)an=am+nsNQ;

（3）若m+n=p+q（m.〃、p、4wN*）,则ani+an=ap+aq\

（4）数列｛也+b］（kb是常数）是公差为Xd的等差数列;

（5）Sn,S2n-Sn,S3n-S2„成等差数列.

4.解题的基本方法：

（1）抓住首项与公差，灵活运用定义、通项公式及前n项和公式是解决等差数列问题的关键.

（2）等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量:%,S“，知道其中任意三个就可以列

出方程组求出另外两个（俗称“知三求二”）.

（3）巧设未知量.若三数成等差数列，可设这三数分别为ada,a+d（其中d为公差）;若四数成等差数

列，可设这四数分别为a-3d,ada+d,a+3d（其中2d为公差）.

（4）若a,b,c成等差数列，常转化为a+c=2b的形式去运用;反之，求证a,b,c成等差数列,常改证

a+c=2b.

五、基础知识训练：

（一）选择题：

1.已知等差数列例"中,%=10。2,幺=2002,d=100,则项数n的值是（）

A.8B.9C.11D.12

2.已知等差数列｛%｝中,%=1,43=5,则。10=（）

A.19B.21C.37D.4I

3.等差数列伍〃｝中,。1=3,q0c=36,则a3+。98=（）

A.36B.38C.39D.42

4.在1和100之间插入15个数，使它们同这两个数成等差数列，则其公差（）

10110199

A・-----D.-----C.----DT

17161716

5.已知a,b,c£R,那么“a-2b+c=0”是“a,b,c成等差数列''的（）

A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知a,b,c的倒数成等差数列，且a.b,c互不相等，则仁心等于（）

b-c

ASB.£CX

cac

7.已知数列和x，A，6,z?3，y都是等差数列，且人工）、则等一7^=（）

344

A.-B.-C.-D.-

4534

8.一个等差数列的首项是32,若这个数列从第15项开始小・1,那么这个数列的公差d的取值范围

AJ31n,31八31,」31n31」31

A.d<B.d>C.Kd<D.------<d<----

141313141314

9.在4ABC中，若三个角A、B、C成等差数列，且lg〃、IgbJgc也成等差数列，则△ABC一定是（）

A.有一个角是60。的任意三角形B.有一个角是60o的直角三角形

C.正三角形D.以上都不正确

10.在等差数列｛%｝中，已知4+%=12,那么它的前8项和4=（)

A.12B.24C.36D.48

11.已知等差数列｛。〃｝的公差为1,且为+。2+•,,+々98+。99=99,则%+%+…++为9的值（）

A.99B.66C.33D.0

12.等差数列｛〃“｝中，%+卬0=10,6729+。30=204」外,+。隈0=（）

A.55B.110C.15D.以上都不对

（二）填空题：

13.已知等差数列｛。〃｝中,+。3+。10+1=48,则为+g=.

14.等差数列｛。“｝中，已知am=n,a„=m,则annn=.

15.已知三个数成等差数列，它们的和为18,它们的平方和为116,则这三个数依次

为.

16.Iog64与log69的等差中项为.

（三）解答题：

17.已知｛凡｝是等差数列,公差为d,前n项和为S.：

⑴q=1,"=-2,〃=5,求明及S〃；

（2）,/=3,〃=31,S4=0,求为及an;

（3）d--4,an--80,Sn=-840，求生及〃；

等比数列

一、高考要求：

掌握等比数列的概念，掌握其等比中项、通项公式及前n项和公式,并会用公式解简单的问题.

二、知识要点：

I.等比数列的概念：

一般地，如果一个数列从它的第2项起每一项与它的前一项的比都等于同一常数，则这个数列叫做

等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q来表示.

公比为1的数列叫做常数列.

2.等比数列｛4｝的通项公式:%=°闯”，

3.等比中项的概念：

一般地，如果在数a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.

记作:G?=必或G=±4cib.

4.等比数列｛4｝的前n项和公式:q"时,=一夕"）或s〃=幺二理卬=1时,S.=啊.

1-q\-q

三、典型例题：

例1:在等比数列｛为｝中，已知=189,%=96,q=2,求a,和n.

例2:设等比数列｛%｝的公比与前n项和分别为q与S“，且q■I,5=8,求上％的值.

1+4

例3:数列｛%｝中,S“=1+M伏工0/w1).

(1)求证:｛〃“｝是等比数列；(2)求明.

例4:已知等差数列｛〃〃｝的公差和等比数列｛2｝的公比都是d,dwl,q=比吗0=%.

(1)求.与d的值；

(2)仇6是不是｛%｝中的项?为什么?

例5:有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和为8,第

二个数与第三个数的和为4,求这四个数.

四、归纳小结：

1.判断一个数列是等比数列的方法：

⑴%=afi_1-q(n>2,q是不为零的常数)u>｛an｝是公■比为q的等比数列；

(2)%2=册_】•M+](nN2,a“•%_]•%+]工0)=｛%｝是等比数列；

(3)/=c"/"(c,q均是不为零的常数)=｛%｝是首项为cq,公比为q的等比数列.

2.三个数a,b,c成等比数列的必要条件是〃=ac^b=±y[ac(b是a和c的等比中项).

等比中项描述了等比数列中相邻三项之间的数量关系:%T・%+i=%2(n22),可推广为：

2

若项数m,n,p成等差数列，则q”-ap=an.

3.公比为q的等比数列｛七｝的主要性质：

⑴当q>l,4>0或0<"1吗<0时,｛%｝是递增数列;当q>l,q<0或0<夕<1，6>0时,｛凡｝

是递减数列；当q=l时,｛%｝是常数列；当q<0时,｛%｝是摆动数列.

(2)%⑺、〃£乂)；

(3)若m+n=p+q(/〃、〃、p、qeN+),则

(4)数列"*｝(入为不等于零的常数)是公比为q的等比数列；

(5)S.,S2“-S“,S3”-S2〃成等比数列.

4.解题的基本方法：

(1)抓住首项与公比，灵活运用定义、通项公式及前n项和公式是解决等比数列问题的关键.

(2)等比数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量:％,4〃,a〃,S〃,知道其中任意三个就可以列

出方程组求出另外两个(俗称“知三求二”).

(3)巧设未知量.若三数成等比数列，可设这三数分别为0,。,<的(其中q为公比);若四数成等比数

q

列且公比为正整数时，可设这四数分别为£,凹,的,叩3（其中夕2为公比）.

qq

（4）若a,b,c成等比数列，常转化为/=改或力二±疝的形式去运用;反之，求证a,b,c成等比数列,

常改证〃2=ac或b=±4ac.

五、基础知识训练：

（一）选择题：

1.数列1,4,..1999,...（）

A.可能是等差数列，但不是等比数列B.可能是等差数列，也可能是等比数列

C.可能是等比数列，但不是等差数列D.既不是等差数歹工也不是等比数列

2.等比数列的前3项为a、2a+2、3a+3,则-13,为这个数列的（）

2

A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项

3.｛册｝为等比数列，若"=2'=4,,则S8的值等于（）

（

A.12B.16C.24D.32

4.等比数列｛%｝的前n项和为S”，已知々3=252+1,4=2S3+1,,则公比q的值为（）

A.2B.3C.6D.12

5.｛«“｝为等比数列，且%v0,a2a4+2%%+4%=25,则%+%=（）

A.-A.-5B.-10C.5D.10

aa

6.设｛an）是由正数组成的等比数列，且=81，则log3\+bg32+1。83%+…+1。83"的值是

A.5B.10C.20D.30.

7.在1与16之间插入三个正数a,b,c,使l,a,b,c/6成等比数列，那么b等于（）

17

A.2B.4C.8D.—

2

8.设正数a,b,c成等比数列，若a与b的等差中项为A，b与c的等差中项为小,则幺+工的值为（）

A.lB.2C.4D.8

9.Igajg/Mgc成等差数列是a,b,c成等比数列的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件

10.数列1,1+2,1+2+4,1+2+4+8,1+2+4+8+16,…的一个通项公式是（）

A.2w+,-1B.2”一1C.2n-1-1D.2"2

（二）填空题：

11.等比数列a,-2hc,-54,…的通项公式为.

12.数列伍”｝的前n项和S“=3”+。，要使数列｛%｝是等比数列，则a的值是.

13.在等比数列｛%｝中，已知q+%+a3=30,4+%+4=60,那么q0+«II+%2二-

14.已知公差不为零的等差数列｛%｝中,%=1。，且%，%，卬成等比数列,那么44

(三)解答题；

15.已知｛%｝是等比数列,公比为q,前n项和为S“：

131

(1)々1=25=26,求4及。3；(2)<7=彳,55=彳,求。1及。5；

28

3

(3)q=-7,%=96,求q及$4;

16.已知等比数列｛%｝为递减数列,《+%=66,。2。”-1=⑵，其前n项和S”=126,求公比q.

数列求和

一、高考要求：

掌握常用的数列求和的方法.

二、知识要点：

特殊数列求和的常用方法主要有：

(1)直接由等差、等比数列的求和公式求和；

(2)分组转化法求和，把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合,或把整个数列分成两部分,

使其转化成等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法；

(3)拆项相消法求和，把数列的通项拆成两项之差,即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求

和时一些正负项相互抵消,于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为拆项

相消法；

(4)错位相减法求和，如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此

时求和可采用错位相减法；

(5)倒序相加求和，如果一个数列｛/｝,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把

正着写和与倒着写和的两个式子相力叱就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加

法.

数列的迪项公式％与前n项和公式S”之间的关系：*;I二八、

三、典型例题：

例1:求数列•，…的前n项和.

24816

J111

例2:求数列…的前n项和.

’(2〃-1)(2〃+1)'

2

例3:求和：S0-l+2x+3x+…十,LV"T.

例4:求证:+3C：+5C；+•••+(2/?+1)C：=(n+1)2”.

四、归纳小结：

应用特殊数列求和的常用方法要注意：

(1)如果一个数列是等差或等比数列，求和直接用公式，注意等比时q=l的讨论；

(2)分组求和，即转化为几组等差或等比数列的求和；

(3)拆项求和，以期正、负相消，或转化为几个数列的和差形式；

(4)错项相减求和，主要应用于一个等差与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和.如等比

数列的求和公式的推导；

(5)倒序相加求和，主要应用于与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和的数列求和.如等差

数列的求和公式的推导.

五、基础知识训练:

（一）选择题：

111—!一，…,则其前n项的和5„为（）

1.已知数列:

M.2^3374〃（〃+1）

1〃+2

A.1+—B.1----C「.--------

nn+\*

2.数列1,〃,/,/,…的前n项的和S.二（）

A."BX厂7皿(a*1)

1-a1-a

n(n=1)n(n=1)

3.数列9,99,999,…的前n项和是()

A.—(10n-1)+/?B.10,r-lC.—(10z,-1)D.—(10z,-I)-/?

999

4.数列1x：.2xL,3xL4x」-,…的前n项和是()

24816

A.2----------B.2——C.-(n2+n+2)---+1)+1

2"2n+12n'12"22n

5.数列S„=14-(1+-)+(14--+-)+•••+(1+-+-4-)

224242n~l

flc-1cCC1c“-1

A.—B.2〃H-------C.2/1-2+------D.......-

2〃2"-2"2〃一

（二）填空题:

6.1-2+3-4+…+99-100的值是;1+73+3-+-...+81的值是,

7.数列｛n｝的前n项和是.

1

8.数列｛%｝的通项为明，贝”100二

+1+y/n

9.------------->>-------------1-------------+...+----------------------

1x2x32x3x43x4x5n(n+1)(〃+2)

10.已知某数列的通项公式为-2”-1,则2047是这个数列的（）

A.第A项B.第11项C.第12项D.第D项

II.已知数列出、瓜3,26,…,那么6是这个数列的（)

A.第A项B.第11项C.第C项D.第13项

12.已知%=3,%=6,4+2=%+i—,那么%的值是(

A.3B.6C.-3D.-6

13.已知数列｛%｝满足4]=1,%+[=log23"",则的值是（)

D.(log23尸

A.4log23B.5log23C.(log23)

14.（97高职）数列｛““｝的前n项和S“=〃（〃+1）,则它的第n项％是（）

A.nB.n（n+1）C.2nD.2"

15.巳知数列｛%｝的通项公式为由=51-3〃,那么数列｛七｝的前n项和S”达到最大值时n=（）

A.15B.18C.16或17D.19

(二)填空题：

17.数列7,77,777,7777,77777,…的一个通项公式是.

18.已知数列｛〃“｝的前n项和S“=/J+1,则它的第n项氏=.

19.已知数列｛〃“｝的前n项和S”=2〃2-3〃+1,那么。4+为+…+a\Q=

（三）解答题：

20、已知数列｛为｝的前n项和S〃，求数列｛/｝的通项公式：

（1）S”=（-1严〃；⑵S“=2〃2+〃+3.

21、已知数列｛凡｝的前n项和S“=/+〃〃，数列｛2｝的前n项和7；=3/-2〃,若％。二仇°,求p

的值.

22、已知数列｛%｝的前n项用S”=2/+3〃+1，求明.

23、写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下面各列数：

（1）1,3,5.7;（2）1,3,6,10;

198192549

（3）Q,I，5,Q；（4）7,-4

JjJ24Oo

24、求数列。一1,〃2-2]-3,…"一〃,…的前n项的和.

25、求数列（〃-1）,2（二-1）,3（43—1）…,〃（/—1）,..的前门项的和.

26、求数列（。-1）,2面-1）,3（/-1）”..』（优一1）”..的前11项的和.

2_1_1

27、已知数列

T'T+2，l+2+31+2+3+…〃’…’求该数列的前0项和.

一、选择题（10小题，每小题5分，共50分）

1、设3"=2,3也8,3，=32,则数列a,b,c(?)

A）是等差数列但不是等比数列B）是等比数列但不是等差数列

C）既是等差数列又是等比数列D）既不是等差数列也不是等比数列

2、在等差数列｛七｝中，6°,是方程22-5_+2=0的两根，则前20项之和S2o=（?）

A)-25???B)-20???C)10???D)25

3、一个等差数列的首项是32,若此数列从第15项开始小于1,则此数列的公差d的取值范围是（?)

3131

A)--<J<--??????

1314BY""号

3131

C)d>_____9999999999999D)d<_____

13............14

4、在等差数列｛a“｝中，S/Zn,S〃=2m,则公差d=()

2(/??-n)门cc、小4(〃？+n)八rnn

---------??B)----------C)-------------???D)----------

mn2(m+n)mn4(〃i+n)

5、若等差数列｛a.｝的公差为2,KSloo=120,则a2+a,+a6+…+am=()

A)100???B)110C)120?