集合（练习）解析卷 -2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区适用）

第1讲集合•分类训练（解析卷）

答案速查表

12345

DCDBC

678910

CA(-2,0)CB

1112131415

BCDBC17AC

1617181920

BCDDC

2122232425

DCC4A

2627282930

BCCBA

3132333435

1

BCABDCC

2

3637383940

-1CCC31

4142434445

CABCBDDC

464748

830B

考点一：集合的表示与基本运算

考法1:解不等式或求函数定义域/值域进行集合运算

1.（2026・八省T84月联考）（单选）已知集合力={-2,-1。1},/?={x|2x2+3x<0},

则力n8=（）

A.{-2,-1,0}B.{-2,1}C.{0,1}D.{-1,0}

【答案】D

【解析】由27+3%工0,得一/.90,即8=[一a0].

必={_2,_1,0,1},

MCB={-1,0}.

对应选项D.

【点拨】解一元二次不等式求出集合B的范围，再与离散集合A求交集即可.

2.(单选)已知集合4={用"-2)(4-工)>0},8=卜|£>0卜则(C/)U(CRB)=

()

A.(2,3)B.[3,4]

C.(-8,2]U[3,+8)D.(-8,3]U[4,+8)

【答案】C

【解析】A=(x|(x-2)(4-x)>0)=(x|2<x<4),即/=(2,4);

B={x|±>oj={x\x<3}»即8=(—8,3).

=(-oo,2]U[4,4-oo),CRB=[3,+oo).

••.(CRA)U(CRB)=(-co,2]U[3,+oo).

对应选项C.

【点拨】注意补集运算时端点值的取舍，开区间的补集端点为闭.

3.(2026•八省T84月联考)(单选)已知集合用={%|log3%V2},/V={x|Vx^2<3),

则Mn/V=()

A.(-oo,9)B.(-oo,ll)C.(0,11)D.[2,9)

【答案】D

【解析】M={x|log3x<2}={x|0<x<9),即M=(0,9)：

N={x|Vx^2<3}={x|2<x<11},即N=[2,11).

...McN=[2,9).

对应选项D.

【点拨】求解对数不等式和偶次根式不等式时，必须优先保证真数大于0和被开方数非奂.

4.（2026•江西南昌•一模）：单选）己知集合4=*|sinx之g},B={%|0<%<TT},则4n

B=（）

A.[0由UB.吟片]C.[。币U片同D.已争

【答案】B

【解析】由sinxN；及万€[0,可，结合正弦函数图象可得三》工1

对应选项B.

【点拨】结合正弦函数的图象或三角函数线，在给定区间内直接读出三角不等式的解集.

5.（2025・江西上进・4月联考）（率选）已知集合4=卜€2|高£z},B={x|log2x<2},

则4nB=（）

A.{2}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}

【答案】C

【解析】・・・占62且不€2,

'-2x-1=1.或2%-1=-1,或2%-1=3或2%-1=-3,解得x=1或x=0或％=2或%=-1.

•••?1={-1,0,1,2）.

由log2%<2,得0VxV2?=4,即8={x|0<x<4].

Mn8={1,2}.

对应选项C.

【点拨】利用整除性质求出集合A的整数元素，结合对数不等式求出集合B的范围.

6.（2026•江西宜春十校•二模）（单选）设集合A={x||x|W1},B={y\y=ex},则An

D=（）

A.0B.（-1,0）C.（0,1]D.[-1J]

【答案】C

【解析】解绝对值不等式㈤<1得一1<x<l,即力=[-1,1].

指数函数y=e"的值域为y>0,即B=（0,+co）.

MCB=（0,1].

对应选项C.

【点拨】认清集合的代表元素，集合B的代表元素是y,实质是求指数函数的值域.

7.（2026•福建龙岩•二模）：单选）若集合4={y|y=/},F={%|2X<8},则4nB=

（）

A.[0,3]B.（3,+oo）C.（03]D.（-oo,3]

【答案】A

【解析】A=[y\y=x2}={y\y>0]=[0,+oo）.

B={x\2x<8}={x\x<3}=（—co,3].

Mr\B={x|0<x<3}=[0,3],

对应选项A.

【点拨】区分集合的代表元素，集合A求的是二次函数的值域，集合B求的是指数不等式的解集.

8.（2026•山东潍坊•一模）：填空）若集合M={x|-2cx<2},N={x\2x<1},则Mn

N=.

【答案】（-2,0）

【解析】M={x\-2<x<2],即M=(-2,2).

N={x\2x<1}={x\x<0},即N=(-oo,0).

.•.MnN=(-2,0).

【点拨】解指数不等式求出集合N,再与集合M求交集.

考法2：利用Venn图或容斥原理求集合运算

9.(2026・河北唐山•一模)：单选)已知全集U及其两个非空真子集M,N,贝IJQ(MUN)=

()

A.0B.Mn/VC.(QM)n(QN)D.(QM)U

(QN)

【答案】C

【解析】根据德•摩根定律，C(/(MUN)=(QM)A(QN).

对应选项C.

【点拨】直接应用德•摩根定律(DeMorgan'slaws)展开即可.

10.(单选)己知集合时={%比。-2)<0},村={工比一1<0},则下列Venn图中阴影部

分可以表示集合"|1<%<2}的是()

Q0Q0

RR

A.-----------------------------------------B.-----------------------------------------

lo©l

0E)

C.1-------------------------1

【答案】B

【解析】解双万一2)<0得0<%<2,即M=(0,2).

解％-1<0得xvl,即N=(—8,1).

目标集合为&11<%<2]=[1.2).

选项A中Venn图中阴影部分表示MCN=(0,1),不符合题意；

选项B中Venn图中阴影部分表示Mn(CRN)=[1,2),符合题意；

选项C中Venn图中阴影部分表示NCl(CRM)=(-oo,0],不符合题意；

选项D中Venn图中阴影部分表示MUN=(-8,2),不符合题意.

对应选项B.

【点拨】先解不等式求出集合M和N,再将目标集合用M和N的运算表示出来，最后对应Venn

图.

11.(2025•江西萍乡•一模)(多选)已知全集〃={123,4,5,6},集合且满

足:AAB={3,5},(Q4)n(QB)={2,4},则下列说法正确的为()

A.4W4B.6W/U8C.集合A可能是{1,356}D.(Q4)U

QB)={1,2,4,6)

【答案】BCD

【解析】由题意知(C")n(QB)=QG4UB)={2,4},

•-AUB={1,3,5,6).

对于A,<4UB={1,3,5,6},且4C4UB,・・・4C4A选项错误;

对于B,・・・>4UB={1,356},・・・6€4UB,B选项正确；

对于C,已知An8={3,5},这意味着3,5既属于A又属于B.若4={1,356},当8={3,5}时，

力U8={1,356},Q4={2,4},QB={124,6},此时满足所有已知条件，故C选项正确；

对于D,・・・((：“1)1»(0/8)=(："(4A8),又AnB={3,5},・・・(Q4)U(Q8)=CuG4nB)=

[1,2,4,6},D选项正确.

对应选项BCD.

【点拨】利用德•摩根定律将补集的交并运算转化为交并集的补集运算，结合全集分析各元素归

属.

12.(2026•湖南天壹名校联盟5月模拟)(多选)若U={%|%<10,%€N},An(C(/5)=

[1,9},(Q4)C(QB)={4,6,7},4n8={3},则下列命题为真命题的是()

A.OEAB.4的真子集个数为7

C.{9}cAD.6cCu(AUB)

【答案】BC

【解析】U={x\x<10fxEN}={0,l,2,3,4,5,6,7,8,9}.

由AA(QB)={1,9},(Q4)n(QB)=Q(AUB)={4,6,7},AnB={3},

作出Venn图可知I,A={1,3,9),8={0,2,3,5,8}.

故0任4A错误；9eA,即{9}±4C正确；

集合A的真子集个数为23-1=7个，故B正确;

•・Q(4UB)={4,6,7},，6eCuG4u8),D错误.

对应选项BC.

【点拨】画出Venn图，根据各部分的交并补关系将全集中的元素逐一填入对应区域是解题的关键.

13.(2026・浙江温州•二模)(填空)card(4)表示有限集合4中元素的个数，己知card(4U

B)=25,card(Tl)=22,card(B)=20,则card(AnB)=.

【答案】17

【解析】根据容斥原理，card(4nB)=card(A)+card(B)-cardQ4UB)=22+20-25=17.

【点拨】直接应用集合的容斥原理公式求解.

考法3：己知集合运算结果逆求参数

14.(2026•江苏南京盐城•一模)(单选)设全集U={1,234},集合4={1,a-2},

Q4={3,4},则Q=()

A.4B.5C.7D.9

【答案】A

【解析】•・,(/={1,2,3,4},CuA={3,4},

M={1,2}.

又4={1,。-2},

.,.a-2=2,解得Q=4.

对应选项A.

【点拨】根据补集的定义，集合A与它的补集构成全集，从而确定集合A的元素.

15.(2025•河北衡水中学•综合素质评价)(单选)设集合M={1,3,Q+2},N={1,Q2},若

MClN={1,4},则。=()

A.-2B.0C.2D.±2

【答案】C

【解析】集合M={13a+2},N={L，},而MnN={1,4},

则4CM且4UN,即aI2=4且储=4,解得a=2.

经验证，当Q=2时，M={1,3,4},N={1,4},满足MON={1,4}.

.••a=2.

对应选项C.

【点拨】根据交集结果列出方程，求出参数后必须代回原集合检验是否满足元素的互异性.

16.（2026•湖南长沙师大附白•一模）（单选）已知a,beR,集合4={15},B=[a,b},

若4nB={2},则8=（）

A.1B.2C.2或1D.3

【答案】B

【解析】已知集合力=卜,目，B=（a,b}t且4n8={2},

.-.26A,即]=2,a=2b,此时A={1,2}.

又2E8,即Q=2或b=2.

若Q=2,则b=l,此时B={2,1},则ACI8={1,2},与4n8={2}矛盾，舍去.

若b=2,则a=4,此时8={4,2},4nB={2},符合条件.

综上所述，b=2.

对应选项B.

【点拨】由交集元素确定参数关系，求出参数后必须检验交集是否恰好为已知集合.

考点二：集合间的关系与参数求解

考法4：解不等式或方程求集合并计算子集个数

17.（2025・深圳中学•一阶测试）（单选）已知集合，={%WZ|%2-2%-3VO},则集合4

的子集个数为（）

A.3B.4C.8D.16

【答案】C

【解析】由/一2%-3<0解得一1<xV3.

又％WZ,・•・?1={0,1,2},集合4中有3个元素.

则集合力的子集个数为23=8.

对应选项C.

【点拨】先解•元二次不等式，结合整数集限制求出集合元素，再利用子集个数公式2,求解.

18.（2026・山东名校联盟5月核心素养评估）（单选）己知集合4={工£2|—1<%42},

则集合4的子集个数为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【解析】集合A={X6Z|-1<X<2]={0,1,2),集合力中有3个元素.

则集合A的子集个数为23=8.

对应选项D.

【点拨】列举出集合中的所有整数元素，再根据元素个数计算子集数量.

19.(2026・广东广州•一模)(单选)集合4={xEZlK-2x30}的子集个数为()

A.3B.4C.7D.8

【答案】D

【解析】解不等式%2-2xW0得04xK2.

•./£2,・,.集合4={0,1,2},有3个元素.

则集合4的子集个数为23=8.

对应选项D.

【点拨】解不等式并筛选整数解，熟记几个元素的集合有2〃个子集.

20.(2026•安徽淮南•二模)(单选)已知集合力=卜€26<2”<8},BQA,则符合条

件的集合B的个数为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】集合力=(%eZ||<2x<8}={xeZI2-1<2X<23}={%EZ|-1<x<3].

•次£Z,・・・x可能的取值为0,1,2,即集合4={0,1,2}.

・••B是4的真子集，

・•・集合8的个数为23-1=7.

对应选项C.

【点拨】真子集个数公式为2〃-1,注意审题是求真子集个数.

21.(2025•河北保定•二模)(单选)已知集合4={(x,y)|y=(x-l)(x-5)},2=

{8y)ly2=4x],则AnB的真子集个数为()

A.3B.4C.7D.15

【答案】D

【解析】因为y=(%-1)(%-5)的对称轴为％=3,顶点为(3,-4),且过点(1,0),(5,0).

当％=3时，y2=4%上的点为(3,±2百).

作y=Q-1)。-5),y2=4x的图象，由图可知，y=(%-1)(%-5)的图象与抛物线>2=轨有

4个不同的交点.

\X/y=(x-l)(x-5)

F

则An8有4个元素，从而4n8的真子集的个数为24-1=15.

对应选项D.

【点拨】将集合交集问题转化为两曲线交点个数问题，利用数形结合法画出草图判断交点数.

22.(2026•山东师大附中3月阶段检测)(单选)已知集合4={x€Z||x|V4},B=

{x|y=V^二T},则4nB的子集个数为()

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

【解析】集合4={xeZ||x|<4)={-3,-2,-1,0,123}.

B={x\y=V2x-1}={x|2x-1>0}={x\x>

・・.集合4nB={1,2,3},共有3个元素.

・・・子集个数为23=8.

对应选项C.

【点拨】求困数定义域得到集合B,列举法表示集合A,求交集后计算子集个数.

23.(2025•山东名校考试联置•二模)(单选)已知集合4={(%y)ly=eX,x€R},B=

{(x,y)|y=x+afxeR}fAnB有且只有2个子集，则实数a=()

A.-6B.-1C.1D.6

【答案】C

x

［解析］令/=x4-a,则Q=e-x.

记g(x)=ex-x,则g(x)=ex-1.

当3>0时，g'(x)>0,g(x)在(0,+8)单调递增；

当xv0时，g'(x)V0,g(x)在(-8,0)单调递减.

且当XT+8时，g(x)T+8：XT-8时，g(x)->+8,g(0)=1.

因此Q=/-X只有一个实数根时，a=g(0)=1.

由于4nB有且只有2个子集，则4nB只有一个元素，故a=g(0)=1.

对应选项C.

【点拨】集合交集只有一个元素，等价于两函数图象只有一个交点，利用导数研究函数单调性与

最值求解.

5

24.（2024•江西吉安六校协作体5月联考）（填空）设集合4={1,2,3,4},Bfxll4一

4）,则集合力n8的子集个数为.

【答案】4

【解析】由题意可得4n8={2,3},

故An8的子集个数为22=4.

【点拨】先求出交集中的元素，再利用子集个数公式求解.

考法5：判断集合关系或根据包含关系求参数

25.（2026・蚌埠•二模）（单选）已知集合4={2,5,8},B={a-lf2}9则“a=6”是

“4八8二夕'的（）

A,充分不必要条件B.充要条件C,必要不充分条件D.既不充分也

不必要条件

【答案】A

【解析】若ACB=B,则8GA.

又因为集合/={2,5,8},B=（a-1,2）,

••.a-1=5或a—1=8,解得a=6或a=9.

.•.“Q=6”是“力cF二夕'的充分不必要条件.

对应选项A.

【点拨】将交集结果转化为子集关系，求出参数的所有可能值，再判断充分必要性.

26.(2026•山东德州•二模)(单选)已知集合4={划-1B={x|(x+1)(%-

3)>0},则()

A.4nB=0B.4UB=RC.AQBD.BQA

【答案】B

【解析】解不等式0+l)(x-3)>0得％<-1或%>3,即8=(-8,-1]U[3,+co).

又4=[-1,3]»

.-.4A5={-1,3},Ak)B=R,A圭B,B尘A.

对应选项B.

【点拨】解一元二次不等式求出集合B,再结合数轴判断集合间的关系.

27,（2026•山东烟台•二模）（单选）已知集合4={l,m},B=若4G8,则实

数m的值为（）

A.0或一1B.0或1C.0或3D.1或3

【答案】C

【解析】'•A=B={1,3,m2},AQB,

••♦m=3或m=m2,解得m=3或m=0或m=1.

当m=l时，4={1,1},不满足集合元素的互异性，舍去；

当m=0时，A={1,0},8={1,3,0},满足4G8；

当m=3时，4={1,3},8={1,3,9},满足AGB.

综上，m=0或zn=3.

对应选项C.

【点拨】根据子集关系列出方程，求出参数后必须检验集合元素的互异性.

（•山东荷泽•一模）（单选）已知集合力=B=）若则

28.2026{1,2},{1,3,log?7n,AGB,

机的值为（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【解析】・・・）AQB,

4={1,2},B={13,log2m,

••.26B,即log2m=2,解得m=4.

对应选项C.

【点拨】根据子集定义，集合A中的元素必须都在集合B中，从而建立方程求解.

29.（单选）设M==N=[x\x=k+^,kEZ],则（）

A.M0NB./VcMC.M=ND.Mn/V=0

【答案】B

【解析】・・・x=k+g=等，kEZ,

・•・集合N是由所有奇数的一半组成.

而集合M是由所有整数的一半组成，

：.NQM.

对应选项B.

【点拨】通过对表达式变形，分析集合中元素的奇偶性特征，从而判断包含关系.

30.（单选）已知集合4={%|国41},B=[x\2x-a<0},若AGB,则实数a的取值范

围是（）

A.（2,+8）B.[2,+8）C.（-oo,2）D.（-co,2]

【答案】A

【解析】集合4={%||%|<1]={x|-1<x<1},B=①戊<务

要使4G8,只需解得。>2.

对应选项A.

【点拨】将集合包含关系转化为区间端点的不等式关系，注意端点值是否能取等号.

31.（多选）若非空集合M,N,P满足：MCN=N,MUP=P,则（）

A.PGMB.MnP=M

C.NUP=PD.MCCpN=0

【答案】BC

【解析】由MClN=N可得：NQM.

由MUP=P,可得MGP,贝!推不出PGM,故选项A错误；

由MGP可得MClP=M,故选项B正确；

•.WcM且MCp,.,.NCp,则NUP=P,故选项C正确；

由NGM可得：MClCpN不一定为空集，故选项D错误.

对应选项BC.

【点拨】熟练掌握交集、并集与子集关系的等价转化：AOB=A^AQB,A\JB=B^>AQB.

32.（2024•江西上饶六校联盟・5月模拟）（多选）设集合A={x|3%2—2%-1=0},B=

（x\ax-1=0},若/UB=力，贝心的值可以为（）

A.1B.0

C.一—D.-3

3

【答案】ABD

【解析】集合4={划3/-2%-1=0}={-^1}.

由4UB=4可得BcA,则分B=0或B={-打或B={1}或8={-1,1}四种情况.

JO

当B=。时，a=0；

当8={-：}时，满足—=解得。=一3；

当8={1}时，满足1=0,解得Q=l;

当3={—：,1}时，显然不符合条件.

・•.a的值可以为-3,0,1.

对应选项ABD.

【点拨】将并集关系转化为子集关系，特别注意不要遗漏集合为空集的情况.

考法6：利用集合相等与互异性求参数

33.（2025•河南金科新未来5月联考）（单选）设集合4={l,lna},B={0,a],若/=B,

则a=（）

A.-1B.0C.1D.e

【答案】C

【解析】若4=B,则必有Q=1,同时Q=1也满足Ina=0,故a=1.

对应选项C.

【点拨】根据集合相等对应元素相等，求出参数后验证是否满足所有条件.

34.（2026・湖北楚天协作体•二模）（单选）如果集合/={x\ax2-4x-1=0}只有一个元

素，则实数a的值是（）

A.0或4B.4C.0或一4D.0

【答案】C

【解析】集合A={x\ax2-4x-1=0},表示关于％的方程a/一轨一1=0的解集.

当Q=0时，解得久=一右则4={—：},符合题意；

当QH0时，△=（一守-4Qx（-1）=0,解得。=-4,此时4={一；},符合题意.

综上可得Q=0或Q=-4.

对应选项C.

【点拨】对于含参的一元二次方程解集问题，必须分类讨论二次项系数是否为零.

35.（2025・广东衡水金卷・3月联考）（填空）设集合4={a/},B={2a,2a2},若力=氏

则出＞=.

【答案吗

【解析】由题意得器工或仁养，

解叱二声—

当]二;时，不满足集合元素的互异性，舍去；

当卜/时，满足集合元素的互异性，故Qb=g.

【点拨】集合相等需考虑元素对应的两种情况，求出解后务必检验元素的互异性.

2

36.（2026•山东德州•一模）（填空）设集合4={1,a,力},B={a,a,ab}1若力=8,则

Q3+力3=

【答案】-1

【解析】A={1,a,b},B={a2,a,ab）,A=B,

a工1且bH1且Q丰0且Q?b.

...fa2=1或a=b

（ab=b"lab=1

当比加1且3,北品Li»3=T

当「：械解得{£：；，…1且吐1，北：;不成立.

综上可得,a3+b3=-1.

【点拨】同样是集合相等问题，注意利用元素的互异性排除无效解.

考点三：集合的新定义与综合探究

考法7：理解集合新运算求元素或集合

37.（单选）对于两个非空实数集合4和8,我们把集合{x|x=a+瓦W8}记作4*8.

若集合4={0,1},8={0,-1},则4*8中元素的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】4={0,1},8={0,-1},则4*8={0,-1,1},则4*8中元素的个数为3.

对应选项C.

【点拨】理解新定义运算规则，列举出所有可能的和，注意集合元素的互异性进行去重.

38.（单选）定义集合力+8={x+y|xWA且yW8}.已知集合A={2,4,6},B=[-1,1},

则A+8中元素的个数为（）

A.6B.5C.4D.7

【答案】C

【解析】根据题意,因为力={2,4,6},F={-U},所以4+8={1,357}.

对应选项C.

【点拨】与上一题类似，列举求和并去重.

39.（单选）对于集合4B,定义4-8={用工£4且x£B}.若4={x|x=2/c+l,/cEN},

）将集合中的元素从小到大排列得到数列{即},则。

B={x\x=3k+lfkENt4-B7+

a30=（）

A.55B.76C.110D.113

【答案】C

【解析】因为4={1,3,5,7,9,11,…},8={1,4,7,10,13,16,19,22,25,…},

所以{一B={3,5,9,11,15,•••),所以劭=21.

4一8相当于集合4中除去％=6九一5016'・)形式的数，其前45项包含了15个这样的数，所以

u)=89.

则07+。30=110.

对应选项C.

【点拨】理解差集定义，找出被剔除元素的规律(既是奇数又是被3除余1的数，即被6除余1),

从而确定数列中的项.

40.(2026•广东东莞•一模)(填空)已知集合/={(%,y)|/+y24L%,y£z},B=

{(x,y)||x|<2,\y\<l,xtyeZ),定义集合4㊉B={(勺+x2fyi+”)1(%"1)W

4(%2,y2)GB},则4©B中元素的个数为.

【答案】31

【解析】由题意，A={(0,0),(1,0),(-1,0),(04),(0,-1)},B={(xfy)\xe{-2,-lAt2},ye

{-1,0,1}}.

对于集合4ffiB,其横坐标+必W{-3,-2,—1,0,1,2,3},纵坐标yi+y?W{-2,—1,0,1,2}.

但当勺+%2=±3时，yi+丫2只能取一I，。」，

所以A㊉B中元素的个数为7x5-2x2=31.

【点拨】列举出集合A和B中的整点，分析横纵坐标相加后的取值范围，注意排除不可能取到的

组合.

考法8：基于集合新定义判断性质或求参数

41.(2026・福建厦门•适应性测试)(单选)已知4,…均为有限实数集，记4中

的最大元素为力.V几WN*,4计1=4U{Q+XnlQW4J,若41={-2,3},则()

A.A2={-2,136}B.x7=384C.心中所有元素的平均数为191

D.。中所有元素的和为3008

【答案】C

【解析】设/中元素有心个，所有元素和为与,平均数为兄.

所以=3,Si=1,则{2={-2,1,3,6},&=4,$2=8,故选项A错误:

6

易得xn+l=2工n，所以X〃=3X2"T,X7=3x2=192,故选项B错误;

因为增加的数一定是3的倍数，-2被3整除的余数不等，故元素中不会出现重复，所以心+1=

2%,所以3=2七

2nn+1n2

又5什1=Sn+Sn+kn-xn=2Sn+3X2-\两边除以的+i=2,得鼠+i-元=3X2-,

累加得耳！=9+3x27+3x2。+…+3x2-2=3X2〃T—1,所以%=191,故选项C正确;

2n-1

S”=kn-Xn=3x2-2\所以S6=3008,故选项D错误.

对应选项C.

【点拨】根据递推关系逐步写出集合元素，寻找最大元素、元素个数及元素和的递推规律.

42.(2025•福建福九联盟5月联考)(多选)若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素

m,则定义A(X)=M-m.据此，下列命题中不正确的是()

儿若万={-1,1},丫={0,b},且A(X)=A(K),则b=2

B.若X={%|/(%)>g(x),xG[-1,1]},A(X)=2,则对任意%G[-1,1],都有f(%)>

9(%)

(：.若乂=[a,a+2],y={y|y=/,%EX},则存在实数Q,使得A(Y)V1

立若乂=[a,a+2],y=g,b+3],则对任意的实数a,总存在实数b,使得A(Xu

V)=3

【答案】ABC

【解析】A选项，rlix={={0孙可得仅a=2,△(/)=\b\,因为△(x)=&*),所以

\b\=2,b=±2,故A错误；

B选项，由A(X)=2知，-1CX且IEX,贝"(1)Ng(1)且/(-1)Ng(-1),但是

f(0)>g(0)不一定成立，例如：/(x)=x2-1,g(x)=-x2,f(一1)=g(-1)=0,

f(0)=-1,g(0)=0,故B错误；

C选项，由乂=口,Q+2],Y={y\y=x2,xeX],当Q+2S0,即Q4一2时，△(/)=a2-(a+

2)2=-4a-4>4；当一2VaW-l时，可得A(Y)=Q2N1；当一1VQ<0时，，可得A(Y)=

(a+2)2>1：当aNO时，可得△(¥)=(a+2)2-次=4。+4z%所以不存在实数a,使得

A(Y)<1,故C错误；

D选项，由X=[a,a+2],Y=[b,b+3],取8=Q,可得A(XU丫)=△(&a+3])=3,对任意实

数a,总存在b使之成立，故D正确.

对应选项ABC.

【点拨】理解集合“极差”的新定义，结合二次函数的性质、集合的并集运算进行分类讨论.

43.(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年，德国数学家戴德

金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数

理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续

2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非

空的子集M与N,且满足MUN=Q,MnN=0,M中的每一个元素都小于N中的每一个

元素，贝IJ称(MN)为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是()

A.M={x\x<0},N={x\x>0}是一个戴德金分割

B.M没有最大元素，N芍一个最小元素

C.M有一个最大元素，N有一个最小元素

D.M没有最大元素，N也没有最小元素

【答案】BD

【解析】对于A,因为M={x|x<0},N={；dx>0},MuN={x|xH0}WQ,故A错误；

对于B,若用={%£(2反<0},乂="£(2反20},则满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N

有一个最小元素0,故B正确；

对于C,若M有一个最大元素，设为Q,N有一个最小元素，设为b,则avb,则M={xWQ|xW

a},N={xeQ\x>b],而(a,b)内也有有理数，则MUNHQ,故C错误；

对于D,若用={%€(?|%<加},N=[xeQ\x>y/2),则满足戴德金分割，此时M没有最大元素，

N也没有最小元素，故D正确.

对应选项BD.

【点拨】深刻理解戴德金分割的定义，结合有理数的稠密性进行判断.

考法9：结合计数原理与新定义求集合个数或最值

44.(单选)设集合X={%,&，%，*}UN*,定义：集合y={ai+%@,%EX,ijE

集合S={%・y|x,y€工y},集合T={/,ye匕％wy},分别用表示

集合S,7中元素的个数，则下列结论可能成立的是()

A.|5|=6B.|5|=16C.|7'|=9D.|7'|=16

【答案】D

【解析】不妨设1W的V。2<。3<。4，则Qi+Qj的值为Q]+a2,+。3，。1+。4，。2+。3，。2+

。4，的+。4，显然，的+即<@1+。3V+。4V。2+。4<。3+。4，所以集合丫中至少有以上5

个元素，不妨设+a2,X2=+a3,X3=Qi+Q4/4=。2+。4，%5=。3+。4，则显然％1%2<

阳％3<%1%4<<无2%<丫3无5<%4%5，则集合S中至少有7个元素，所以|S|=6不可能，故

排除A选项；

其次，若Q1+Q4HQ2+Q3，则集合丫中至多有6个元素，则|S|max=^=15V16,故排除B项；

对于集合7,取乂={1,3,5,7},则丫={4,6,8,10X2},此时了=【昊加,冢片射，2〉,葭,装3,3卜

|7|=16,故D项正确：

对于C选项而言，口不力/勺，则蓼卜定成对出现，偿一1)©-1)<0,所以|7|一定是偶

数，故C项错误.

对应选项D.

【点拨】利用极端假设法和举反例法，结合组合数计算集合元素的最值.

45.（单选）已知集合4B满足4UB={1,2,3},若40B,且①且B],[8且川表示两个不同

的“8互衬对"，则满足题意的“48互衬对”个数为（）

A.9B.4C.27D.8

【答案】C

【解析】当4=0时，集合8可以为{1,2,3}；

当4={1}时,集合8可以为{2,3},{1.2.3}：

当月={2}时，集合8可以为{1,3},{1,2,3}；

当月={3}时，集合8可以为{1,2},{1,2,3}；

当4={1,2}时,集合8可以为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}；

当A={1,3}时，集合B可以为{2},{1,2},{2,3},{1,2,3}：

当4={2,3}时，集合8可以为{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}：

当A={1,2,3}时，集合B可以为0,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}.

故满足题意的“48互衬对”个数为27.

对应选项C.

【点拨】按集合A的元素个数分类讨论，列举出所有满足条件的集合B.

46.（2026•山东九五协作体•一模）（填空）己知A,B,C为集合M={1,2,…,n}（nwN*）的非

空子集，满足：

①4nB=4nC=BnC=0,AuBuC=M；

②{%€M|%=3/c,k€N*}£4,B中元素均为奇数，C中元素均为偶数；

③A,B,C中所有元素的和分别为S1，S2，S3,且S1=$2=53.

则正整数几的最小值为.

【答案】8

【解析】由①知48,C构成M的一个划分.

由②知8中全为奇数，C中全为偶数，4中包含M中所有3的倍数.

由③知Si=52=S3,设总和为S,则S=3sl.

由于$=竺#必须是3的倍数，故九只能是3k或3k+2的形式.

从小到大检验：

若九=2,S=3,Si=