35.离散型随机变量及其分布列、期望与方差

1/135.离散型随机变量及其分布列、期望与方差1.（多选）（2023·新高考Ⅰ卷9题）有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（）A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差解析：BD若该组样本数据为1，2，3，4，5，8，则2，3，4，5的平均数为72，1，2，3，4，5，8的平均数为236，两组数据的平均数不相等，故A错误；不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，则x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，x3，x4，x5，x6的中位数，故B正确；若该组样本数据为1，2，2，2，2，8，则2，2，2，2的标准差为0，而1，2，2，2，2，8的标准差大于0，故C错误；由对选项B的分析可知，x2，x3，x4，x5的极差为x5－x2，x1，x2，x3，x4，x5，x6的极差为x6－x1，且易得x6－x1≥x5－x2，故D正确.故选B、2.（2025·全国Ⅰ卷14题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E（X）＝.答案：61解析：X的所有可能取值为1，2，3，则P（X＝1）＝C51（15）3＝5125＝125，P（X＝2）＝C52（15）3×6＝60125＝1225，P（X＝3）＝C53×（X123P11212所以E（X）＝1×125＋2×1225＋3×12253.（2021·新高考Ⅰ卷18题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.解：（1）由题意得，X的所有可能取值为0，20，100，P（X＝0）＝1－0.8＝0.2，P（X＝20）＝0.8×（1－0.6）＝0.32，P（X＝100）＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列为X020100P0.20.320.48（2）当小明先回答A类问题时，由（1）可得E（X）＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100，P（Y＝0）＝1－0.6＝0.4，P（Y＝80）＝0.6×（1－0.8）＝0.12，P（Y＝100）＝0.6×0.8＝0.48，所以Y的分布列为Y080100P0.40.120.48E（Y）＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因为57.6＞54.4，即E（Y）＞E（X），所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题.4.（2024·新高考Ⅱ卷18题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中1次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立.（1）若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率；（2）假设0＜p＜q.（ⅰ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ⅱ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？解：（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，∴比赛成绩不少于5分的概率P＝（1－0.63）（1－0.53）＝0.686.（2）（ⅰ）设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P甲，则P甲＝[1－（1－p）3]·q3＝pq3·（3－3p＋p2）.设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P乙，则P乙＝[1－（1－q）3]·p3＝qp3·（3－3q＋q2）.则P甲－P乙＝pq（3q2－3pq2＋p2q2－3p2＋3p2q－p2q2）＝3pq（q－p）·（p＋q－pq），由0＜p＜q≤1，得q－p＞0，p＋q－pq＝p＋q（1－p）＞0，所以P甲－P乙＞0，即P甲＞P乙.故应该由甲参加第一阶段比赛.（ⅱ）若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩X的所有可能取值为0，5，10，15.P（X＝0）＝（1－p）3＋[1－（1－p）3]·（1－q）3，P（X＝5）＝[1－（1－p）3]·C31·q·（1－q）P（X＝10）＝[1－（1－p）3]·C32·q2·（1－P（X＝15）＝[1－（1－p）3]·C33q所以E（X）＝[1－（1－p）3]·[15q（1－q）2＋30q2·（1－q）＋15q3]＝[1－（1－p）3]·15q＝15pq·（p2－3p＋3）.若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15.同理，可得E（Y）＝15pq（q