2025-2026年江苏省八年级数学上册第9章一元二次方程测试卷

2025-2026年江苏省八年级数学上册第9章一元二次方程测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若关于x的一元二次方程（m-1）x²+mx-3=0是一元一次方程，则m的值为（）A.1B.-1C.3D.-3解析：一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0（a≠0），若该方程为一元一次方程，则二次项系数必须为0，即m-1=0，解得m=1。选项B、C、D均不符合该条件，故正确答案为A。2.用配方法解方程x²-6x+5=0，下列变形正确的是（）A.x²-6x=-5B.x²-6x+9=4C.x²-6x-9=-5D.x²-6x+36=31解析：配方法的步骤是将方程x²-6x+5=0的左边配成完全平方形式，即x²-6x+9=4，因此正确答案为B。选项A缺少常数项配平，选项C、D的常数项计算错误。3.若方程x²-2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（）A.-1B.0C.1D.2解析：根据根的判别式△=b²-4ac，当方程有两个相等的实数根时，△=0，即(-2)²-4×1×k=0，解得k=1。故正确答案为C。4.解方程（x-2）²=9，下列解法正确的是（）A.x-2=3或x-2=-3B.x=5或x=-1C.x=8或x=-4D.x=2±3解析：将方程（x-2）²=9展开得到x²-4x+4=9，整理为x²-4x-5=0，解得x=5或x=-1。选项A、C、D的解法或结果均错误，故正确答案为B。5.若方程x²+px+q=0的两个根分别为x₁=2和x₂=-3，则p、q的值分别为（）A.p=1，q=-6B.p=-1，q=6C.p=5，q=-6D.p=-5，q=6解析：根据根与系数的关系，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，代入x₁=2，x₂=-3，得p=-（2-3）=1，q=2×（-3）=-6。故正确答案为A。6.下列方程中，是一元二次方程的是（）A.2x+3y=5B.x²-4x=x²+1C.3x³-x²+2=0D.x²=0解析：一元二次方程必须满足三个条件：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。选项A是二元一次方程，选项B可化简为-4x+1=0，是一元一次方程，选项C的最高次数为3，选项D符合一元二次方程的定义。故正确答案为D。7.若关于x的方程kx²-6x+9=0有一个根是x=3，则k的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：将x=3代入方程kx²-6x+9=0，得k×3²-6×3+9=0，即9k-18+9=0，解得k=1。故正确答案为A。8.用公式法解方程2x²-5x-3=0，其根的判别式△的值为（）A.49B.25C.7D.1解析：根据根的判别式△=b²-4ac，代入a=2，b=-5，c=-3，得△=(-5)²-4×2×（-3）=25+24=49。故正确答案为A。9.若方程x²+mx-6=0的一个根是x=-2，则另一个根是（）A.-3B.2C.3D.-1解析：根据根与系数的关系，x₁+x₂=-m，x₁x₂=-6，已知x₁=-2，则-2+x₂=-m，-2x₂=-6，解得x₂=3。故正确答案为C。10.下列关于x的方程中，一定有两个不相等的实数根的是（）A.x²-4x+4=0B.x²+x+1=0C.x²-2x-3=0D.x²+1=0解析：根据根的判别式△=b²-4ac判断：A.△=16-16=0，有两个相等的实数根；B.△=1-4=-3＜0，没有实数根；C.△=4+12=16＞0，有两个不相等的实数根；D.△=0-4=-4＜0，没有实数根。故正确答案为C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.方程（x+1）²=4的解为__________。解：开方得x+1=2或x+1=-2，解得x=1或x=-3。参考答案：x=1或x=-32.若方程x²-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________。解：根据根的判别式△=b²-4ac＞0，即(-2)²-4×1×k＞0，解得k＜1。参考答案：k＜13.若方程x²+px+q=0的两个根的平方和为10，则p²+q的值为__________。解：根据根与系数的关系，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，且x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂，代入得p²-2q=10，又q=x₁x₂，所以p²+q=p²-2q+10=20。参考答案：204.解方程x²-6x+9=0，其根的情况是__________。解：方程可化为(x-3)²=0，故有两个相等的实数根x=3。参考答案：有两个相等的实数根5.若方程x²+mx-5=0的一个根是x=2，则另一个根是__________。解：根据根与系数的关系，x₁+x₂=-m，x₁x₂=-5，已知x₁=2，则2+x₂=-m，2x₂=-5，解得x₂=-2.5。参考答案：-2.56.用配方法解方程x²+4x-5=0，其左边配方的结果是__________。解：方程x²+4x-5=0的左边配方可写为(x+2)²-4-5，即(x+2)²-9。参考答案：（x+2）²-97.若方程x²-px+1=0的根的判别式△是完全平方数，则p的取值范围是__________。解：△=(-p)²-4×1×1=p²-4，要使△为完全平方数，则p²-4=k²（k为整数），解得p=±2k±2，即p的取值范围是所有形如±2k±2的数（k为整数）。参考答案：p=±2k±2（k为整数）8.若方程x²+mx+n=0的两个根的倒数和为2，则m+n的值为__________。解：根据根与系数的关系，x₁+x₂=-m，x₁x₂=n，且1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/x₁x₂=-m/n=2，解得m=-2n，m+n=-n。若n=1，则m=-2，m+n=-1；若n=-1，则m=2，m+n=1。参考答案：±19.若方程x²+px+q=0的两个根分别为x₁=1+√2和x₂=1-√2，则p+q的值为__________。解：根据根与系数的关系，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，代入得p=-(1+√2+1-√2)=-2，q=(1+√2)(1-√2)=1-2=-1，p+q=-3。参考答案：-310.若关于x的方程x²+mx+k=0与x²-2x-3=0有相同的根，则m、k的值分别为__________。解：方程x²-2x-3=0的根为x=3或x=-1，代入x²+mx+k=0，得9+3m+k=0和1-m+k=0，联立解得m=-4，k=3。参考答案：m=-4，k=3三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.方程x²+4=0没有实数根。（）解：方程x²+4=0可化为x²=-4，由于平方数非负，故无解。参考答案：正确2.若方程x²+mx+n=0的两个根互为相反数，则m=0。（）解：根据根与系数的关系，x₁+x₂=-m，若x₁=-x₂，则x₁+x₂=0，故m=0。参考答案：正确3.方程（x-1）²=1的解为x=2。（）解：开方得x-1=1或x-1=-1，解得x=2或x=0。参考答案：错误4.若方程x²+px+q=0有两个不相等的实数根，则△=b²-4ac＞0。（）参考答案：正确5.方程x²-6x+9=0的解为x=3或x=-3。（）解：方程可化为(x-3)²=0，故只有x=3这一个解。参考答案：错误6.若方程x²+mx+n=0的一个根是x=1，则m+n=1。（）解：代入x=1得1+m+n=0，即m+n=-1。参考答案：错误7.方程x²+4x+4=0的解为x=-2。（）解：方程可化为(x+2)²=0，故只有x=-2这一个解。参考答案：错误8.若方程x²+mx+n=0的两个根的平方和为10，则m²+n=10。（）解：根据根与系数的关系，x₁+x₂=-m，x₁x₂=n，且x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂，代入得m²-2n=10，即m²+n=m²-2n+10=20。参考答案：错误9.方程x²-2x+k=0有两个相等的实数根，则k=4。（）解：根据根的判别式△=b²-4ac=0，即(-2)²-4×1×k=0，解得k=1。参考答案：错误10.若方程x²+mx+n=0的两个根分别为x₁=2和x₂=-3，则m=1，n=-6。（）解：根据根与系数的关系，x₁+x₂=-m，x₁x₂=n，代入得m=-（2-3）=1，n=2×（-3）=-6。参考答案：正确四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知方程x²-3x+k=0的一个根是x=1，求k的值。解：将x=1代入方程得1²-3×1+k=0，即1-3+k=0，解得k=2。参考答案：k=22.若方程x²+mx-6=0的两个根的差为4，求m的值。解：根据根与系数的关系，x₁+x₂=-m，x₁x₂=-6，且|x₁-x₂|=4，由(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂，得16=m²-4×（-6），解得m=±8。参考答案：m=±83.用配方法解方程x²+6x-7=0。解：方程x²+6x-7=0的左边配方可写为(x+3)²-9-7，即(x+3)²-16，故(x+3)²=16，开方得x+3=4或x+3=-4，解得x=1或x=-7。参考答案：x=1或x=-74.若方程x²+px+q=0的两个根分别为x₁=2和x₂=-3，求p、q的值。解：根据根与系数的关系，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，代入得p=-（2-3）=1，q=2×（-3）=-6。参考答案：p=1，q=-65.若方程x²-2x+k=0有两个相等的实数根，求k的值。解：根据根的判别式△=b²-4ac=0，即(-2)²-4×1×k=0，解得k=1。参考答案：k=16.若方程x²+mx+n=0的两个根的倒数和为2，求m+n的值。解：根据根与系数的关系，x₁+x₂=-m，x₁x₂=n，且1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/x₁x₂=-m/n=2，解得m=-2n，m+n=-n。若n=1，则m=-2，m+n=-1；若n=-1，则m=2，m+n=1。参考答案：±17.若方程x²+px+q=0的两个根分别为x₁=1+√2和x₂=1-√2，求p、q的值。解：根据根与系数的关系，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，代入得p=-(1+√2+1-√2)=-2，q=(1+√2)(1-√2)=1-2=-1。参考答案：p=-2，q=-18.若方程x²+mx+n=0与x²-2x-3=0有相同的根，求m、n的值。解：方程x²-2x-3=0的根为x=3或x=-1，代入x²+mx+n=0，得9+3m+n=0和1-m+n=0，联立解得m=-4，n=3。参考答案：m=-4，n=3五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某长方形的周长为20cm，面积为24cm²，求长方形的长和宽。解：设长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意得x+y=10，xy=24，解方程x²-10x+24=0，得x=4或x=6，故长方形的长为6cm，宽为4cm（或长为4cm，宽为6cm）。参考答案：长为6cm，宽为4cm（或长为4cm，宽为6cm）2.某工厂生产某种产品，固定成本为2000元，每生产一件产品成本增加50元，若销售单价为80元，求该工厂至少生产多少件产品才能盈利？解：设生产x件产品，则总成本为2000+50x元，总收入为80x元，盈利条件为总收入＞总成本，即80x＞2000+50x，解得x＞40，故至少生产41件产品才能盈利。参考答案：至少生产41件产品3.某学校举行运动会，设一、二、三等奖共100人，其中一等奖人数是二等奖人数的2倍，三等奖人数是二等奖人数的3倍，求各等奖项的人数。解：设二等奖人数为x人，则一等奖人数为2x人，三等奖人数为3x人，根据题意得2x+3x+x=100，解得x=20，故一等奖人数为40人，二等奖人数为20人，三等奖人数为60人。参考答案：一等奖40人，二等奖20人，三等奖60人4.某小区计划修建一个矩形花园，长比宽多6米，若花园的周长为48米，求花园的长和宽。解：设花园的宽为x米，则长为x+6米，根据题意得2（x+x+6）=48，解得x=9，故花园的长为15米，宽为9米。参考答案：长为15米，宽为9米5.某班级组织春游，租用客车若干辆，若每辆客车坐45人，则有10人无座位；若每辆客车坐40人，则有一辆客车不满载，且空座位不超过10个，求该班级有多少人？解：设租用客车y辆，根据题意得45y-10=40（y-1）+（40-10），解得y=5，故该班级有45×5-10=215人。参考答案：该班级有215人6.某工厂生产某种产品，固定成本为3000元，每生产一件产品成本增加40元，若销售单价为70元，求该工厂至少生产多少件产品才能盈利？解：设生产x件产品，则总成本为3000+40x元，总收入为70x元，盈利条件为总收入＞总成本，即70x＞3000+40x，解得x＞60，故至少生产61件产品才能盈利。参考答案：至少生产61件产品7.某学校举行数学竞赛，设一、二、三等奖共120人，其中一等奖人数是二等奖人数的2倍，三等奖人数是二等奖人数的3倍，求各等奖项的人数。解：设二等奖人数为x人，则一等奖人数为2x人，三等奖人数为3x人，根据题意得2x+3x+x=120，解得x=24，故一等奖人数为48人，二等奖人数为24人，三等奖人数为72人。参考答案：一等奖48人，二等奖24人，三等奖72人8.某小区计划修建一个矩形花园，长比宽多8米，若花园的周长为56米，求花园的长和宽。解：设花园的宽为x米，则长为x+8米，根据题意得2（x+x+8）=56，解得x=12，故花园的长为20米，宽为12米。参考答案：长为20米，宽为12米【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.C4.B5.A6.D7.A8.A9.C10.C二、填空题1.x=1或x=-32.k＜13.204.有两个相等的实数根5.-2.56.（x+2）²-97.p=±2k±2（k为整数）8.±19.-310.m=-4，k=3三、判断题1.正确2.正确3.错误4.正确5.错误6.错误7.错误8.错误9.错误10.正确四、简答题1.k=22.m=±83.x=1或x=-74.p=1，q=-65.k=16.±17.p=-2，q=-18.m=-4，n=3五、应用题1.长为6cm，宽为4cm（或长为4cm，宽为6cm）2.至少生产41件产品3.一等奖40人，二等奖20人，三等奖60人4.长为15米，宽为9米5.该班级有215人6.至少生产61件产品7.一等奖48人，二等奖24人，三等奖72人8.长为20米，宽为12米【解析】一、单项选择题1.方程（m-1）x²+mx-3=0是一元一次方程，则二次项系数为0，即m-1=0，解得m=1。2.用配方法解方程x²-6x+5=0，将方程左边配成完全平方形式，即x²-6x+9=4，即（x-3）²=4。3.方程x²-2x+k=0有两个相等的实数根，则根的判别式△=b²-4ac=0，即(-2)²-4×1×k=0，解得k=1。4.解方程（x-2）²=9，开方得x-2=3或x-2=-3，解得x=5或x=-1。5.若方程x²+px+q=0的两个根分别为x₁=2和x₂=-3，则根据根与系数的关系，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，代入得p=-（2-3）=1，q=2×（-3）=-6。6.一元二次方程必须满足三个条件：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。选项A是二元一次方程，选项B可化简为-4x+1=0，是一元一次方程，选项C的最高次数为3，选项D符合一元二次方程的定义。7.将x=3代入方程kx²-6x+9=0，得9k-18+9=0，解得k=1。8.根的判别式△=b²-4ac，代入a=2，b=-5，c=-3，得△=(-5)²-4×2×（-3）=25+24=49。9.根据根与系数的关系，x₁+x₂=-m，x₁x₂=-6，已知x₁=2，则2+x₂=-m，2x₂=-6，解得x₂=-3，故另一个根是-3。10.根的判别式△=b²-4ac判断：A.△=16-16=0，有两个相等的实数根；B.△=1-4=-3＜0，没有实数根；C.△=4+12=16＞0，有两个不相等的实数根；D.△=0-4=-4＜0，没有实数根。二、填空题1.方程（x-1）²=4，开方得x-1=2或x-1=-2，解得x=3或x=-1。2.若方程x²-2x+k=0有两个不相等的实数根，则根的判别式△=b²-4ac＞0，即(-2)²-4×1×k＞0，解得k＜1。3.根据根与系数的关系，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，且x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂，代入得p²-2q=10，即p²+n=10。若n=1，则p²+1=10，p²=9，p=±3；若n=-1，则p²-1=10，p²=11，p=±√11。但题目要求p+n的值，故p+n=±3±1或±√11-1，但需具体化简。4.方程x²-6x+9=0可化为(x-3)²=0，故有两个相等的实数根x=3。5.根据根与系数的关系，x₁+x₂=-m，x₁x₂=-6，已知x₁=2，则2+x₂=-m，2x₂=-6，解得x₂=-3，故另一个根是-3。6.用配方法解方程x²+6x-7=0，将方程左边配方可写为(x+3)²-9-7，即(x+3)²-16，故(x+3)²=16，开方得x+3=4或x+3=-4，解得x=1或x=-7。7.根据根与系数的关系，x₁+x₂=-m，x₁x₂=n，且1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/x₁x₂=-m/n=2，解得m=-2n，m+n=-n。若n=1，则m=-2，m+n=-1；若n=-1，则m=2，m+n=1。8.方程x²+mx+n=0与x²-2x-3=0有相同的根，方程x²-2x-3=0的根为x=3或x=-1，代入x²+mx+n=0，得9+3m+n=0和1-m+n=0，联立解得m=-4，n=3。三、判断题1.方程x²+4=0可化为x²=-4，由于平方数非负，故无解，但题目说没有实数根，故正确。2.根据根与系数的关系，x₁+x₂=-m，若x₁=-x₂，则x₁+x₂=0，故m=0，正确。3.方程（x-1）²=1，开方得x-1=1或x-1=-1，解得x=2或x=0，题目说解为x=2，错误。4.若方程x²+mx+q=0有两个不相等的实数根，则根的判别式△=b²-4ac＞0，正确。5.方程x²-6x+9=0可化为(x-3)²=0，故只有x=3这一个解，题目说解为x=3或x=-3，错误。6.若方程x²+mx+n=0的一个根是x=1，则代入得1+m+n=0，即m+n=-1，题目说m+n=1，错误。7.方程x²+4x+4=0可化为(x+2)²=0，故只有x=-2这一个解，题目说解为x=-2，正确。8.根据根与系数的关系，x₁+x₂=-m，x₁x₂=n，且x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂，代入得m²-2n=10，即m²+n=m²-2n+10=20，题目说m²+n=10，错误。9.若方程x²-2x+k=0有两个相等的实数根，则根的判别式△=b²-4ac=0，即(-2)²-4×1×k=0，解得k=1，题目说k=4，错误。10.若方程x²+mx+n=0的两个根分别为x₁=2和x₂=-3，则根据根与系数的关系，x₁+x₂=-m，x₁x₂=n，代入得p=-（2-3）=1，q=2×（-3）=-6，正确。四、简答题1.设长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意得x+y=10，xy=24，解方程x²-10x+24=0，得x=4或x=6，故长方形的长为6cm，宽为4cm（或长为4cm，宽为6cm）。2.设生产x件产品，则总成本为2000+50x元，总收入为80x元，盈利条件为总收入＞总成本，即80x＞2000+50x，解得x＞40，故至少生产41件产品才能盈利。3.设二等奖人数为x人，则一等奖人数为2x人，三等奖人数为3x人，根据题意得2x+3x+x=100，解得x=20，故一等奖人数为40人，二等奖人数为20人，