2025届江苏省泰州市靖江市中考一模数学试卷（附解析）

2025届江苏省泰州市靖江市中考一模数学试卷

一、选择题

1.中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航

天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）

吠|）9

中国探月

中国探火CLEP

CMEPB.

中国火箭

中国行星探测CHINAROCKET

Mars

2.下列计算正确的是（）

A.3a-2=斗B.x6-%4=x2C.(x3)2=xsD.(x+y)2=x2+y2

3.某快递员卜一月份送餐统计数据如下表:

送餐距离小于等于3公里大于3公里

占比70%30%

送餐费4元/单6元/单

则该快递员十二月份平均每单送餐费是（）

A.4.4元B.4.6元C.4.8元D.S元

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4.如图，直线a||b,矩形ABCD的顶点A在直线b上，若乙2=41°,则乙1的度数为（）

A.41°B.51°C.49°D.59°

5.如图，把一个平行四边形纸板48C。的一边紧靠着数轴平移到平行四边形dB'c'D'的位置.点

C、C'表示的数分别为3a,则点4平移的距离为（）

A.aB.bC.a-bD.b-a

6.如图，在正方形48co中，AB=6,E为AO的中点，将△COE沿CE翻折得△点M

落在四边形4BCD内.点N为线段CE上的动点，过点N作NP1CM交CM于点尸，则MN+

NP的最小值为（）

二、填空题

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7.由De叩Seek开发的人工智能助手在全球范闱内掀起了•股热潮.据国内小产品榜统计显示，

这款推理相聊天机器人在上线仅20天后，其口活跃用户数就达22150000.数字22150000用

科学记数法表示为.

8.分解因式：rn^n—mn2=.

9.若一组数据21,14,x,y,9的众数和中位数分别是21和15,则这组数据的平均数为

10.“小孔成像''实验示意图如图所示，蜡烛到挡板距离与挡校到屏幕距离之比是1:2,若烛焰4c

的高是4cm,则实像BD的高是cm.

11.如图，将Az48c绕点A顺时针旋转45。得到△4?'。'，若AC=4,则点C运动的路径长为

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12.如图，在四边形48C。中，AD||BC,AB工BC,AD,CD分别与扇形8"相切于点H与点

E.当48=15,BC=17时，4。的长为.

13.如图，正方形4BC。的顶点8在x轴上，点4和点C在反比例函数y=：（k>0,无>0）图象

上，若直线8C的函数表达式为y=-2,则k的值为.

14.如图，在等边三角形ABC中，。是4c延长线上一点，E是48上一点，连接8D,ED.若

DE=DB,AD+AE=10,BE=2,则的长为.

15.已知抛物线、=。（工一1）2+匕4（0,-3）,矶3,0）,其孙山），。（乃川）四点都在该抛物线上,

且1W与一小工3,则m的取值范围为.

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16.“洛书”是中国重要的文化遗产，可转为如图1的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的三

个数之和相等.图2是一个不完整的三阶幻方，结合图中信息可得x+y=

492X-16

3577y

816

洛书图1图2

三、解答题

17.(1)计算：一彷+(江一3.14)°；

(2)先化简，再求值：4(x-I)2-(2x+3)(2%-3)+2x(x4-4),其中x=-tan45。.

18.目前中国超重肥胖人群已超3亿，若不加以干预，预计2030年成人超重肥胖率将达70.5%,

儿童将达31.8%.在2025年全国两会期间，”体重管理年”三年行动成为重要议题.目前，国际

上常用身体质量指数“BM/”(8odyMass/ndex)作为衡量人体健康状况的一个指标，其计算公式为

8M/=点⑺表示体重，单位：kg；九表示身高，单位：rn).8M/标准见卜表：

BMI的BMI<18.518.5<BM124.0<BMI<28.0BMI>28.0

<24.0

范围

健康类体重过低正常超重肥胖

型

健康风伴随营养不良，疾病风险相对较需注意饮食和运动，预显著增加心血管疾

险免疫力下降低防代谢病病，关节负担等

为了了解学生的健康情况，某校随机抽取了40名学生测量身高和体重，计算其BM/值，并将其

分成四组，情况如下：

BMI的范围BMI18.5<BM124.0<BM1BMI

<18.5<24.0<28.0>28,0

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人数424m2

(1)样本中BMI数值落在超重范围里的频率是；

(2)小明身高1.60m,体重为60k.q,根据公式判断他的健康状况的类型为；

(3)小华身高1.75m,BM/值为29,他想通过健身减重使自己的BM/值达到正常，则他的体

重至少需要减多少千克？(结果精确到0.1的)

19.随着《黑神话：悟空》这款融合了中国传统文化精髓与现代游戏技术的力作横空出世，不仅

激发了玩家对神话故事的无限遐想，更意外地点燃了公众对山西这片古老土地的热情.游戏中精

心选取的27处山西实景，如同一幅幅生动的历史画卷，引领我们穿越时空，感受五千年文明的

深厚底蕴.某旅游公司推出“跟着悟空游山西“二H游路线.小明家、小米家利用双休日出去旅游,

每次出游只能选一条路线.

“跟着悟空游山西''二日游推荐路线

力.临汾线：小西天、广胜寺、铁佛寺

B.长治线：观音堂、紫庆寺

C.翔州线：尝福寺、应县木塔

D.普中线：平遥镇国寺、平遥双林寺

(1)小米家选4路线的概率是

(2)如果小明家相约小米家一起出去旅游，两个家庭从上面四条路线中各选一条路线去游玩,

请用树状图或列表的方法求出两家恰好选同一条路线的概率.

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20.宇树科技的机器人H/完成一项数据处理任务，常规模式下每小时处理的数据量固定.若先用

常规模式工作5小时后，切换到加速模式继续工作8小时，刚好完成任务.若加速模式下每小

时处理的数据量比常规模式多25%,求常规模式下单独完成整个任务需要多少小时？

21.如图，a/WC的中线力?与中位线相交于点。.从a组信息中，选择一个作为条件，从

b组信息中选择一个作为结论，并证明.

a：①/BAC=90。；®AB=AC,

b：③四边形力DFE为菱形；④四边形力D9E为矩形.

你选择的条件是;结论是.（只要填写序号，证明一个即可）

22.某校”综合与实践”活动小组的同学要测量48,CD两座楼之间的距离，他们设计如下方案：

无人机在48,两楼之间上方的点。处，点。距地面力C的高度为30m,此时观测到楼48

底部点4处的俯角为70。，楼CD上点E处的俯角为30。，沿水平方向由点。飞行247n到达点F,

测得点E处俯角为60。，其中点4B,C,D,E,F,。均在同一竖直平面内.根据以上数据求

楼48与CD之间的距离4c的长.（结果精确到1m.参考数据：sin70°«0.94,cos70°0.34,

tan70°«2.75）

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23.如图1,等边三角形A8C的边长为2,点48在。。上，点C在。。内，。。的半径为

V2.将△ABC绕点A逆时针旋转，点C的对应点记作C'.

（1）用无刻度直尺在图1中，作出C’第一次落在。。上时的位置，此时旋转角为°;

（2）用无刻度直尺和圆规在图2中，作出力C'与。。相切时的位置，此时的长为.

24.在平面直角坐标系无。y中，过一点分别向2y轴作垂线，若这一点与坐标轴围成的矩形周

长和面积相等，则该点叫做“和谐点”，这个矩形称为“和谐矩形

【初步理解】

（1）P（-3,6）,Q（4,5）是和谐点的是；

（2）若点P（4初-8）是第四象限内的一个，和谐点”,求点P的坐标；

【尝试应用】

（3）若双曲线、=；（攵>0/>0）上有且只有一个“和谐点”，求k的值；

【回归本质】

（4）若P为第一象限内的和谐点，且横、纵坐标均为整数，求满足条件的点P的所有坐标.

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25.综合与实践：图形的旋转.

在矩形48CD中，点。为对角线8D的中点，连接C。，点E在AB上，BE=BO,线段E。的

延长线交CO于点凡将图1中的△BOE绕B点顺时针旋转，设点。，E的对应点分别为。'，E.

【初步探究】

（1）DF与0C的数量关系是

【尝试解决】

（2）如图2,当点。'落在AB的延长线上时，连接CE',判断四边形OBE'C的形状，并说明理由;

【拓展提升】

（3）已知48=8,AD=6,求直线。月与直线E尸垂直时40’的值.

26.在平面直角坐标系xOy中，点力，B的横坐标分别为m-l,m4-a（m,a为常数，a>-1）,

且在抛物线y=-（%-Tn-I）24-2m-2am+1上，抛物线顶点记为C.

（1）对称轴方程为；（用含m的代数式表示）

（2）过力作4轴的平行线交该抛物线于点4,若S“U=2SM8/，求Q的值；

（3）若点、A,8所在直线经过一、三象限，求a的取值范围.

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参考答案与试题解析

2025届江苏省泰州市靖江市中考一模数学试卷

一、选择题

1.

【答案】

D

【考点】

中心对称图形

【解析】

本题主要考查了中心而称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能

够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.根据中心对

称图形的定义进行逐判断即可.

【解答】

解.：选项力、B、C中的图案都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，

所以不是中心对称图形，

选项。中的图案能找到一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以是中心对

称图形，

故选：D.

2.

【答案】

A

【考点】

合并同类项

转的乘方

运用完全平方公式进行运算

负整数指数累

【解析】

木题考查了整式的运算,根据负整数指数幕.合并同类项.塞的乘方、完全平方公式分别计算即

试卷第10页，总42页

灯判断求解.掌握整式的运算法则是解题的关键.

【解答】

43。一2=会正确；

8.%6与%4不是同类项，不能合并，不正确；

C.(x3)2=x3x2=x6,不正确；

D.(x+y)2=x24-2xy+y2,不正确.

故选：A.

3.

【答案】

B

【考点】

加权平均数

【解析】

根据加权平均数公式计算即可.

【解答】

解：该快递员十二月份平均每单送餐费是：4x70%+6x30%=4.6(元)，

故选：B.

4.

【答案】

C

【考点】

根据平行线的性质求角的度数

利用矩形的性质求角度

【解析】

本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点B作BE||Q,得到BE||a||b,推出“BC=

Z1+Z2,进行求解即可.

【解答】

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解：•.•矩形

•••/.ABC=90°,

过点B作BEIIa,

va||b,

BE||a||b,

•••Z.1=乙ABE,乙2=乙CBE,

•••乙ABC=乙ABE+LCBE=Z.14-Z.2,

v乙2=41°,

••・41=90°—41°=49°；

故选C.

5.

【答案】

C

【考点】

数轴上两点之间的距离

利用平移的性质求解

【解析】

题目主要考杳数轴上两点之间的距离及平移的性质，理解掌握平移的性质是解题关键.根据数轴

上平移前后对应点的位置即可得出结果.

【解答】

解：由题图可知，点力平移的距离为Q-6,

故选C.

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6.

【答案】

【考点】

全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）

勾股定理的应用

翻折变换（折叠问题）

相似三角形的性质与判定

【解析】

作点P关于CE的对称点P过点M作于F,交CE于点G,连接DG,DM,根据折

叠的性质可得点P'在C。上，推得MN+NP的最小值为“产的长，根据折叠的性质可得CE为

线段DM的垂直平分线，根据勾股定理可得DO和E0的值，根据同位角相等，两直线平行可得

DE||MF,根据两直线平行，内错角相等可得4£7）。=4GM。，根据垂直平分线上的点到两端点

的距离相等可得00=0M,根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，

全等三角形的对应边相等可得0E=GM,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有

一个角是直角的平行四边形是菱形可得四边形DEMG为菱形,根据菱形的对角线耳相平分可得

EG=20E=誓，GM=DE=1,求得CG的值，根据两组对角相等的两个三角形是相似三角形,

相似三角形的对应边之比相等可求得FG的值，即可求解.

【解答】

解：作点尸关于CE的对称点P过点M作M『_LCD于凡交CE于点G,连接0G,DM,如

图：

试卷第13页，总42页

由折叠的性质知CE是40cM的平分线，

.••点P'在CD上，

•；MN+NP=MN+NP'<MF,

MN+NP的最小值为MF的长，

由折叠的性质知CE为线段DM的垂直平分线,

vAD=CD=6,DE=3,

•••CE=A/亦+。七2=V62+32=3V5,

vxCExDO=7xCDxDE,

22

:.DO=W，

E0=y/DE2-DO2=卜一（容j=竽，

vMF1CD,"DC=90°,

•••DE||MF,

/./EDO=/GMO,

••・CE为线段OM的垂直平分线，

:.DO=0M,乙DOE=4MOG=90°,

DOE=△MOG,

••・DE=GM,

四边形DEMG为平行四边形，

v/-MOG=90°,

•••四边形DEMG为菱形，

•••EG=2OE=咯GM=DE=3,

试卷第14页，总42页

，CG=CE-CG=3遥一竿=竿，

•••DE||MF,

即DE||GF,

•••△CFGCDE,

....-F-G-=_—CG,

DECE

9席

=豪

•••FG=p

o

・・.M/=3+合9得?4

•••MN+NP的最小值为

故选：4.

二、填空题

7.

【答案】

2.215x107

【考点】

用科学记数法表示绝对值大于1的数

【解析】

根据科学记数法的方法进行解题即可.本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为

ax103其中1W|a|V10,n为正整数，确定a与九的值是解题的关键.

【解答】

解：数字22150000用科学记数法表示为2.215x107,

故答案为：2.215X107.

8.

【答案】

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mn(m-ri)

【考点】

因式分解•提公因式法

【解析】

此题暂无解析

【解答】

分析:找出多项式中的公因式nrn,再进行提取公因式进行分解即可.

详解：m2n—mn2=mn(m-n).

故答案为mn(m-n).

点睛：本题考查了提公因式法分解因式，是基础题，准确找出公因式是解题的关键.

9.

【答案】

16

【考点】

求一组数据的平均数

利用中位数求未知数据的值

利用众数求未知数据的值

【解析】

根据已知条件分析，得出％和y中有一个数为21,再根据中位数得出另一个数，从而求出平均

数.

【解答】

解：•・•一组数据21,14,x,y,9的众数和中位数分别是21和15,

若无=y=21,则该组数据的中位数为：21,不符合题意，

则x和y中有一个数为21,另一个数为15,

•••这组数据的平均数为：(9+14+15+21+21)^5=16,

故答案为：16.

1().

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【答案】

8

【考点】

此题暂无考点

【解析】

本题考查了相似三角形的判定与性质，根据/ICII证明A71。。〜△800,利用相似三角形的性

质求解即可.

【解答】

•••△A0CB0D,

•••烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1:2,烛焰AC的芯是4cm,

AC1

：•­=

BD2

•••BD=8cm

故答案为：8.

11.

【答案】

7T

【考点】

求某点的弧形运动路径长度

【解析】

本题考查了轨迹，旋转的性质，根据弧长公式即可求出点c经过的路径长.

【解答】

试卷第17页，总42页

解：••・△ABC绕点A顺时针旋转45。得到△ABC,AC=4,

二点C经过的路径长为：需二上

1OU

故答案为：加

12.

【答案】

9

【考点】

勾股定理的应用

根据矩形的性质与判定求线段长

切线的性质

应用切线长定理求解

【解

连接BE,作DH18C于点乩由力。，CD分别与扇形BAr相切于点力，E,AB=15,BC=

17得48=£8=15,ADLAB,CD1EF,AD=ED,求得CE=/BC2-EB?=8,再证明四

边形48”。是矩形，则BH=AD,DH=AB=15,由勾股定理得152+(17-4=(8+

710)2,求得力0=%即可解答.

【解答】

解：连接8E,作DH18C于点”，

则48/70=Z.CHD=90°,

-AD,CD分别与扇形BAF相切于点A,E,AB=15,BC=17,

.•.48=E8=15,ADLAB,CD1EB,AD=ED,

.'.^BAD=^BEC=90°,

试卷第18页，总42页

CE=y/BC2-EB2=V172-152=8,

,:AD/IBC,

:.Z-ADH=Z-CHD=90°,

•••乙BAD=/.ADH=乙BHD=90°,

••・四边形/BH。是矩形，

:.BH=AD,DH=AB=15,

:.CH=BC-BH=17-AD.

在△OHC中，根据勾股定理可得：

152+(17-AD)2=(8+AD)2,

解得：AD=9,

故答案为：

13.

【答案】

6

【考点】

反比例函数综合题

全等的性质和ASA(AAS)淙合(ASA或者AAS)

根据正方形的性质求线段长

相似三角形的性质与判定

【解析】

解方程求得8(4,0),G(0,-2),得到。8=4,OG=2,过作/IEJLx轴于E,过。作CFJ.%

轴于凡根据正方形的性质得到48=BC,AABC=90\根据全等三角形的性质得到＜E=B凡

BE=6,根据相似三角形的性质得累=3=；,设6=Q,BF=2a,根据反比例函数图象上

B卜OoL

点的坐标特征即可得到结论.

【解答】

试卷第19页，总42页

解：在y=；x-2中，令y=0,则％=4,

令X=0,则y=-2,

•••8(4,0),(7(0,-2),

OB=8,OG=4,

过A作力EJ.x轴丁E,过C作CF_Lx轴丁儿

•.•四边形ABCD是正方形,

AB=BC,乙48。=90°,

Z.EAB+乙ABE=乙ABE+LCBF=90°,

•••Z-EAB=乙CBF,

在△力E8与中,

Z.AEB=乙BFC=90°

Z-BAE=Z-FBC

AB=BC

•••△AE8会△8/COL4S),

•••AE=BF,BE=CF,

乙BOG=乙BFC=90°,4OBG=乙CBF,

△OBGs瓜FBCt

~C~F=OG=一1,

BFOB2

设CF=Q,BF=2a,

AE=2a,BE=a,

试卷第20页，总42页

•••/1(4-a,2d),C(4+2a,d)f

••,点4点C在反比例函数y=3(k>0,x>0)图象上,

:.2a(4-d)=a(4+2a),

;Q=1,fl=0(不合题意舍去)，

A71(3,2),

AA：=3x2=6,

故答案为：

14.

【答案】

14

T

【考点】

含30度角的直角三角形

等腰三角形的性质：三线合一

等边三角形的性质

【解析】

本题考查了含30。角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，正确作出辅

助线是解题的关键.

过。作0F1A8于点F,由等腰三角形的性质得EF=8F=1,设AE=%，则4。=10-

x,AF=AE+FF,由等边三角形的性质得BC=48,乙4=60。，则N/OF=30。，再由含30。角的

直角三角形的性质得40=2/1凡然后求出工,即可解决问题.

【解答】

解：如图，过。作DF_L48于点凡

试卷第21页，总42页

D

EF=BF=-BE=1,

2

设/E=x,则力。=10—%,4/=AE+£F=x+l,

是等边三角形，

•••BC=AB./.A=60°,

Z.ADF=90060°=30°,

AAD=2AF,

即107=2(x+1),

8

•••X=-,

BC=AB=AE+BE=-+2=—

33t

故答案为：y.

15.

【答案】

【考点】

根与系数的关系

待定系数法求二次函数解析式

二次函数y=axA2+bx+c(a#))的图象和性质

【解析】

本题主要考查了一次函数的性质，一元一次方程根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是熟

试卷第22页，总42页

练掌握二次函数的性质.先求出二次函数的解析式y=%2-2%-3,令y=m,则好一2%-

3=m,根据根与系数的关系求出必+不=2,%i%2=-3-m,求出(与一打7=(不+0产一

2根据勺—血工得出求出的

4%1%2=2—4(—3—m)=16+4m,1W3,1W16+4m<9m

取值范围即可.

【解答】

解：把4(0,—3),夕(3,0)代入、=以“-1)2+4得：

(a+k=-3

14a+k=0'

解得：，

Ik=-4

•••y=a(x-l)2+/c=(x-I)2-4=x2-2x-3,

令y=zn,则d—2x—3=m,

•••x2-2x-3—7n=0,

C(X],m),。(%2，瓶)在抛物线y=x2—2%—3上，

+x2=2>XjX2=-3-m,

222

•••(xj-X2)=(%i+x2)-4x^2=2-4(-3-m)=16+4m,

v1<—x2<3.

2

•*.1<(Xi-x2)49,

:.1<16+4m<9,

解得：一

44

vx2-2%-3-?n=0有两个不相等的实数根，

•••(-2)2-4(-3-m)>0,

即164-4m>0,

解得：m>-4,

综上分析可知：一

44

试卷第23页，总42页

故答案为：-*mW—

16.

【答案】

-2

【考点】

一元一次方程的应用——数字问题

【解析】

本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，求解即可.

【解答】

a+y=x+a+b=6+y+b,

a=2,8=3,

如图:

n□□

tzi□□H

由图可知：*+7+c=-l+2+d=6+y+3=c+d+3=c+2+6,

•••c=—2,

•••和为6,

如图：

试卷第24页，总42页

□R□

□□R

Ax+y=1+(―3)=—2・

故答案为：—2.

三、解答题

17.

【答案】

(1)-4：(2)2x2+13,15

【考点】

实数的混合运算

整式的混合运算

负整数指数幕

特殊角一角函数值的混合运算

【解析】

本题主要考杳整式的混合运算，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，解题的关键是掌握实数

和整式的混合运算顺序和运算法则.

(1)先利用零指数恭和立方根及负整数指数'幕的运算法则计算，再计算加减可得；

(2)先利用完全平方公式和平方差公式、单项式乘多项式计算，再去括号、合并同类项即可化简

原式，继而将x=-tan450=-1的值代入计算.

【解答】

解：(1)原式=-3+(-2)+1=-4；

(2)原式=4(x2-2x+1)-(4x2-9)+2x2+8x

=4x2-8x+4-4x2+9+2x2+8%=2x2+13,

当x=—tan450=-1时,原式=2x(—I)24-13=15.

试卷第25页，总42页

18.

【答案】

0.25

正常

(3)小华至少减重15.4kg

【考点】

用一元一次不等式解决实际问题

用样本的某种“率”估计总体栩应的“率”

【解析】

(1)先得出m=10,再利用频率计算公式得出超重范围的频率；

(2)根据小明的身高和体重计算出他的值,并判断他的健康状况:

(3)设减重后体重为x千克，正常5M/W24.0,则由W24.0,求解不等式，注意所减体重要

大于15.3125kg.

【解答】

(1)解：已知总人数为40人，由4+24+血+2=40,解得m=10,

所以超重范围的频率为/=0.25；

40

故答案为:0.25；

(2)小明的BM/=提=段23.44,

因为18.5<23.44<24.0,所以健康状况类型为正常.

故答案为：正常：

(3)设减重后体重为3千克，正常8M/W24.0,

则后424.0,解得无W73.5,

小华原体重为29x1.752=29x3.0625=88.8125kg,至少减重

88.8125-73.5=15.3125^,所减体重要大于15.3125kg至少减重154kg.

试卷第26页，总42页

答：他的体重至少需要减154千克.

9

1

4

1

IZ2)

-4-

【考点】

根据概率公式计算概率

列表法与树状图法

【解析】

(1)直接利用概率公式进行计算即可；

(2)画出树状图，利用概率公式进行计算即可.

【解答】

(1)解：从4、B、C、D路线中选中力的概率为:;

4

故答案为:

4

(2)画树状图如卜.：

开始

小米ABCD

小明ABCDABCDABCDABCD

共有16种等可能结果，其中两家恰好选择同一条路线的结果有4种

41

，P=—=—

164

答：小米家和小明家选择同一条路线的概率为:.

4

20.

【答案】

常规模式下单独完成整个任务需15小时

【考点】

试卷第27页，总42页

此题暂无考点

【解析】

本题考查了分式方程的应用，先设常规模式下单独完成整个任务需X小时，结合”先用常规模式

工作5小时后，切换到加速模式继续工作8小时，刚好完成任务.若加速模式下每小时处理的

数据量比常规模式多25%”列出分式方程，即可作答.

【解答】

解：设常规模式下单独完成整个任务需x小时，

依题意得：+:(1+25%)=1,

解得：x=15

经检验：x=15适合原方程且满足题意.

答：常规模式下单独完成整个任务需15小时.

21.

【答案】

选择的条件是①，结论是④，证明见解析

【考点】

等腰三角形的性质：三线合一

与三角形中位线有关的证明

证明四边形是矩形

证明四边形是菱形

【解析】

该题考查了菱形的判定，矩形的判定，三角形中位线定理知识点，根据题意选择的条件是：①,

结论是：④：和选择的条件是：②，结论是：③；分别证明即可.

【解答】

解：选择的条件是：①结论是：④；

证明：连接OF,EF,

试卷第28页，总42页

A

•••/IF为△48C的中线，DE为△ABC中位线,

：.F为BC中点、,。为48中点，E为力C中点.

DF||AC,EF//AB.

•••四边形4DFE为平行四边形.

又乙£MC=90°,则四边形力DFE为矩形.

选择的条件是：②结论是：③；

证明：连接OF，EF,

•••4尸为△/8C的中线，DE为AABC中位线，

，产为BC中点，D为AB中点,E为4C中点.

/.DF||AC,EF//AB,DE//BC.

二四边形4Q/E为平行四边形.

VAB=AC,/!尸为的中线,

：•AF1BC,

:.AF1DE,

.••则四边形ADFE为菱形.

22.

【答案】

楼A8与CO之间的距离约为47m

【考点】

含30度角的直角三角形

根据矩形的性质与判定求线段长

解直角三角形的应用-仰角俯角问题

试卷第29页，总42页

【解析】

本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角问题、矩形的判定与性质、含30度角的直角三

角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.过点。作OP_L

AC,垂足为点P,则匕。P4=90。，根据题意得出4P*10.91m,延长CD交。产所在直线于点Q,

则4EQ尸=90。，确定。F=E尸=24m,然后利用含30度角的直角三角形的性质及矩形的判定

和性质即可求解.

解：过点。作。PIRC,垂足为点P,则2024=90。.

由题意：Z-OAP=70°,OP=30/n,

•••tanz.OAP=tan70°=«2.75.

•••AP«10.91m.

延长CD交。厂所在直线于点Q,则4EQF=90°,

•:乙QFE=60。,LFOE=30°,

乙FOE=乙FEO=30°.

•••OF=EF=24m.

在中，ZEQF=9O°,Z-EFQ=60°,

:./FEQ=30°.

FQ=^FE=12.

OQ=OF+FQ=36m.

根据题意得：四边形OPCQ为矩形.

•••OQ=CP=367n.

试卷第30页，总42页

，AC=AP+CP47m.

答：楼48与CD之间的距离约为47m.

23.

【答案】

30

8+4企或8-4V2

【考点】

勾股定理的应用

圆周角定理

切线的性质

【解析】

（1）当点。第一次落在。。上时，连接力。加0£'。，可证明△48。是等腰直角三角形，B、C

、。三点共线，再求出可得4a4c'=30°,

（2）根据过直线上一点作垂线可得圆的切线力C',过点8作BE_L4。'，得出==

分两种情况得出C'B2的值.

【解答】

（1）解：延长BO交。。于点C',则点C'即为所作；

当点C笫一次落在。。上时，连接A0,80,C‘0,

vAO=BO=\[2,AB=2,

2ABO是等腰直角三角形，

•••AO1BO,

•••B、C\。三点共线，

试卷第31页，总42页

•••AB=AC,

・•・/,ABC=Z.ACB=45°,

•••Z.BAC=90°,

-：Z-BAC=60°,

4CAO=15。，

•••Z.CAC'=30°；

••・旋转角为30。，

故答案为：30；

（2）解：当AC'与O。第一次相切时，如图,

此时由（1）得4B/4E-45°,

过点B作8E14C',

AZ.ABE=45°,

ABE是等腰宜角三角形，

-AB=2,

•e•AE=BE=与AB=V2»

CE=2+y/2,

2

在Rt△CBE中，C/=C'E2+BE2=（2+V2）+2=8+4企；

当力C'与。。第二次相切时，如图，

试卷第32页，总42页

夕

同理可得，CE=2-yf2,

在At△CBE中,CB2=CE24-BE2=（2-V2）2+2=8-472；

综上，C'#的值为8+4企或8-4e.

24.

【答案】

P

(2)P(4,-4)

(3)k=16

(4)尸(3,6)或(4,4)或(6,3)

【考点】

因式分解的应用

根据一元二次方程根的情况求参数

反比例函数综合题

坐标与图形综合

【解析】

(1)首先需要理解“和谐点”的定义：即点与坐标轴围成的矩形周长和面积相等，据此进行判定

即可；

(2)先根据第四象限条件确定坐标符号，进一步建立和谐点方程进行计算即可；

(3)先设双曲线上点坐标，根据定义：周长=2(x+y)=面积=xy,联立方程进行求解即可；

试卷第33页，总42页

(4)设P(a力),a力为正整数，满足2(a+b)=ab,进行因式分解得出(a-2)(b-2)=4进一步

进行枚举即可.

【解答】

解：(1)设点P的坐标为G,y),则矩形周长为2(|x|+|y|),面积为|x|x|y|,

代入P(-3,6)：周长=2(|—3|+|6|)=2x9=18,面积=|—3|X|6|=18,

两者相等，故P为和谐点；

代入Q(4,5)：周长=2(4+5)=18,面积=4x5=20,

18*20,故Q不是和谐点；

故答案为：P；

(2)•.•点P(4,m-8)在第四象限，

，故x=4>0,y=m-8<0,得mV8,

可得周长=2(4+\m-8|)=2(4+8-m)=24-2m,

面积=4x|m-8|=4x(8-m),

由周长=面积得：24—2m=4x(8—m),

解得：m—4,

故点P坐标为(4,-4)；

(3)设和谐点为(x,y),则y=>0,%>0),

根据定义：周长=2(%+y)=面积=xy,

2(%+y)=xy

联立方程:k?

y=X

将y=:代入得：2(%+：)=工x(：)=k,

化简得：2x2-kx+2k=0,

A=(_k)2_4x2x2k=/-16k=k(k-16)=0,

试卷第34页，总42页

•••k=16：

(4)设P(afb)fatb为正整数，满足：

2(a+b)=ab,化简得：(a-2)(b-2)=4,

4的正整数分解为：1x42x2,4x1,

当a—2=l,b—2=4得出a=3,b=6；

当Q-2=26-2=2得出a=4,b=4；

当Q—2=4,b—2=1得出a=6力=3；

故P(3,6)或(4,4)或(6,3).

25.

【答案】

DF=0C

(2)四边形OBE'C为菱形，理由见解析

(3)或何

【考点】

勾股定理的应用

证明四边形是菱形

根据旋转的性质求解

解直角三角形的相关计算

【解析】

(1)根据矩形性质得AB||CD和Z8CD=90。，结合直角三角形的性质可证明^DOF=△BOE,

有DF=BE.结合BE=OB=0C即可；

(2)由旋转得8E=BE结合矩形的性质可证ABOC会ABE'C,有OC=CE'.由(1)得

0C=0B,则0C=CE'=8£'=0B,即可判定四边形OBE,C是菱形；

(3)在中求得8D,结合中点可得BE=8。当线段0'E’所在直线与E尸所在

直线垂直时，可以看作将0E绕点B旋转90。.将BE、0E和08绕点B顺时针旋转90。得到8E'、

试卷第35页，总42页

。'£和。’8,过点。'作O'N_L/8于点N,Mo'F=OB=S,Z-EBO=ZEFO,可得WORN=/OBC,

可求得sinzlO'BN=、，cos乙O,BN=三,即可得O,N=4,8N=3,求得AN=AB+BN,利用勾股

定理即可；将BE、0E和08绕点B逆时针旋转90。得到遇E'、。£'和。’8,过点。作O,NJ.48于

点、H,则。3=。8=5/E'B。’=乙E8。，得sinz。coszOBH=|,则OH=

4,BH=3,可求得AH,利用勾股定理即可.

【解答】

解：（1）如图1,

图1

•••四边形4BC0是矩形;

AAB||CD,乙BCD=90°

z.1=Z4.

•.•点。为BD的中点，

1

08=OD=OC=-BD

乙

z.2=z.3>

三△80E0L4S).

DF=BE.

,:BE=OB=OC,

DF=OC,

故答案为：DF=OC.

(2)四边形OBE'C为菱形，理由如下：

试卷第36页，总42页

vAORE旋转得到八O'RE',

•••z5=z6,BE=BE.

••・四边形4BC0为矩形；

•••/,ABC=90°.

•••Z-CBO'=180°-/-ABC=90°,

:.Z5+Z7=90°,z6+z8=90°；

•••z7=z8.

vBE=BO,

:•BE=BO,

•••BC=BC,

•••△BOC三卜BEC(SAS).

•••OC=CE.

由⑴得OC=OB,

...OC=CE'=BE'=OB,

••・四边形OBE'C是菱形.

(3)在Rt^ABD中，

v/-BAD=90°,88=8,AD=6,

BD=7&+82=10,

•.•点。为BD的中点，

试卷第37页，总42页

•••BE=BO=-BD=5,

2

当线段O'E'所在直线与EF所在直线垂直时，可以看作将0E绕点B旋转90。，

如图，将BE、OE和OB绕点8顺时针旋转90。得到BE'、O'E'和。’8,过点。作O,N1力8于点N,

则OR=