湖北省九师联盟2027届高三上学期9月联考数学试卷（含答案）

高三数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的

答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，

超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：高考范围。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.一组数据1,3,5,7,9,11的平均数为

A.5B.6C.7D.6.5

2.已知点O(0,0),且OA=(2,0),OB=(-2,4),则线段AB的中点坐标为

A.(0,2)B.(-2,2)

C.(-1,2)D.(—1,4)

3.已知集合A={x|6+x—x²≥0},B={x|x是小于10的质数},则A∩B=

A.{-2,1,2,3}B.{1,2,3}

C.{2,3}D.{2,3,5}

4.已知双曲线C:1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为,则C的离心率为

A.√2B.√3

C.2D.√5

5.已知数列{an}的前n项和为S,且满足S,=2an—1,则S2027=

A.22027B.22027—1

C.22026D.22026—1

6.若正四面体S-ABC的棱AC,SB的中点分别为M,N,则直线SM与AN所成角的正弦值为

AB

D

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7.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x+1)为偶函数，f(一1)=-1,当x∈[1,2]时，f(x)=

x²+ax+b,则

A.a=-4,b=4B.a=4,b=0

C.a=2,b=—2D.a=-3,b=3

8.设M={(x,y)|lxl≤1,lyl≤1,x∈Z,y∈Z},在M中任取两点A,B,定义随机变量X=|AB|,则

E(X)=

AB

D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.设复数z=-1+√3i,则

A.|z|=2

B.zi的虚部为—√3

C.z²+∈R

D.在复平面内对应的点在第一象限

10.已知圆C:x²+y²—2x—4y+4=0,则下列说法正确的是

A.若过原点O作C的切线，则其中一条切线的方程为x=0

B.若P(x,y)是C上一点，则3x+4y的最大值为16

C.若直线kx-y+1—k=0与C相交，且交点为A,B,则|AB|有最小值

D.若C上到直线y=x+m(m∈R)的距离为1的点有且仅有2个，则实数m的取值范围是

(1-2√2,1+2√2)

11.已知函数f(x)=(x—c)²(x—2)的极大值为4,则下列说法正确的是

A.c=5

B.函数f(x)有3个零点

C.若3<x<5,则f(x³)>f(x²)

D.过点(2,0)有且仅有2条直线与函数f(x)的图象相切

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在三位数中，被3除余2的数有个.

13.已知),且,

14.已知菱形ABCD的边长为2,AB·AĎ=-2,将△ACD沿AC折起到△ACD′'位置，使得二面角

D′-AC-B的大小为a,且四面体ABCD′的外接球表面积为6π,则tanα=_

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

一箱内装有10件产品，其中有2件次品，现从中有放回地随机抽取6个产品进行检验，每次抽取

1个.

(1)前2次都抽到正品且第3次抽到次品的概率是多少?

(2)若随机变量X为6次抽取中次品出现的次数，求P(X≥4).

16.(本小题满分15分)

如图，在平面四边形ABCD中

(1)求证：AC⊥DC;

(2)若,求△ABC的面积.

17.(本小题满分15分)

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为√3,四边形ACC₁A₁的面积为2且CC₁>AC,AC⊥BC,AB

的中点为M,C₁M=√5,BC₁的中点为N.

(1)求证：MN//平面ACC₁A₁;

(2)求直线C₁M与平面ACN所成角的正弦值.

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18.(本小题满分17分)

已知椭圆E:1(a>b>0)的左、右焦点分别是F₁,F₂,E的离心率为,且过点(0,2),过F₂

且斜率大于0的直线l交E于A,B两点.

(1)求E的方程；

(2)若△F₁AB的面积为,求直线l的方程；

(3)设O为坐标原点，连接AO并延长交E于点C,求|tan∠ABC|的最小值.

19.(本小题满分17分)

已知函数f(x)=xlnx.

(1)求函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程；

(2)设D(xo)={t|t=f(x)一f(xo),x≥xo}.

(i)求

(ii)若f(x₁)<f(x2)且,试判断D(x₁)和D(x₂)的关系，并加以证明.

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高三数学参考答案、提示及评分细则

1.B由平均数定义，6.故选B.

2.A设线段AB的中点为M,.故选A.

3.C由题意知A=[-2,3],B={2,3,5,7},A∩B={2,3}.故选C.

4.C由题意知的倾斜角故选C.

5.B当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1,所以a₁=1,当n≥2时，aₙ=S-Sₙ-1=(2an-1)—(2an-1-1),所以{an}是

首项为1,公比为2的等比数列.故选B.

6.D取{SA,SB,SC}为基底，不妨设SA|=|SB|=|SC|=1,则由题意知,∠ASB=∠ASC=∠BSC

,所以SM.,设直线SM与AN所成角为

),则,直线SM与AN所成角的正弦值为.故选D.

7.A因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(一x)=—f(x),且f(0)=0,因为f(-1)=-1,所以f(1)=1①,

f(x+1)为偶函数⇔f(1-x)=f(1+x)⇔f(2-x)=f(x),所以f(2)=0②,当x∈[1,2]时，f(x)=z²+ax+b,

由①②得1+a+b=1,4+2a+b=0,解得a=-4,b=4.故选A

8.D由题意，知X=1,√2,2,√5,2√2,X的分布列如下表：

X1√22√52√2

P

所以故选D.

9.AD因为z=-1+√3i,所以|z|=√(-1)²+(√3)²=2,A正确；zi=(-1+√3i)i=—√3—i,所以zi的虚部为—1,B

错误；2+=(-1+√3i)²+(-1-√3i)=-3—3√3i4R,C错误；i,在复平面内对应的

点在第一象限，D正确.故选AD.

10.ABD将C配方得标准方程(x—1)²+(y-2)²=1,显然圆心C(1,2)到y轴距离为1,一条切线为x=0,A正确；令

x=1+cosθ,y=2+sinθ,则u=3x+4y=11+5sin(θ+φ),其中,所以u=3x+4y的最大值为16,B正确；直

线kx-y+1-k=0,亦即y=k(x-1)+1,恒过定点(1,1),(1,1)恰在C上，所以A,B两点可以无限接近，但不能重

合，所以|AB|没有最小值，C错误；若C上到直线y=x+m(m∈R)的距离为1的点有且仅有2个，等价于圆心

(1,2)到直线y=x+m的距离小于2,即解得1-2√2<m<1+2√2,所以m的取值范围是

(1-2√2,1+2√2),D正确.故选ABD.

11.ACD因为f(x)=(x-c)²(x-2),所以,当c<2时，x=c为极大值点，而f(c)=0

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≠4,不合题意；当c=2时，f(x)没有极值，不合题意；当c>2时，为极大值点，所以解得c=5,A

正确；f(x)=(x-5)²(x-2),显然函数f(x)有且仅有2个零点，B错误；若3<x<5,则z³>x²>9,又f(x)在

(5,+∞)上单调递增，所以f(x³)>f(z²),C正确；f(x)=(x-5)²(x—2),所以f(x)=3Cx—3)(x—5),设切点为

(xo,f(x₀)),则切线方程为y—(zx₀-5)²(z₀—2)=3(x₀—3)(x₀—5)(x—xo),又点(2,0)在切线上，所以0一

(x₀-5)²(x₀-2)=3(x₀-3)(x₀-5)(2—z₀),所以x₀=2或xo=5,所以过点(2,0)有且仅有2条直线与函数

f(x)的图象相切，D正确.故选ACD.

12.300三位数中被3除余2的数从小到大排构成等差数列{an},且a=101,an=998,公差d=3,所以998=101+

3(n—1),解得n=300.

因为),且,所以,所

14.2√2因为AB·AD=|AB||AD|cos<AB,AD>=2×2×cos<AB,AD>=-2,所以,∠BAD=

所以△ABC和△ADC为等边三角形，设AC的中点为M,连接BM、D′M,∠BMD'就是二面角D'-AC-B的平面

角，大小为a.四面体ABCD'的外接球表面积为6π,记外接球半径为1设△ABC和△AD'C的

中心分别为Gj,G₂,过Gj,G₂分别作平面ABC,平面AD'C的垂线，设两垂线相交于点O,那么O就是四面体ABCD′

的外接球的球心，由题意知，R²=OA²=AM+MO,得,所以,所以

15.解：(1)设第i次抽到次品为事件A(i=1,2,3,4,5,6),由题意知

…………………………3分

前2次都抽到正品且第3次抽到次品的事件为A₁A₂A₃,因为是有放回地随机抽取产品进行检验，所以每次抽取相互

独立，

………………6分

(2)由题意知……………8分

所以P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)……………………10分

……………13分

16.(1)证明：由余弦定理，

………………3分

因为AC²+DC²=9+3=(2√3)²=AD²,

所以AC⊥DC.…………………6分

(2)解：由(1)知AC⊥DC,AD=2CD,所以,又AB⊥AD,所,…………8分

因为,所以

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由正弦定理，,所以AB=2,………………………13分

所以△ABC的面积.…………15分

17.(1)证明：连接AC₁,因为M,N分别为AB,BC₁的中点，所以MN//ACj,…………………3分

又MNC平面ACC₁A,AC₁C平面ACC₁A,

所以MN//平面ACC₁A₁.……6分

(2)解：令CA=a,CB=b,CC₁=c,其中c>a,由AC⊥BC,M为AB的中点知

由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为√3,四边形ACC₁A₁的面积为2,C₁M=√5,得………8分

解得a=1,b=√3,c=2.9分

如图，以C为坐标原点，CA,CB,CC分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，

则C(0,0,0),C₁(0,0,2),A(1,0,0),B(0,√3,0),所以

……………·11分

),CA=(1,0,0),设平面ACN的法向量为n=

(x,y,z),那么即取y=1,则,所以

是平面ACN的一个法向量.……………………13分

设直线C₁M与平面ACN所成角为θ,则

即直线C₁M与平面ACN所成角的正弦值………………15分

18.解：(1)由椭圆E过点(0,2)知b=2,离心率,所以a=2√2,…………………2分

所以E的方程……………4分

(2)因为c²=a²—b²=4,所以F₁(-2,0),F₂(2,0),过F²且斜率大于0的直线l交E于A,B两点，

设l:x=my+2(m>0),ACx₁,y₁),B(x₂,y2),联立方得(m²+2)y²+4my-4=0,

显然………………………6分

又△F₁AB的面积,即.………………8分

,解得m=±1,又m>0,所以m=1,

所以直线l的方程为x-y-2=010分

【高三数学参考答案第3页(共4页)】9/1-G

(3)连接AO并延长交E于点C,则C(一x₁,一y₁),因为ACx₁,y₁),B(x₂,y2)在E上，所以

两式相减得，,…12分

即………………………13分

设kAB=k,则

当且仅时，等号成立，

所以|tan∠ABC|的最小值为2√2.………………17分

19.解：(1)f(x)=xlnx,f(x)=Inx+1,f(1)=0,f(1)=1,………2分

所以函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程为y=x-1.………4分

(2)(i)由题意知D(x₀)={t|t=f(x)一f(x₀),x≥x₀),

所以

由3,得t′=Inx+1,令t'>0,得,令t<0,,…………6分

所以3在上单调递减，在)上单调递增，………………8分

十∞).………………9分

(ii)D(x₁)={t|t=f(x)一f(x₁),x≥x₁},D(x2)={t|t=f(x)一f(x₂),x≥x₂},

由f(x)=xlnx,得f(x)=Inx+1,令f'(x)>0,得,令f(x)<0,得,所以f(x)在(上单调

递减，