微专题　几何法求空间角与距离

1/1微专题几何法求空间角与距离几何法求空间角与距离主要是转化构造三角形，即把空间角转化为平面角，空间距离转化为平面距离，进而转化为求解三角形的边、角问题.几何法求空间角角度1求线线、线面角（1）（2021·全国乙卷5题）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（D）A.π2 B.C.π4 D.解析：如图，连接C1P，因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP.又BP⊂平面B1BP，所以有C1P⊥BP.连接BC1，则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则在直角三角形C1PB中，C1P＝12B1D1＝2，BC1＝22，sin∠PBC1＝PC1BC1＝12，所以∠PBC（2）如图，已知正四棱锥P-ABCD底面边长为2，侧棱长为4，M为侧棱PC的中点，则直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为（D）A.143 B.C.156 D.解析：作PO⊥底面ABCD于O，连接OC，因为正四棱锥P-ABCD底面边长为2，故OC＝2，又侧棱长为4，故PO＝PC2－OC2＝14.又M为侧棱PC中点，取OC的中点F，连接MF，BF，则MF12PO，所以MF⊥平面ABCD，故∠MBF是BM与平面ABCD所成的角，且MF＝12PO＝142.又cos∠BCM＝BC2PC＝14，所以在△BCM中，由余弦定理有BM＝BC2＋CM2－2BC·CMcos∠几何法求空间角主要分为3个步骤：（1）作（找）角；（2）证明这个角就是要求的角；（3）计算.其中作（找）角是关键，对于异面直线所成的角，一般是通过平移一条直线直至与另一条直线相交，从而得到所求角的平面角；对于线面所成的角，一般是在直线上找一点，作平面的垂线，连接斜足与垂足得到直线在平面上的射影，直线与它在该平面上的射影所成的角就是所求角的平面角.角度2求二面角（1）如图所示，在三棱锥S-ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝2，SA＝3，则二面角S-BC-A的大小为（C）A.30° B.45°C.60° D.75°解析：（1）如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，∵△ABC，△SBC都是等边三角形，∴SB＝SC，AB＝AC，因此有AD⊥BC，SD⊥BC.∴∠ADS为侧面SBC与底面ABC所成的二面角的平面角.∵BC＝2，∴SD＝SB2－BD2＝4－1＝3，AD＝AB2－BD2＝4－1＝3，而SA＝3，∴△SDA（2）（2025·广东佛山二模）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”中，AC＝CB＝CC1，则二面角C1-AB-C的正切值为（D）A.1 B.2C.22 D.（2）由AC＝CB知，AC⊥CB，取AB的中点M，连接C1M，CM，易知∠C1MC即为二面角C1-AB-C的平面角，设AC＝CB＝CC1＝a，则CM＝22a，∴tan∠C1MC＝CC1作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.几何法求距离（1）如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为（A）A.23 B.25C.2 D.4解析：如图，取PA的中点M，连接BM，CM，因为PB⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以PB⊥BC，又因为AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA，因为M是PA的中点，PB＝AB，所以BM⊥PA，又BC⊥PA，BM∩BC＝B，BM，BC⊂平面BCM，所以PA⊥平面BCM，又CM⊂平面BCM，所以CM⊥PA，即CM为点C到直线PA的距离.在等腰Rt△PAB中，BM＝22PB＝22，在Rt△BCM中，CM＝BM2＋BC2＝8+4＝23，故点（2）（2025·江西一模）已知圆柱的高和底面半径均为4，AB为上底面圆周的直径，点P是上底面圆周上的一点，且AP＝BP，PC是圆柱的一条母线，则点P到平面ABC的距离为（D）A.4 B.23C.3 D.22解析：由题可得AB＝8，因为AP＝BP，所以S△ABP＝12×8×4＝16，因为PC⊥平面ABP，且PC＝4，所以VC-ABP＝13×16×4＝643.因为AP＝BP＝42，所以AC＝BC＝43，所以S△ABC＝12×8×48－16＝162，设点P到平面ABC的距离为d，则VP-ABC＝13×162d＝643，解得1.求点线距一般要作出这个距离，然后利用直角三角形或等面积法求解.2.求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个距离，可根据条件求解，若不易作出点面距，可借助于等体积法求解.1.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝2BB1＝2，则C到直线AB1的距离为（）A.155 B.C.153 D.解析：D如图，连接CB1，因为AB＝2，BB1＝2，所以AB1＝6，CB1＝6，AC＝2，设AC的中点为D，连接B1D，则B1D⊥AC，设点C到直线AB1的距离为h，故S△AB1C＝12×B1D×AC＝12h×AB1，即6－1×2＝h×62.已知过平面α外一动点A的斜线l与平面α所成角为π6，并且斜线l交平面α于定点B，若动点A与平面α的距离为1，则斜线段AB在平面α上的射影所形成的图形的面积是（A.3πB.2πC.πD.π解析：A如图，过点A作平面α的垂线，垂足为C，连接BC，所以线段BC为线段AB在平面α上的射影，∠ABC为斜线l与平面α所成的角，则∠ABC＝π6，又AC＝1，所以BC＝3，故射影形成的图形为半径为3的圆面，其面积为3π.故选A3.（2026·河北唐山模拟）已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，M，N分别是AB和BC的中点，则MN到平面A1C1D的距离为（）A.33 B.6C.32 D.解析：C延长MN交DC的延长线于点Q，连接A1Q，C1Q，AC，因为M，N分别是AB和BC的中点，则MN∥AC，由正方体的性质可得AC∥A1C1，所以MN∥A1C1，又A1C1⊂平面A1C1D，MN⊄平面A1C1D，所以MN∥平面A1C1D，所以MN到平面A1C1D的距离即点Q到平面A1C1D的距离，设为h，则VQ-A1DC1＝VA1-QDC1，因为正方体的棱长为1，所以DQ＝32，A1D＝DC1＝A1C1＝2，所以13S△A1DC1·h＝13SDQC1·A1D1，即4.〔一题多解〕（2024·新高考Ⅱ卷7题）已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为523，AB＝6，A1B1＝2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为（A.12 B.1C.2 D.3解析：B法一（直接法）如图，分别取BC，B1C1的中点D，D1，则AD＝33，A1D1＝3，可知S△ABC＝12×6×33＝93，S△A1B1C1＝12×2×3＝3，设正三棱台ABC-A1B1C1的高为h，则VABC-A1B1C1＝13（93＋3＋93×3）h＝523，解得h＝433，分别过A1，D1作底面的垂线，垂足为M，N，设AM＝x，则AA1＝AM2＋A1M2＝x2＋163，DN＝AD－AM－MN＝23－x，可得DD1＝DN2＋D1N2＝（23－x）2＋163，结合等腰梯形BCC1B1法二（补形法）如图，将正三棱台ABC-A1B1C1补成正三棱锥P-ABC，则A1A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，因为PA1PA＝A1B1AB＝13，则VP-A1B1C1VP-ABC＝127，可知VABC-A1B1C1＝2627VP-ABC＝523，则VP-ABC＝18，设正三棱锥P-ABC的高为d，则VP-ABC＝13d×12×6×33＝18，解得d＝23，5.〔多选〕（2026·湖北武汉调研）如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为BD的中点，则下列结论正确的是（）A.A1C⊥平面C1BDB.直线A1C1与平面ABC1D1所成的角为πC.二面角C1-BD-C的正切值为2D.B1到平面C1BD的距离为2解析：ABC由正方体的性质可得BD⊥平面ACC1A1，A1C⊂平面ACC1A1，故A1C⊥BD，由BC1⊥平面A1B1CD，A1C⊂平面A1B1CD，故A1C⊥BC1，BD∩BC1＝B，且BD，BC1⊂平面C1BD，故A1C⊥平面C1BD，故A正确；因为正方体的棱长为1，设直线A1C1与平面ABC1D1的夹角为θ，则A1C1＝2，易知A1D⊥平面ABC1D1，所以点A1到平面ABC1D1的距离为12A1D＝22，故sinθ＝12，所以θ＝π6，故B正确；连接CO，OC1（图略），则∠C1OC为二面角C1-BD-C的平面角，则tan∠C1OC＝CC1OC＝2，故C正确；设B1到平面C1BD的距离为h，因为VB1-C1BD＝VD-C1BB1，所以13×12×2×2×32×h＝13×6.如图，在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，PA＝3，PB＝PC＝BC＝6，则二面角P-BC-A的正弦值为33解析：取BC的中点D，连接PD，AD（图略），因为PB＝PC，所以PD⊥BC，因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，因为PD，PA⊂平面PAD，PA∩PD＝P，所以BC⊥平面PAD，因为AD⊂平面PAD，所以BC⊥AD，所以∠PDA即为二面角P-BC-A的平面角，因为PB＝PC＝BC＝6，所以PD＝32×6＝33，sin∠PDA＝PAPD＝333＝33，即二面角P-BC7.已知平面α上放置有棱长为2的正四面体AB