高考数学一轮复习 新思路 4.3 图像性质

4.3图像性质考向1的图像与性质知识点1正弦函数、余弦函数和正切函数的图像性质函数图像定义域值域周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间递减区间无对称中心对称轴方程直线直线无知识点2正弦函数与的图像性质关系周期定义域最大值1,当取得,当取得最小值-1,当取得,当取得单调增区间（续表）单调减区间对称轴对称中心类比于研究的性质,只需将中的看成中的,但在求的单调区间时,要特别注意和的符号,通过诱导公式先将化为正数.研究函数的性质的方法与其类似,也是类比、转化.例（2024·多选·新高考II）对于函数和，下列正确的有（）A.与有相同零点B.与有相同最大值C.与有相同的最小正周期D.与的图像有相同的对称轴题型1求解对称性与最小正周期例1（2020新课标I）设函数在的图像大致如图，则的最小正周期为（）A.B.C.D.例2（2022·新高考I）记函数的最小正周期为.若,且的图像关于点中心对称,则（）A.1 B.C.D.3题型2求解单调区间与最值例3（2025北京）设函数,若恒成立,且在上存在零点,则的最小值为（）A.8B.6C.4D.3例4已知，且.（1）求的值；（2）设，求的值域和单调区间.例5（2024・上海）已知.（1）设，求解:，的值域；（2），的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围.题型3求解三角函数解析式例6（2026·深圳一模）已知函数的周期为2，且在上单调递增，则可以是_____（）A.B.C.D.例7（2021・甲卷）已知函数的部分图像如图所示，则_____.例8（2023·新高考II）已知函数，如图，，是直线与曲线的两个交点,若,则_____.考向2三角函数图像的平移与变换知识点三角函数的平移和伸缩变换函数的图像可以通过下列两种方式得到:1.2.关键:把握先移后缩和先缩后移的区别.类比可以得到:的图像定理:则平移单位为（注意平移方向）例（2021·乙卷）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图像,则（）A.B.C.D.题型4三角函数图像的平移伸缩例9（2023·甲卷）已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4例10（2026·多选·四川成都月考）将函数的图像水平平移，得到函数的图像，若的导函数，则下列平移能满足题意的是（）A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度例11（2026届广东汕头阶段练习T14）若对任何实数恒成立，则的最大值为_____.考向3三角函数范围问题知识点1函数卡根法模型之五点法卡根卡根分两种,一是五点法卡根,二是周期卡根,区别就在于卡根的区间或者是否包含0,比如这个范围内进行卡根,那么一定选择五点卡根法,这个范围内进行卡根,那么一定选择周期卡根法.与只需要找到相对应的点位,我们通常讲到的一个周期内的五点法,这五个重要的点就是卡根卡范围最重要的参照.五点卡根法:通常当中,都会给一个条件,就是,所以,当时,图像如左下,当时,图像如右下:我们通过图形可以知道,无论为任意正数,则正弦函数的靠近零点的第一个递增区间最小值和最大值均在第三和第一象限,卡根就从这个周期的五点开始操作,我们称之为五点卡根法.例（2025北京卷T8）设函数，若恒成立，且在上存在零点,则的最小值为（）A.8B.6C.4D.3题型5五点卡根法的应用例12（2022·甲卷）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点,则的取值范围是（）A.B.C.D.例13（2025天津）,在上单调递增,且为它的一条对称轴,是它的一个对称中心,当时,的最小值为（）A.B.C.1D.0例14已知函数的部分图像如图所示,则_____.例15（2019新课标III）设函数，已知在有且仅有5个零点.下述四个结论:①在有且仅有3个极大值点；②在有且仅有2个极小值点；③在单调递增；④的取值范围是.其中所有正确结论的编号是（）A.①④B.②③C.①②③D.①③④知识点2函数卡根法模型之周期卡根法如果卡根区间没有过零点,那么在卡根区间进行周期卡根,就看最多或者最少能放进去几个周期,当然,前提就是要先卡形式,即关于的表达式（为正整数）.定理:轴心距,也可以转化为例（2016·新课标I）已知函数，为的零点，为图像的对称轴,且在上单调,则的最大值为（）A.11B.9C.7D.5题型6五周期卡根法的应用例16（2026·龙岩三模）已知函数为的零点,为图像的对称轴,且在上有且仅有1个零点,则的最大值为A.11B.9C.7D.5例17（2026·多选·广州三模）已知函数在上单调递增,则的取值可以是（）A.1B.3C.5D.7考向3三角函数实际应用问题令知识点三角函数实际应用问题以三角函数的图像和性质作为命题背景,解决实际生活中的数学问题,创新性比较强,体现数形结合和建模思想.一般以三角函数的最值为常考点,也考查三角形相关的周长和面积等问题.题型7三角函数实际应用问题例18（2026・广州月考）降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是:先通过微型麦克风采集周围的噪声,然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声波曲线是,其中振幅为2,且经过点.（1）求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式；（6分）（2）先将函数图像上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图像向右平移个单位长度,得到函数的图像.若锐角满足,求的值.（8分）拓展思维拓展单位圆探路分析在常见的最大值的最小值问题中,常采用一种直线逼近思路解题,当然这种思想也三角函数的单位圆中也比较常见:例如求为偶数时的最大值的最小值问题,由周期性,我们分析每隔图像重叠个点如图,我们发现左图最大值始终