高考数学一轮复习 新思路 7.3 常考几何体性质

7.3常考几何体性质考向1球知识点1外接球1.长方体切割体的外接球设长方体相邻的三条边棱长分别为.图1与图2有重垂线，三视图都是三个直角三角形，图3无重垂线，俯视图是一矩形，为虚线，主视图和左视图为直角三角形,外接球半径均为长方体体对角线一半,.图4中2.三棱柱的切割体的外接球图1:立着放的模型一定有重垂线,且重垂线在底面的射影一定位于底面三个顶点中的一个,底面三角形非直角三角形,将重垂线长度设为,底面三角形外接圆半径设为可以求出,则;图2:躺着放的模型,底面是直角三角形或者矩形,侧面非直角三角形,底面一条棱垂直于侧面,.3.正四面体如图,设正四面体的的棱长为,将其放入正方体中,则正方体的棱长为,显然正四面体和正方体有相同的外接球.（正四面体的棱长为正方体棱长倍）在棱长为的正四面体中结论1:高.推导:.结论2:内切球半径.推导1:.推导2:结论3:外切球半径.推导1:.推导2:.4.切瓜模型（两个平面互相垂直）图1:由图可知,小圆直径长可以求出,平面必在大圆上,由,解出.图2:先根据求出底面圆的直径,再根据几何性质求出球大圆的直径,最后根据垂径定理算出到底面距离的最大值和最小值.双半径单交线公式:注意:常见的切瓜模型中,一旦出现或时,则或.双半径单交线公式适合所有的直二面角模型,两个半平面的外接圆半径分别为和,两半平面交线长度为,此公式属于一种开挂般的存在,在前面的直三棱柱切割体模型当中也可以使用,一旦两个半平面的二面角不是时,此公式将不再适用.5.鳄鱼公式鳄鱼公式:以及如图,若空间四边形中,二面角的平面角大小为的外接圆圆心为,的外接圆圆心为为公共弦中点,则,由于四点共圆,为圆直径且,根据余弦定理注意:①此公式最好配合剖面图，需要求出两个半平面的外接圆半径，和外接圆圆心到公共弦的距离.②有的时候需要利用到:，和之前的区别就是二面角的两个半平面到底是什么三角形决定,如果两个是锐角三角形,如下左图的二面角,或者都是钝角三角形,如下左图的二面角,此时的,满足.如果两个半平面一个是锐角,一个是钝角,且钝角对边为二面角交线比如下左图的二面角,或者二面角,则会出现二面角与互补,此时.综上,用鳄鱼公式,最好结合剖面图来分析,这样能万无一失,不过判断好两个半平面形状也能快速判断得出结论.题型1外接球公式的应用例1（2021·甲卷）已知是半径为1的球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（）A.B.C.D.例2（2021・天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面,顶点均在球面上,若球的体积为,两个圆锥的高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为（）A.B.C.D.例3如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在中，，则该球的体积为_____.例4（2022·新高考I）已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A.B.C.D.题型2鳄鱼公式的应用例5（2026届石家庄一中学高三年级统底考T13）《九章算术》中记录的“刍甍”是算学和建筑学术语,指的是一段类似隧道形状的几何体,如图,刍甍中,底面是正方形,平面,和均为等边三角形,且.则这个几何体的外接球的体积为_____.例6（2026·湖北恩施·模拟预测）已知为坐标原点，已知双曲线:的左右焦点分别为,过作的垂线交双曲线于,现将轴左侧的半平面绕轴旋转,原来的左焦点经旋转后得到点,求三棱锥的外接球表面积为（）A.B.C.D.例7（广东“六校联盟”2026届高三年级第一次联考数学试题T19）在平面四边形中,,将沿翻折至,其中为动点.（1）若二面角为直二面角，求三棱锥的体积.（2）记三棱锥外接球半径为；①求的最小值；②当最小时,求异面直线所成角.知识点2内切球1.内切球的基本概念（1）内切球定义:①球心到多面体各面距离相等且等于半径的球；②与圆柱两底面以及每条母线都相切的球;③与圆锥底面和各母线都相切的球;④与圆台上下两底面以及每条母线都相切的球.（2）正多面体的内切球和外接球球心重合.（3）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，除正四面体外，均不重合.（4）任意四面体都有内切球，面数超过四的凸多面体需利用定义判断是否存在内切球.2.多面体和旋转体的内切球（1）棱锥内切球半径:①等体积法:由球心到各面距离相等，多面体体积可表示为:所以②相似法求解正棱锥内切球半径:（以下以正三棱锥为例）如图,由正三棱锥内切球球心在高线上,则球与侧面的切点在侧面的高线上,与底面的切点为高线垂足,易知,故利用,可解出内切球半径.（2）旋转体内切球半径:（可按照轴截面的内切圆半径计算，外接球同理）如图,已知圆锥高为,底面半径为,利用两个直角三角形和相似可得,故,所以.注:圆柱、圆台同样以轴截面的方式处理.（3）常见几何体内切球、外接球半径:棱长为的正方体:内切球半径,外接球半径.棱长为的正四面体:内切球半径,外接球半径.柱体侧棱长,底面外接圆半径:柱体可能不存在内切球,柱体中最大的球的半径.题型3内切球计算例8（2025武汉四调）在各棱长均相等的正四面体中,取棱上一点,使,连接,三棱锥的内切球的球心为,三棱锥的内切球的球心为,则平面与平面的夹角的正弦值是_____.例9（2026春·莱芜区校级期中）如图，在正四面体中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体的内切球,小球与大球及正四面体三个面均相切,若正四面体的体积为,则5个球的体积之和为（）A.B.C.D.例10（2026·枣庄模拟）如图，以正四面体的四个顶点为球心，以棱长为半径分别作四个球，它们的公共部分形成的几何体叫做“勒洛四面体”.若正四面体的棱长为4，则（）A.此“勒洛四面体”外接球的体积是B.此“勒洛四面体”的内切球的半径是C.此“勒洛四面体”表面上交线弧的长度为D.过三点的截面面积是例11（2026・大同一模·多选）如图,在几何体中,底面是边长为1的正方形,棱底面,且,则下列表述一定正确的是（）A.平面B.几何体外接球表面积是C.几何体的体积是D.当时,几何体一定有内切球知识点3棱切球1.常用结论①已知正方体的棱长为，则它的棱切球半径为.②已知正三棱柱的棱长均为，则它的棱切球半径为.③已知正四面体的棱长为，则它的棱切球半径为.证明①:正方体棱切球的半径即为面对角线的一半，易得.证明②:如图，设正三棱柱棱棱长均为，上底面中心为，下底面中心为，连接，则球的球心在的中点上,设球切棱于,切棱于,则分别为所在棱的中点,则,又,所以.证明③:将正四面体放到正方体中，正方体的内切球即为正四面体的棱切球，若正四面体的棱长为，则正方体的棱长为,故.2.解题技巧①找切点，找球心，构造直角三角形.②正棱柱的棱切球的球心为上下底面中心连线的中点，正棱锥的棱切球的球心在其高线上，可以通过对称性或者截面内切圆圆心的垂线交点确定.③棱长都为的正棱柱,则棱切球的半径为.长都为的正棱柱,则棱切球的半径为.题型4棱切球例12已知球的表面积为,若球与正四面体的六条棱均相切,则此四面体的体积为（）A.9 B. C. D.例13正三棱锥的底面边长为,侧棱长为,若球与正三棱锥所有的棱都相切,则这个球的表面积为（）A.B. C. D.考向2正方体长方体与补成正方体1.正方体长方体（1）平面.BD平面（如图）.（2）为平面的中心.为平面的中心（如图）.（3）.为的三等分点（如图）.（4）平面平面（如图）.（5）所有三条棱两两互相垂直的结构都可以补成长方体或正方体.2.四面体（1）三组对棱分别相等的四面体必内接于唯一的长方体,且四面体的棱分别为长方体的面对角线；（2）正四面体可以补为正方体且正方体的棱长；（3）若四面体有三条棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，（4）若四面体的四个面均是直角三角形，则可将其放入某个长方体内；（5）三组对棱分别相等的四面体的棱长、、必构成锐角三角形；（6）任一四面体均内接于唯一的平行六面体，且四面体体积是平行六面体体积的三分之一；（7）若侧棱长相等，则顶点在底面上的射影为其外心，且侧棱与底面的线面角相等（逆命题:顶点在底面上的射影为其外心,或侧棱与底面的线面角相等,则侧棱长相等成立）;（8）若顶点到底面三边的距离相等，则顶点在底面上的射影必为其内心（或旁心），且侧面与底面的二面角相等（逆命题:顶点在底面上的射影为其内心（或旁心）），或各侧面与底面的二面角相等，则顶点到下底面三边的距离相等成立）;注:若顶点到下底面中两边的距离相等,则在底面上的射影必在平分线上,且侧面与底面的二面角相等,.（9）若两组对棱分别互相垂直，则第三组对棱必垂直，且任一顶点在其对应底面上的射影必为其垂心（逆命题:一组对棱垂直，且任一顶点在其对面上的射影为其垂心，则两组对棱分别互相垂直成立）；（10）连接两组对棱的中点可组成平行四边形，且另一组对棱与该面距离相等；（11）过一组对棱（与）中点（，）连线的任一平面（，，，共面）必平分其（）体积，即;题型5正方体与补成正方体性质应用例14（2026秋·金华期末）正方体的棱长为1,点为直线与平面的交点,则点到正方体各顶点的距离的不同取值有（）A.6个B.5个C.4个D.3个例15（2026春·杭州期中·多选）在正方体中，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（）A.平面 B.C.平面平面 D.平面平面例16（2026·红河州三模·多选）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱的中点,点在线段上运动,下列选项正确的是（）A.四点共面B.存在点,使得C.平面截正方体所得的截面图形是五边形D.点到平面的距离是例17（2026·浙江模拟·多选）在三棱锥中，已知，点分别是的中点,则（）A.B.异面直线所成的角的余弦值是C.三棱锥的体积为D.三棱锥的外接球的表面积为考向3九章算术中的几何体知识点1九章算术中的几何体阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱,称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开,得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底,另有一棱与底面垂直的四棱锥,称为阳马.余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体,称为鳖臑.题型6立体几何数学文化例18（2026·赣州一模）在《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已知四棱锥为阳马，底面是边长为2的正方形，有两条侧棱长为3，则该阳马的表面积为（）A.B.C.D.例19（202