微专题　空间直角坐标系的构建策略

1/1微专题空间直角坐标系的构建策略坐标法是利用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的重要方法，运用坐标法解题就需要建立空间直角坐标系，而如何建立恰当的空间直角坐标系是本章的难点，这就要求学生抓住空间几何图形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系（或在图形中构造垂直关系）建系，下面就几种常见的建系方法予以说明.建立空间直角坐标系的策略：策略一：利用共顶点且相互垂直的三条棱建系策略二：利用线面垂直建系策略三：利用面面垂直建系策略四：利用正棱锥的中心与高所在直线建系利用共顶点且互相垂直的三条棱构建空间直角坐标系如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2CF＝2.（1）求证：BF∥平面ADE；（2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；（3）求平面BDE与平面BDF夹角的余弦值.建系方法由AE⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，则AE⊥AB，AE⊥AD，又AD⊥AB，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2CF＝2.所以B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，1，0），E（0，0，2）.利用互相垂直的三条棱建系策略“利用互相垂直的三条棱建系”的核心是“找原点→定三轴→标坐标”，关键在于识别几何体中“天然垂直的三条棱”，优先选择包含已知条件的棱作为坐标轴，确保轴的两两垂直性.这种方法适用于大多数“有垂直侧棱或垂直底面”的几何体，是空间几何问题中最基础、最高效的建系策略之一.利用线面垂直关系构建空间直角坐标系四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝CD＝1，AB＝BC＝2，PC＝3，AB∥CD.（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求平面APD与平面PDC所成角的余弦值.建系方法由题干和（1）知，PA⊥平面ABCD，BC⊥平面PAB，故PA⊥AB，AB⊥BC，得不到共顶点且互相垂直的三条棱，因此可以B为原点，建立如图所示的坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），D（1，2，0），P（2，0，1）.利用线面垂直关系建系策略在空间几何问题中，当几何体不存在天然的“三条互相垂直的棱（如长方体、正方体的棱）”时，线面垂直关系是构建空间直角坐标系的核心依据.采用此种方法建系要注意的是：①要尽可能利用题中的垂直关系；②要使点的坐标求解尽可能简单（有时一些点的坐标求解需要利用平行或比例关系，或化归到三角形中利用正、余弦定理求解）.利用面面垂直关系构建空间直角坐标系如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点.（1）证明：OA⊥CD；（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积.建系方法由题意知AO⊥平面BCD，显然AO⊥OB.以O为坐标原点，OB，OA所在直线分别为x轴，z轴，在平面BCD内，以过点O且与BD垂直的直线为y轴建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），B（1，0，0），D（－1，0，0），C（－12，32，0）.设A（0，0，a），a＞0，由DE＝2EA，得E（－13，0，利用面面垂直关系建系策略利用面面垂直关系建立空间直角坐标系，是解决立体几何问题（如求线面角、二面角、空间距离等）的核心方法之一，其核心思路是借助两个垂直平面的交线，在交线上找一点，分别在两个平面内作交线的垂线，从而构造出三条两两垂直的直线作为坐标轴.利用正棱锥的底面中心与高所在的直线构建空间直角坐标系如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.（1）求异面直线AP，BC所成角的大小；（2）在线段AP上存在点M且AM＝3，探究二面角A-MC-B的大小并说明理由.建系方法如图，以O为坐标原点，过O点作OE∥DB交AB于点E，OE所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（0，－3，0），B（4，2，0），C（－4，2，0），P（0，0，4）.正棱锥的“中心-高建系法”本质是利用几何体的对称性搭建“便捷坐标系”，其核心思路是依托正棱锥的对称性，将坐标系的原点、坐标轴与几何体的关键结构（底面中心、高、底面边的中垂线等）重合，其核心步骤可概括为：定中心（原点）→立高（z轴）→找基准（x轴）→补垂直（y轴）→算坐标.1.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，点A1在底面ABC上的射影恰为点B，且AB＝AC＝A1B＝2.（1）求证：A1C1⊥平面ABB1A1；（2）求AA1与BC所成的角的大小；（3）在线段B1C1上确定一点P，使AP＝14，并求出二面角P-AB-A1的平面角的余弦值.解：（1）证明：因为在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，所以A1C1⊥A1B1，因为点A1在底面ABC上的射影恰为点B，AC⊂平面ABC，所以A1B⊥AC，所以A1B⊥A1C1，又A1B∩A1B1＝A1，A1B⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.（2）以A为原点，射线AC，AB分别为x，y轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，则C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），所以AA1＝（0，2，2），BC＝（2，－2，设AA1与BC所成的角为θ，所以cosθ＝｜cos＜AA1，BC＞｜＝｜AA1·BC｜｜AA1｜·｜BC｜故AA1与BC所成的角为π3（3）设B1P＝λB1C1＝（2λ，－2λ，0）（0≤λ≤1），则P（2λ，4－于是｜AP｜＝（2λ）2＋（4－则P为棱B1C1的中点，其坐标为P（1，3，2）.设平面PAB的一个法向量n＝（x，y，z），则n令z＝－1，得n＝（2，0，－1），而平面ABA1的一个法向量m＝（1，0，0），则cos＜n，m＞＝n·m｜n||故二面角P-AB-A1的平面角的余弦值是252.已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝5，AB＝BC，∠BAC＝30°，A1在平面ABC上的射影为B，二面角A1-AC-B的大小为45°.（1）求AA1与BC所成角的余弦值；（2）在棱AA1上是否存在一点E，使得二面角E-BC-B1的大小为90°，若存在，求出AEAA1的值，若不存在解：（1）连接A1B，因为A1在平面ABC上的射影为B，所以A1B⊥平面ABC，取AC的中点F，连接BF，由于AB＝BC，所以BF⊥AC，连接A1F，可得A1F⊥AC，则∠A1FB为二面角A1-AC-B的平面角，即∠A1FB＝45°，则A1B＝BF，令A1B＝a，则BF＝a，又在Rt△ABF中，∠BAC＝30°，所以AB＝2a，在Rt△A1BA中，A1B＝a，AB＝2a，AA1＝5，∠A1BA＝90°，所以a2＋（2a）2＝5，解得a＝1，过点B作BM⊥BC，又因为A1B⊥平面ABC，所以BM，BC，A1B两两垂直，以BM，BC，BA1为x，y，z轴正方向，可得B（0，0，0），C（0，2，0），A（3，－1，0），A1（0，0，1），则AA1＝（－3，1，1），BC＝（0，2，则cos＜AA1，BC＞＝22则AA1与BC所成角的余弦值为55（2）设AEAA1＝t，所以AE＝tAA1，可求得E（3（1－t），t－1，t），则BE＝（3（1－t），t设平面EBC的法向量为n1＝（x1，y1，z1），由n1·BE＝0，n1·BC＝0