高考数学一轮复习 新思路 1.3 不等式

1.3不等式考向1等式不等式性质知识点等式不等式的基本性质1.等式的性质①如果，那么.②如果，，那么.③如果，那么.④如果,那么.⑤如果，那么.2.不等式的性质性质性质内容注意对称性 可逆传递性 同向可加性 可逆可乘性 的正负同向可加性 同向同向同正可乘性 同向同正可乘方性 同正可开方性 同正3.倒数的性质①，； ②；③ ④或.4.糖水不等式的性质定理:若,则一定有,或者通俗的理解就是克的不饱和糖水里含有克糖，往糖水里面加入克糖，则糖水更甜；例1（2024・上海）,下列不等式恒成立的是（）A.B.C.D.题型1不等式性质例2（2019·新课标II）若，则（）A.B. C. D.例3（2026·雅安期末）若,则下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.例4（2025・大理市期末）下列选项正确的是（）A.若,则B.C.D.题型2等式与不等式求范围例5（2025·新课标II卷）解不等式，其解集为（）A.B.C.D.例6（2026·方城县校级月考）已知实数满足,则的取值范围是（）A.B.C.D.例7（2026·汕头期末）已知，，则的取值范围是（）A.B.C. D.题型3糖水不等式应用例8（2025·广州期末）已知,则（）A.B.C.D.例9（2025·临潼区期末）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度,如果再添加克糖（假设全部溶解）,生活经验告诉我们糖水会变甜,对应的不等式为,这个不等式趣称为糖水不等式.根据糖水不等式,下列不等式正确的是A. B.C. D.考向2基本不等式与柯西不等式题型知识点1基本不等式1.基本不等式如果,那么,当且仅当时,等号成立.其中,叫作的算术平均数,叫作的几何平均数.即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.基本不等式1:若,则,当且仅当时取等号;基本不等式2:若,则（或）,当且仅当时取等号.2.两个基本不等式的异同（1）两个基本不等式中实数的取值范围是不同的，运用第二个不等式时，必须都是正实数.（2）两个基本不等式中等号成立的条件:当且仅当时取等号；（3）两个基本不等式的变形:（这里的变形要让学生理解是如何得来的，同时也让学生试着去发现这些不等式都出现了哪些运算形式,有求和,乘积,平方和,开方和）第一个不等式可变形为:或,其中;第二个不等式可变形为:或,其中.（4）常用基本不等式2来求最值.当两个正数的积为定值时，由可得当时，它们的和有最小值;当两个正数的和为定值时,由可得当时,它们的积有最大值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.如:已知.①若（和为定值）,则当时,积取得最大值;②若（积为定值）,则当时,和取得最小值.注意（1）此结论应用的前提条件是“一正”、“二定”、“三相等”.其中“一正”指正实数；“二定”指求最值时和或积为定值;“三相等”指满足等号成立的条件,即取等条件成立.（2）连续使用基本不等式要注意取值条件一致.例10（2024·上海）已知，的最小值为_____.解析由,当且仅当,即或时取最小值12,所以的最小值为12.故答案为:12.知识点2均值不等式链的证明1.由,得,当且仅当时等号成立.2.,当且仅当时等号成立,已证.3..所以,当时,有,当且仅当时等号成立.综合（1）（2）（3）可得,当时,有,当且仅当时等号成立.4.三元均值不等式链:推广到元:调和平均数:;几何平均数:;算术平均数:;平方平均数:;其中.（当且仅当时等号成立）例11设，则，，，按从小到大顺序排列是_____.题型4利用基本不等式求最值模型一:直接使用,当且仅当时等号成立;②，当且仅当时等号成立.③，（分离常数）当且仅当时等号成立.④，当且仅当时等号成立.⑤若出现，其中因为,可以转化为或,从而求出及的取值范围.若出现求取值范围,先将式子因式分解成为形式,再用基本不等式求出最值.例12（2025·北京）已知，则（）A.B.C. D.例13（2026·开封月考）已知,则的最小值为（）A.8B.C.4D.例14（2025·延安期末）若实数，且满足，则的最小值为（）A.B.C.D.1例15（2025・广西期末）已知,则的最小值为（）A.B.C.D.例16（2025·浦东新区校级期末）若，则有（）A.最小值-2B.最大值4C.最小值-4D.最小值4列17（2026·五华区校级月考）已知正实数满足，则的最大值是（）A.2B.4C.6D.8模型二:“1”的代换例18（2025・上海卷）设，则的最小值为_____.例19（2026·渭南期末）若,且,则的最小值为（）.A.B.C.3D.4例20（2025贵阳期末）已知，且，则的最小值为（）A.2 B.3C.4 D.例21（2026・重庆校级期末）已知，且，则的最小值为A.10B.9C.8D.7例22（2025・永寿县校级月考）函数的图像恒过定点,若且，则的最小值为_____.模型三:换元与消元三角换元:,可令;②，令或；③，令；④，令；⑤,令.例23已知且,则的最小值为（）A.10B.9C.8D.7例24（2025·江苏南通·模拟预测）在中，若，则的最小值为_____.例25（2025北大强基）已知,求的最大值.例26（2023天津自招）已知正数满足,则的最小值为_____.例27（2025北大强基）函数的值域为_____.例28（2025北大强基）若恒成立，求的最大值.模型四:齐次化例30已知,则的最小值为（）A.B.12C.D.16例31（2020・江苏卷）已知，则的最小值是_____.例32（2025北大强基），求的取值范围为_____.例33（2024·河南期末）已知正数，满足，则的最小值是（）A.B.C.D.模型五:判别式法例34（2025.湖南郴州三模）设正实数满足,则（）A.B.C.D.模型六:待定系数法待定系数法配凑原理: 例35求的最大值为_____.例36（2026·重庆渝北好教育联盟十月联考T8）已知,且,则的最小值是（）A.4B.7C.9D.11例37（清华强基）若，且，则的最大值为_____.例88（2025清华强基）已知,求的最大值.模型七:因式分解法不等式中对已知条件常见例89若正实数满足，则的最小值为_____.例40已知实数满足，则的最小值为_____.模型八:多元问题例41设均为正实数，满足，则的最小值为_____.例42已知，求的最小值为_____.例43设，则最小值为_____.考向3柯西不等式题型知识点1柯西不等式1.正向柯西不等式:证明:因为,所以成立;注:柯西不等式二元式:设,有当且仅当时等号成立.模型一:分母的倍数和为常数,其中,例如:;模型二:一高一低和式配凑类型,其中例或者写成模型三:同次积式配凑类型已知的值,求的最值,利用求最值.2.柯西的维形式 当且仅当时,等号成立.3.在不等式的题型中,通常由已知式和目标式构成,根据形式,我们分为和式与积式,处理方法我们总结如下:已知式目标式方法选取和式积式基本不等式积式和式基本不等式和式和式柯西不等式积式积式柯西不等式例44（2014·陕西）设,且,则的最小值为_____.题型5柯西不等式的应用例45（2025·上海）设，则的最小值为_____.例46若正实数满足,则下列结论不正确的是（）A.的最小值为4 B.的最大值为4C.的最小值为 D.的最大值为8例47（2025·贵阳月考）若函数有零点，则的最小值为_________.A.1 B.C.D.2例48（2025·怀仁市模拟）已知正数满足，则的最小值为_____。知识点2反向柯西不等式 证明:,即,所以,所以题型6反向柯西不等式的应用例49的最小值为_____.知识点3权方和不等式1.二维权方和不等式若均是实数,且满足:,则有:上述不等式称为权方和不等式,当且仅当时,等号成立.证明:要证:,即证:,由基本不等式的取等条件可知:当且仅当时,等号成立2.维权方和不等式①若，则，当时，等号成立.②若，则，当且仅当时,等号成立.为该不等式的权,它的特点是分子的幂比分母的幂多一次.③常用的权方和不等式为:题型7权方和不等式的应用例50（2026·朝阳月考）已知,则的最小值为（）A.B.C.D.1例51（2025·成华区月考）已知为正实数，且，则不等式恒成立,则实数的取值范围是例52（2025河东区模拟）已知，则的最小值为_____.考向4最大值的最小值题型求类似的最小值一类题目,我们一般设,则,再通过三个式子联立构造不等式,求出最值即可题型8最大值的最小值问题例53以表示数集中最大的数.设,已知或,则,的最小值为.例54已知将中最小数记为,最大数记为,,若,则_____.例55设为实数中最大的数.若,则的最小值为_____.考向5一元二次不等式知识点1一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法（1）常规一元二次不等式的解法意味着中部分,意味着中部分,,求出两个根;根据图像可知:开口向上时,大于取两边,小于取中间,反之亦然.（2）一元二次不等式与韦达定理模型一:已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式由的解集为,得:的解集为,即关于的不等式的解集为.已知关于的不等式的解集为,解关于的不等式.由的解集为,得:的解集为,即关于的不等式的解集为.模型二:已知关于的不等式的解集为（其中）,解关于的不等式由的解集为,得:的解集为即关于的不等式的解集为.已知关于的不等式的解集为,解关于的不等式.由的解集为,得:的解集为即关于的不等式的解集为,以此类推.（3）一元二次不等式与判别式已知关于的一元二次不等式的解集为,则一定满足;已知关于的一元二次不等式的解集为,则一定满足;已知关于的一元二次不等式的解集为,则一定满足;已知关于的一元二次不等式的解集为,则一定满足.例56已知不等式的解集为,则不等式的解为A.B.或C.D.或知识点2一元二次不等式求参1.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式 二次函数的图像一元二次方程的根有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根的解集 的解集 意味着中的部分,意味着中的部分,,求出两个根;根据图像可知:开口向上时,大于取两边,小于取中间,反之亦然.2.一元二次不等式参数问题之定海神针二次函数涉及参数和变量的问题,很关键的一点就是参数的位置,到底是在二次项、一次项还是在常数项?然后参数是一次出现还是多处出现,这个问题值得探讨.二次函数的定海神针主要处理对称轴是变量,区间是定区间的类型（轴动区间定），或者是对称轴不变，区间是动区间的类型（轴定区间动）.遵循对称轴从区间的左边、中间和右边的顺序进行分类讨论.口诀:轴在区间内,顶点定;轴在区间外,单调定.3.二次函数的参变分离当决定抛物线开口符号的与恒成立（能成立）的符号一致时,即,此类型题目基本上都是分类讨论复杂,且注意参数此时尽量为一次,那么我们把式子的参数分离出来,转化为求对勾函数的最值问题.例57（2025·九省联考）已知函数.若当时,,则的取值范围是（）A.B.C.D.知识点3一元二次函数根的分布问题1.二次函数的根与定值的位置关系两根与的大小比较（以为例）文字描述两根都小于,即两根都大于,即一根小于,一根大于,即图像表达数学语言 2.二次函数的根与区间的位置关系（1）两根分别在区间外 图像表达数学语言 （2）根在区间上的分布（以为例）文字描述两根都在内两根有且仅有一根在内一根内,另一根在内图像表达数学语言 例58若命题“关于的二次方程在上至多有一个解”是假命题，则的取值范围是（）A.B.C.D.题型9一元二次不等式的应用例59（2025·天津卷）若,对,均有恒成立,则的最小值为_____.例60已知不等式的解集为或,则（）A.B.C.不等式的解集为D.不等式的解集为例61已知对一切，不等式恒成立，则实数的取值范围是A.B.C.D.例62已知关于的二次方程，若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内,