高考数学一轮复习 新思路 3.2 导数大题篇

第二节导数大题篇考向1单调性讨论通过近五年的高考题分析,我们发现看上去相对容易入手的就是恒成立问题,通过求导后单调区间分析和极值最值的判断,以北京卷和新老高考II卷以及II卷为主,导数的基础题,就从这几个地区高考题来看,导数题作为压轴题,难度较大的,参考天津卷和老浙江卷,难度适中的是新高考I卷和乙卷（乙卷2024年取消）,2024年第一次出现新定义高考压轴,导数的难度将会再接下来几年保持平稳,大家需要对恒成立求参,零点个数与双变量的方向进行系统学习,对一些方法,比如同构,隐零点代换,端点效应和极点效应探路,零点放缩取点,二次曲线拟合与转化同构函数调整单调性进行全面学习.题型1不含参数单调性讨论1.关于含参函数单调性的讨论问题,要根据导函数的情况来作出选择,通过对新函数零点个数的讨论,从而得到原函数对应导数的正负,最终判断原函数的增减.（注意定义域的间断情况）.2.需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段.3.利用草稿图像辅助说明.例1（2020新课标I）已知函数.（1）当时，讨论的单调性;例2（2020新课标I）已知函数（1）当时,讨论的单调性;例3（2019新课标II）已知函数.（1）讨论的单调性;题型2含参数单调性讨论的1.含参函数单调性讨论的分类标准①函数类型；②开口方向；③判别式；④导数等于0有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内.2.含参函数单调性讨论的过程角度1:变号函数为一次函数例4已知函数.求的单调区间;角度2:变号函数为准一次函数（指对）例5（2023·新高考I）已知函数.讨论的单调性;例6已知函数.（其中常数，是自然对数的底数.）讨论函数的单调性；角度3:变号函数为二次函数型知识点讲解:变号函数为二次函数时,变号函数为0的方程一般有两个不同实数根（无根情况下二次函数恒正或恒负,只有一根时情况类似,故不作为讨论重点）,理论上要分进行讨论;若函数有定义域限制,则方程往往会涉及根的分布问题,需要结合定义域对根的分布进行分类讨论.①可因式分解例7（2019新课标III）已知函数.讨论的单调性.例8（2017·新课标III）已知函数.讨论函数的单调性;②不可因式分解例9已知函数,讨论函数的单调性.例10（2014・山东）设函数，其中为常数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调区间.角度4:变号函数为准二次函数型例11（2017·新课标I）已知函数.讨论的单调性.例12已知函数,当时,讨论函数的单调性.题型3三角函数型单调性讨论1.关于三角要注意定义域,定正负;2.常见放缩记心里:如.例13（2023·甲卷）已知.若,讨论的单调性;例14（2017·山东）已知函数，其中...是自然对数的底数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.考向2隐零点代换例15（2019.新课标I）已知函数为的导数.（1）证明:在区间存在唯一零点；（2）若时，，求的取值范围.例16（2013新课标II）已知函数.（1）设是的极值点，求，并讨论的单调性；（2）当时，证明:.例17（2026·西北师范大学附属中学T19）已知函数.（1）当时，求证:；（2）若对恒成立，求的取值范围；（3）若存在，使得，求证:.考向3恒成立问题题型1同一变量型（构造函数）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）例18已知函数的图像在点处的切线为.（1）求函数的解析式；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.例19已知函数.（1）若的图像在处的切线经过点，求的值；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.题型2不同变量等号型（值域包裹性定理）（1）若，，使在上的值域是在上的值域的子集（2）若，使在上的值域与在上的值域的交集不空（两个函数有相等的函数值,即它们的值域有公共部分）例20已知函数,若存在,使得,求实数的取值范围.例21已知.（1）求的解析式；（2）函数，若对任意，总存在，使成立,求的取值范围.题型3不同变量不等号型（最值比较）（1）（2）（3）（4）例22已知函数.（1）当,求的极值.（2）当时,设,若存在,使,求实数的取值范围.例23已知函数满足,且,函数.（1）求的图像在处的切线方程；（2）若对任意，存在，使得，求的取值范围.题型4同构大题的写法（内值外定与保值同构）角度1:指对同构中的“内值外定”“内值外定”原则,其实是复合函数的定义域问题,即内层函数的值域范围为外层函数定义域的子集,用同构解大题时,内层值域需满足外层函数单调区间的子集,这样才能比较内层大小,如果构造的函数在上递增,则无需考虑.例24（2020·新高考）已知函数.（1）当时,求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;（2）若，求的取值范围.例25（2026届・湖北省部分学校10月联考T19）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，不等式恒成立，求的取值范围.角度2:保值同构的大题书写例26（2024・甲卷文）已知函数.（1）求的单调区间；（2）若时，证明:当时，恒成立.例27已知函数.（1）当时，证明:；（2）记函数，若增函数，求实数的取值范围.例28（2023·新高考I卷）已知函数.（1）讨论的单调性;（2）证明:当时，.例29（2015·新课标I）设函数.（1）讨论的导函数零点的个数；（2）证明:当时，.考向4指对三角放缩与泰勒公式题型1指数常用放缩式0线放缩①；证明:时,成立;时,即,成立;时,即,成立.②；（小题篇八大函数已证）③；证明:即证,则,故,得证.④;证明:即证,则,故,得证.⑤;证明:,即证.⑥；证明:令,则,即证.⑦；证明:令,则,易证.⑧；证明:令,则,即证.1线放缩①；证明:由0线②向右平移一个单位得,或者令,易证.②；证明:令,易证.③；证明:令,即证.④；证明:找基友自证,详解见拓展.例30（MST利哥每日一题）（1）函数的最小值为_____；（2）函数的最小值为_____.例31（MST利哥每日一题）（1）已知，若恒成立，求实数的取值范围为_____.（2）已知，若恒成立，求实数的取值范围为_____.例32若当时，函数有两个极值点，则实数的取值范围为_____.例33求证:当时,.题型2对数常见放缩及推导0线放缩①；证明:令,易证.②；证明:令,即证.1线对数不等式链条①证明:令,易证;.飘带函数（小题篇已证）①；②.终极链条:.例35已知函数，对任意的，都有，则实数的取值范围是为_____.例36已知函数对任意有成立，则的最小值为_____.例37已知函数.证明:.题型3三角常见放缩及推导①；证明:左边令,即证.证明:右边令,即证.②；证明:令,易证.③；证明:令,即证.④;证明:令,即证.例39（2023·新高考II）证明:当时，；例40已知函数.例41（MST利哥每日一题）.例42已知为正实数.（1）比较与的大小；（2）求证:.例44（2021·乙卷）已知函数，已知是函数的极值点.（1）求；（2）设函数.证明:.泰勒公式表:①基础知识②由①式积分可得③取②式中的奇次项，正负交替④取②式中的偶次项，正负交替⑤数列求和,注意:⑥由⑤式将可得⑦由⑥式积分可得⑧由⑦式将可得⑨二项式定理,无需记忆常用泰勒公式:①;②；③；④；⑤；⑥.考向5导数放缩与数列构造题型1不等式的累加VS数列和式代换通常利用题目给定的不等式,形如利用这种式子构造个不等式累加,得到一个结果,我们也可以考虑和式代换逆推.例45已知:若是数列前项和,求证:.例46（2022·新高考II）已知函数.（1）当时，讨论的单调性;（2）当时，，求的取值范围；（3）设，证明:.例47已知函数.（1）当时，求证；（2）求证:.例48（2023·天津卷）已知函数；（1）求函数在处的切线；（2）求证:当时，；（3）求证:.题型2不等式的累乘VS数列积式代换通常求导后得到一个不等式,形如,利用这种式子构造个不等式累乘,如,得到一个结果如,某些时候还需要用到糖水不等式.形如:类型,可以用积式代换证明,即证,且例49（2015·安徽）设，是曲线在点处的切线与轴交点的横坐标.（1）求数列的通项公式；（2）记，证明:.例50（2020-新课标II）已知函数.（1）讨论在区间的单调性;（2）证明:；（3）设，证明:.例51（2026届・成都零诊T19）已知函数.（1）求的极值;（2）若恒成立，求的取值范围；（3）证明:.考向6极值点偏移【解题方法】1.对称化构造常见题设:若函数存在两个零点,且满足为函数的极值点,求证.（1）求导讨论单调性，并求出极值点以及的范围；（2）构造函数;（3）对求导，讨论单调性，从而判断在极值点单侧的正负，得出与的大小关系;（4）代入或，得出与的大小关系，借助将自变量统一到极值点同侧,再通过单调性得出结论.2.对数平均不等式（关于,适用和型或商型,如,积型不适用）对数平均不等式:两个正数的对数平均,有如下关系即几何平均数对数平均数算术平均数.证明如下:比值代换不妨设,令,则,下面可以对不等式进行整理和化简得到,所以,可以继续构造飘带函数求证.考虑到实际应用中常常使用指数,为计算方便,我们引入ALG不等式的拓展-指数形式的不等式.下简称指数平均不等式.ALG不等式的证明（指数）设,则,有如下关系:.证明如下:由对数平均不等式,令,所以,即.题型1对称化构造与对数平均不等式例52已知函数（1）求函数的单调区间及极值；（2）求证:当时，；（3）如果，且，求证:.例53（2022·甲卷）已知函数.（1）若，求的取值范围；（2）证明:若有两个零点，则.例54已知函数.（1）求的单调区间.（2）已知直线与曲线交于三点，且①若成等差数列，求的值；②证明:.例55（2026·浙江模拟节选）已知函数.（3）若存在，使得.证明:.题型2韦达消参例57已知函数.若,且有两个极值点,证明:.例58（2018·新课标I）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明:.题型3偏移与拆分思想例59（2025·天津卷）已知函数.时，求在点处的切线方程;有3个零点,且:（i）求的取值范围;（ii）证明:.例60（天津高三月考T19节选）已知函数的导函数为.（3）若，，，且满足，证明:.例61（河南月考T19节选）已知函数.若有两个极值点.①求的取值范围；②证明:例62（2026·T8·联考T19）已知函数，若有三个实数解，且.（1）求实数的取值范围；（2）求证:①；②.题型4曲线拟合思想例63（2026·江西八校联考T19）已知函数.（1）若时，求函数在点上的切线方程；（2）若，使得当时，的值域为（i）求实数的取值范围；（ii）证明:.例64（2026·宁波十校模拟T19）已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若有两个极值点，且.（i）求的取值范围；（ii）求证:.拓展思维题拓展1对数单身狗指数找基友考点:指对的处理技巧（简化运算）角度1:指数找朋友例1求证下列式子:（1）（新课标II）；（2）（新课标II）当时，求证:.（3）（新课标I）当时，求证:.（4）当时，求证:；例2证明:当时,.例3已知函数.（1）当时，判断函数的单调性;（2）已知对任意恒成立，求的取值范围.角度2:对数独行侠例4（2018·新课标III卷）已知函数,若，证明:当0时,;当时,.例5已知函数.求证:.拓展2凹凸反转在高考中的应用常见模型有三种①高人一等，即上函数的最小值大于下函数的最大值；不取等；②亲密接触，即上函数的最小值等于下函数的最大值，且取等条件一致；③错位时空，即上函数的最小值等于下函数的最大值，但取等条件不一致.例6（2014新课标I）设函数,曲线在点处得切线方程为.（1）求a和b的值；（2）证明:.例7已知函数.对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.例8已知函数，其中.当时，证明:.拓展3新高考背景下的万能找点法考向万能找点法找点原理:增反减同增函数满足“增反”，即增函数找大点构造小函数，找小点构造大函数；减函数则满足“减同”，即减函数找大点构造大函数，找小点构造小函数（图右），这类“增反减同”的找点法原理我们叫做楞次找点原理.同理,我们来研究有极值点的函数找点原理,当函数极大值大于零或者极小值小于零,通常会有两个零点,高考中一旦需要我们去找这两个零点时,我们也可以根据楞次找点法进行分析,两边都构造放缩函数,得到可解方程;我们通常将零点当中的较小零点用（小点）表示,较大零点用（大点）表示,由于放缩的和不是唯一的,我们有多种构造方法和构造选择,故我们把这类型极小值小于零的两个零点问题的放缩找点类型称为“众星捧月”.同样,在极大值大于零的两个零点问题时,则需要构造“仙女散花”的模型（如下图）题型1单调函数单零点问题在指数函数中,我们通常利用来锁定一个界限,对数函数中,我们通常利用来锁定一个界限,我们可以先参考例题.例9当时,讨论函数的零点个数.例10当时,讨论函数的零点个数.题型2单峰函数零点问题例11（2016·新课标I）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.例12（2022·天津）已知，函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）若和有公共点.（i）当时，求的取值范围;（ii）求证:.例13（2017·新课标I）已知函数.（1）讨论的单调性;（2）若有两个零点，求的取值范围.题型3双峰函数零点问题不单调,且有两个极值时,使且0,此时在区间有唯一零点.例14（2021·新高考II）已知函数.（1）讨论的单调性;（2）从以下（1）和（2）中选择一项证明恰有一个零点；（1），；（2），，题型4极值点与零点问题例15（2025·新高考II）已知函数,其中.（1）证明:在存在唯一的极值点和唯一的零点；（2）设为在的极值点和零点，（i）设,证明:在单调递减;（ii）比较与的大小，并证明你的结论.例16（2019·天津）设函数,其中.（1）若，讨论的单调性；（2）若，（i）证明恰有两个零点；（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明:.拓展4显点效应（端点效应与极点效应）必要探路体系只有两种:显点效应（包括端点效应与极点效应）与隐点效应（即特殊点效应，拓展5介绍）.显点效应即此点显而易见，①端点效应:在端点处取得最值，如左图，，；②极点效应:非端点处的天生零点，如右图，，.注意:连续函数，端点处的最值不一定是极值，但非端点处的最值一定是极值，就是两者的区别.题型1端点效应很多地区使用洛必达会被扣分,所以端点效应也是洛必达的满分书写平替,属高考恒成立中最重要的题型,是属于必要探路的一种,考试需要证矛盾,即证反面不成立（极点效应和隐点效应不需证反面,但都需要证充要）.一般主要有四种题型:①符合泰勒展开（如2010新课标1卷，2024新1卷）或或帕德[1,1]阶（如2016新课标2卷、2024甲卷理）；②单调含参（如2017新课标2卷）；③利用参数值反推单调（如2022新高考2卷）；④双端点效应（2019新课标1卷）；一般解题步骤:①满足端点处取得最值；②依次求导并代入端点值，使得参数有意义为止；③由单调的导函数分析,往回推;④证明反面矛盾.注意一个细节:由端点值代入分析的导函数需满足单调，或者通过讨论参数范围确定单调（反推）.例17（2010·课标I）设函数.若当时，求得取值范围.题型例18（2016·新课标II卷）已知函数.当时,,求的取值范围.例19已知函数.（1）当时，求的极值;（2）当时，，求的取值范围.例20（2017·新课标II卷）设函数.（2）当时，，求实数的取值范围.例21（2022·新高考II）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围；（3）设，证明:.例题已知函数为的导数.（2）若时，，求的取值范围.例23（2024·新高考1卷）已知函数.（1）若，且，求的最小值；（2）证明:曲线是中心对称图形；（3）若，当且仅当，求的取值范围.题型2极点效应极点效应即非端点处的天生零点,可以直接观察出来,即该点既是零点,也是极值点,在利用极点效应解题时,我们先得到参数值,再证明充分性,即证明满足题意（确认是极大值还是极小值）.例（24）已知函数，且.求;例25（2024·天津）设函数.若在时恒成立，求的值；例26（八省联考）已知函数.（1）证明:当时，；（2）若，求.拓展5隐点效应隐点效应也是我们常说的特殊点效应,但是很多学生在探路代点的时候,靠猜靠蒙,也不证明矛盾,容易出错,但这个特殊点是可以通过分析确定的,这样再用必要探路解题才能确保万无一失,如我们用参变分离解答,也可帮助我们找到最值点.若恒成立,则一定存在一点,使得恒成立,所以利用探路,此时可以通过解方程或者观察出来,探出与有关的方程来进行最值锁定,注意我们尽量保证单调,这样的才能唯一确定,在使用隐点效应（特殊点效应）,不需要证反面矛盾.例37（2020新高考山东卷）已知函数.若,求的取值范围.例28（2020・全国I卷）已知函数.当时,,求的取值范围.例29已知函数.当时,,求实数的取值范围.拓展6切线夹与割线夹角度1:切线夹切线夹这种方法只适用于具有凹凸性的函数，切线夹的大体表现形式为，对于这类单峰函数,我们可以在极值点的左右找点做切线,一般题目会在条件（或问题）中提示一条切线,另一条切线则在另一侧零点处求得（当然也有零点与切点不统一的情况,这里不做展示）,设与曲线和切线的交点分别为,从而利用进行放缩求解.注意:1.拐点是关键，如果一个函数是凹（或凸）函数，则在曲线上任意一点只能做唯一切线；2.零点处切线是关键,如遇到有拐点的函数（如例2）,或非双零点问题（如训练21）,则可利用零点处切线进行探路.一、双零点切线夹构造例30（2015·天津）已知函数.（1）求的单调区间;（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证:对于任意的实数,都有;（3）若方程（为实数）有两个实数根，且