高考数学一轮复习 新思路 7.4 立体几何综合应用

7.4立体几何综合应用考向1截面知识点1立体几何与截面问题1.定义①截面:一个无限长的平面去截几何体，该平面与几何体的交面，为该几何体的截面②截线:该平面与几何体表面上的交线叫做截线.③截点:该平面与几何体各棱上的交点叫做截点.连接各截点形成的线段即为截线（在表面上），连接各截线形成的封闭图形即为截面.2.作截面的基本逻辑（1）找截点连截线围截面（2）作截面的理论依据:①任意两点确定唯一直线，不共线的三点确定唯一平面；②两条异面直线的交点，在这两条直线所在的两个平面的交线上；③若两个平面互相平行，且第三个平面与它们相交，则两条交线平行；④若一条直线平行于一个平面，经过该直线的平面与该此平面相交，则直线与交线平行:（3）如何确定该截面是否“完整”①所画的线是否围成了一个封闭图形？②题目所要求过的点是否都在截面上？③该截面的各个边是否都在几何体的表面（不能在几何体内部）？3.作截面的具体方法（1）平行线法:适用于有两个或两个以上截面线段在表面上例如图，正方体中，为的中点，画出过的截面.解析过点作的平行线，再连接即可.（2）延长线法:适用于只有一个截面线段在表面上例如图,正方体中,分别为的中点,画出过的截面.解析延长交于,延长交于,连接,把交点连起来,所围成的几何图形就是截面.4.正方体的常见截面类型①正方体不可能出现的截面图形:直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形.②截面和几个面相交,就能截出几边形.知识点2球的截面问题1.球的截面一定是圆或者是圆的一部分;2.确定球心与半径,建立直角三角形,计算截面与球心的距离;3.最大的截面半径,最小的截面半径.题型1截面问题应用例1（2023-多选・新高考I）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位:）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A.直径为的球体 B.所有棱长均为的四面体C.底面直径为,高为的圆柱体 D.底面直径为,高为的圆柱体例2（2026・陕西校级一模・多选）已知长方体中，，，分别是的中点,点在上运动（含端点）,则（）A.该长方体外接球的表面积为B.点到平面的距离的最大值为C.过三点的平面截该长方体所得截面图形的周长为D.过三点的平面截该长方体所得截面图形的面积为例3（2026・重庆校级模拟）在正四棱锥中，，当过，，三点的球的体积最小时,该球被平面所截截面的面积为（）A.B.C.D.例4（2026春·开福区校级月考·多选）如图，在正三棱锥中，底面的边长为4，为的中点，，则下列结论正确的是（）A.该棱锥的体积为B.该棱锥外接球的体积为C.异面直线与所成角的余弦值为D.以为球心,为半径的球截该棱锥各面所得交线长为考向2动态与轨迹知识点1立体几何中的动态翻折问题1.关于点的轨迹:某些点、线、面按照一定的规则运动,构成各式各样的轨迹,探求空间轨迹的关键是找到关键点和翻折过程中不变的数量关系与位置关系.2.证明或探索位置关系:①确定翻折前后变与不变的关系，一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决.②确定翻折后关键点的位置，所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点.因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化.只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算;要注意平面在翻折的过程中,顶点在底面的投影即为展开图上过该点向折线做的垂线上.3.关于体积最值问题,将一个多边形沿一条线折叠得到一个棱锥,当该棱锥的体积最大时,以折线为交线的两个半平面垂直,当在折叠过程中棱锥的底面积和高度同时变化时,则需要构建目标函数,通过自变量的范围,求函数最值解决.4.旋转问题,两线段距离之和最值问题,将不共面的两线段旋转到同一平面,再利用平面几何知识进行求解.题型2平行垂直条件下点的轨迹例5（2026秋·四川校级月考）在正四棱柱中,为棱的中点,点为侧面内一动点,且平面,则线段的长度的最小值为A.1 B. C.D.例6（2026秋・城西区月考・多选）已知正方体的棱长为2,点满足,下列结论正确的是（）A.若，则与所成角为B.若平面，则C.若点都在球的表面上，且球心在底面上，则D.若平面时,与平面交于点,则题型3定长定角旋转的圆弧轨迹例7（2026春·贵州期末·多选）如图,在棱长为2的正方体中,分别是的中点,是侧面内的动点（含边界）,则下列结论正确的是（）A.四点共面B.异面直线与所成的角为C.当点在线段上运动时,三棱锥的体积为定值D.当时,点的运动轨迹的长度为例8（湖南省长沙市雅礼中学2026届上学期高三月考（六）T11）如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点在侧面内运动（包含边界），且与平面所成角的正切值为为上一点,且,则下列结论正确的有A.正三棱台的高为B.点的轨迹长度为C.高为，底面半径为的圆柱可以放进该棱台内D.过点的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为题型4翻折问题例9（2026·天津模拟）如图,已知是边长为4的等边三角形,、分别是的的中点,将沿着翻折,使点到点处,得到四棱锥,则下列说法中,正确的个数为（）①翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为9.②取线段中点，则翻折过程中，三棱锥与四棱锥体积比为定值.③翻折过程中，直线始终与平面平行.④当时,该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为.A.1个B.2个C.3个D.4个题型5动点与最值问题例10（2026·武汉二调）四棱锥中，4,，内部点满足四棱锥与三棱锥的体积相等，则长的最小值为_____.考向3五体几何中的距离与最值问题知识点立体几何距离求法①两点间的距离:构造直角三角形，利用勾股定理处理；②点到平面的距离:等体积法；③直线到平面的距离:转化为求点到面的距离；④平面到平面间的距离:转化为求点到面的距离.注意:若二面角非直角，可以考虑用向量转化求解距离.题型6距离问题例11如图,已知在矩形中,为边的中点,将分别沿着直线，翻折，使得，两点重合于点，则点到平面的距离为_____.例12直四棱柱中,底面为正方形,边长为2,侧棱分别为的中点，分别是的中点，求平面与平面的距离.例13（2026秋·南通期中）在三棱锥中，已知平面,点是棱上的动点,点是平面内的动点,,点为中点,则点到平面距离的最小值为（）A.B.C.D.题型7折线段的距离例14（2026·岳阳模拟·多选）如图，在棱长为1的正方体中，点为中点，动点满足,则（）A.若点到直线和的距离相等,则点的轨迹为抛物线的一部分B.存在这样的点使平面C.若点与点重合,则三棱锥的外接球半径为D.若与的夹角为为线段上的动点,则的最小值为例15如图1,在棱长均为的正四面体中,为的中点,为的中点,是上的动点,是平面上的动点,则的最小值是（）A.B.C.D.拓展思维拓展1体积分割与比例例1（重庆市南开中学校2026届高三下学期3月质量检测T8）正四面体棱长为2,点为其外接球球心,点满足,且点在平面上,则三棱锥体积最小值为（）A.B.C.D.例2（成都市第七中学2025一2026学年度下期高2026届开学考试T11多选）已知正四面体的棱长为2,为其外接球球心,分别为棱的中点,下列说法正确的有A.异面直线与的距离为B.正四面体的外接球表面积为C.直线与平面所成角的正弦值为D.若存在点满足,过点的平面与线段分别相交,记在平面两侧的几何体的体积分别为,其中,则的最小值为