重难专攻5　隐零点问题

1/1重难专攻5隐零点问题隐零点是指一个函数的零点存在但无法直接解出，在函数、不等式与导数的综合题目中经常会遇到隐零点问题.涉及隐零点问题，一般对函数的零点设而不求，借助整体代换和过渡，再结合题目条件，利用函数的性质巧妙求解.不含参函数的隐零点问题（师生共研过关）（2025·T8联考节选）已知函数f（x）＝ex－lnx＋1，试求f（x）的极值点个数.解：f（x）＝ex－lnx＋1，x＞0，f'（x）＝ex－1x令t（x）＝ex－1x，∴t'（x）＝ex＋1x2＞0，即f'（x）在区间（0又f'（12）＝e－2＜0，f'（1）＝e－1＞0∴∃x0∈（12，1），使得f'（x0）＝0当x∈（0，x0）时，f'（x）＜f'（x0）＝0；当x∈（x0，＋∞）时，f'（x）＞f'（x0）＝0.∴f（x）在区间（0，x0）上单调递减，在区间（x0，＋∞）上单调递增，x＝x0是f（x）的唯一极小值点，无极大值点.∴f（x）的极值点个数为1.已知不含参函数f（x），导函数方程f'（x）＝0的根存在却无法求出，利用函数零点存在定理，判断零点存在，设方程f'（x）＝0的根为x0，则：（1）关系式f'（x0）＝0成立；（2）注意确定x0的合适范围.训练1（2026·江苏海安、宿迁模拟节选）已知函数f（x）＝exsinx，g（x）＝2ln（x＋1）－x.求证：当x∈（0，π2）时，f（x）＞exg（x证明：证明f（x）＞exg（x）等价于证明sinx＞2ln（x＋1）－x，x∈（0，π2）即证sinx＋x－2ln（x＋1）＞0.令t（x）＝sinx＋x－2ln（x＋1），所以t'（x）＝cosx＋1－2x+1，且t（0）＝0，t'（0）＝当x∈（0，π2）时，设q（x）＝t'（x）＝cosx＋1－2x+1，q'（x）＝－sinx因为函数y＝－sinx，y＝2（x+1）2在（0则q'（x）在（0，π2）内单调递减又因为q'（0）＝2＞0，q'（π2）＝－1＋2（π所以∃x0∈（0，π2），使得q'（x0）＝0且当0＜x＜x0时，q'（x）＞0；当x0＜x＜π2时，q'（x）＜0此时q（x）在（0，x0）内单调递增，在（x0，π2）内单调递减又q（0）＝0，q（π2）＝1－2π2+1＞0，故对任意的x∈（0，π2），t'（x）＝q则t（x）在（0，π2）内单调递增，所以t（x）＞t（0）＝0综上，当x∈（0，π2）时，t（x）＞0，即得sinx＞2ln（x＋1）－x，所以f（x）＞exg（x）得证含参函数的隐零点（师生共研过关）（2025·山东济南一模节选）已知a∈R，函数f（x）＝ex－ax，x∈[0，＋∞）.若f（x）存在零点，试求a的取值范围.解：因为函数f（x）存在零点，故ex＝ax有解，若x＝0，此时无解，所以x＞0，即f（x）＝ex－ax在（0，＋∞）上有解，f'（x）＝ex－a2x＝①若a≤0，f（x）单调递增，f（x）＞f（0）＝1此时不存在零点；②若a＞0，令h（x）＝2exx－a，易知函数h（x）单调递增，且h（0）＝－a＜0，h（a2）＝2ea2·a－a＞0，由函数零点存在定理可知存在x0∈（0，a2），h（x0）＝所以f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，＋∞）上单调递增，故f（x）min＝ex0－ax0＝a2x0－ax0≤0，解得x0≥12故a的取值范围是[2e已知含参函数f（x，a），其中a为参数，导函数方程f'（x，a）＝0的根存在，却无法求出，设方程f'（x，a）＝0的根为x0，则：（1）关系式f'（x0，a）＝0成立，该关系式给出了x0，a的关系；（2）注意确定x0的合适范围，往往和a的范围有关.训练2已知函数f（x）＝ex－a－lnx＋x.当a≤0时，证明：f（x）＞x＋2.证明：当a≤0时，令F（x）＝f（x）－x－2＝ex－a－lnx－2，x＞0，F'（x）＝ex－a－1x＝x令g（x）＝xex－a－1，x＞0，g'（x）＝（x＋1）·ex－a＞0，即函数g（x）在（0，＋∞）上单调递增，而g（0）＝－1＜0，g（1）＝e1－a－1≥e－1＞0，则存在唯一x0∈（0，1），使得g（x0）＝0，即ex0－因此存在唯一x0∈（0，1），使得F'（x0）＝0，当0＜x＜x0时，F'（x）＜0；当x＞x0时，F'（x）＞0，因此函数F（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，＋∞）上单调递增，当ex0－a＝1x0时，x0－a则F（x）≥F（x0）＝ex0－a－lnx0－2＝1x0＋x0－a－2＞21x0·x0－a－2＝－a≥0，当且仅当1x0＝x所以当a≤0时，f（x）＞x＋2.（时间：45分钟，满分：50分）1.（10分）已知函数f（x）＝ex＋1－2x＋1，g（x）＝lnxx＋2，证明：f（x）≥g证明：证明f（x）≥g（x）等价于证明xex＋1－2≥lnx＋x（x＞0），即证xex＋1－lnx－x－2≥0.令h（x）＝xex＋1－lnx－x－2（x＞0），h'（x）＝（x＋1）ex＋1－1+xx＝（x＋1）（ex＋1－1令φ（x）＝ex＋1－1x，则φ（x）在（0，＋∞）上单调递增而φ（110）＝e1110－10＜e2－10＜0，φ（1）＝e2－1故φ（x）在（0，＋∞）上存在唯一零点x0，且x0∈（110，1）当x∈（0，x0）时，φ（x）＜0，h'（x）＜0，h（x）在（0，x0）上单调递减；当x∈（x0，＋∞）时，φ（x）＞0，h'（x）＞0，h（x）在（x0，＋∞）上单调递增，故h（x）min＝h（x0）＝x0ex0+1－lnx0－x0又因为φ（x0）＝0，即ex0+1所以h（x0）＝－lnx0－x0－1＝（x0＋1）－x0－1＝0，从而h（x）≥h（x0）＝0，即f（x）≥g（x）.2.（10分）（2026·河北邯郸模拟）已知函数f（x）＝（x－3）ex＋ax恰有一个极值点，求a的取值范围.解：由题意可得f'（x）＝（x－2）ex＋a，令f'（x）＝（x－2）ex＋a＝0，得－a＝（x－2）ex，设g（x）＝（x－2）ex，则g'（x）＝（x－1）ex.由g'（x）＞0，得x＞1，则g（x）在（1，＋∞）上单调递增；由g'（x）＜0，得x＜1，则g（x）在（－∞，1）上单调递减，故g（x）min＝g（1）＝－e.因为f（x）恰有一个极值点，所以f'（x）＝0有唯一的零点x0，且f（x）在x0两侧的单调性不同.当x＜2时，g（x）＜0，则－a＝－e或－a≥0，解得a＝e或a≤0.当a＝e时，f'（x）≥f'（1）＝0，则f（x）在R上单调递增，没有极值点，故a＝e不符合题意；当a≤0时，f'（1）＝－e＋a＜0，且当x＜2时，f'（x）＜0，当x→＋∞时，f'（x）→＋∞，则f（x）存在唯一的极小值点，故a≤0符合题意，故a的取值范围是（－∞，0].3.（15分）（2026·河南郑州模拟）已知函数f（x）＝（a－x）ex，a∈R.（1）若a＝2，求曲线y＝f（x）的斜率为1的切线方程；（2）若不等式f（x）＞1－x没有整数解，求实数a的取值范围.解：（1）当a＝2时，f（x）＝（2－x）ex，则f'（x）＝（1－x）ex.由f'（x）＝1，得1－x＝e－x，设φ（x）＝e－x＋x－1，则φ'（x）＝－e－x＋1＝ex令φ'（x）＞0，得x＞0，令φ'（x）＜0，得x＜0，所以φ（x）min＝φ（0）＝0，故有且仅有x＝0，f'（0）＝1，此时f（0）＝2，所以曲线y＝f（x）的斜率为1的切线方程为f（x）在x＝0处的切线方程，该切线方程为y＝x＋2.（2）由f（x）＝（a－x）ex＞1－x得aex＞xex－x＋1，即a＞x－x－所以a＞x－x－1设h（x）＝x－x－1ex，h'（x）＝1－设t（x）＝ex＋x－2，t'（x）＝ex＋1＞0，所以t（x）单调递增，且t（0）＝－1＜0，t（1）＝e－1＞0，所以存在唯一的x0∈（0，1），使t（x0）＝ex0＋x0－2＝0，即h'（x0）＝当x∈（－∞，x0）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（x0，＋∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，又h（0）＝h（1）＝1，所以当x∈Z时，h（x）≥1.所以实数a的取值范围为（－∞，1].4.（15分）已知函数f（x）＝lnx－x＋2sinx，f'（x）为f（x）的导函数.（1）求证：f'（x）在（0，π）上存在唯一零点；（2）求证：f（x）在（0，2π）上有且仅有两个不同的零点.证明：（1）设g（x）＝f'（x）＝1x－1＋2cosx当x∈（0，π）时，g'（x）＝－2sinx－1x2＜所以g（x）在（0，π）上单调递减，又因为g（π3）＝3π－1＋1＞0，g（π2）＝2π－所以g（x）在（0，π）上有唯一的零点，即f'（x）在（0，π）上存在唯一零点.（2）设f'（x）在（0，π）上的唯一零点为α，由（1）知π3＜α＜π①当x∈（0，α）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（α，π）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）在（0，π）上存在唯一的极大值点α，所以f（α）＞f（π2）＝lnπ2－π2＋2＞2－π又因为f（1e2）＝－2－1e2＋2sin1e2＜－2－所以f（x）在（0，α）上恰有一个零点.又因为f（π）＝lnπ－π＜