高考数学一轮复习 教师用书 上册3

第一节平面向量的概念及线性运算课标解读考向预测1.理解平面向量的意义、几何表示、基本要素及两个向量相等的含义．2.掌握平面向量的加、减、数乘运算及运算规则，并理解其几何意义及两个平面向量共线的含义．3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.预计2027年高考对本节内容的考查会以线性运算、共线向量定理为主，主要以选择题、填空题的形式出现，难度中、低档.1．向量的有关概念名称定义表示向量在平面中，既有eq\o(□,\s\up1(01))大小又有eq\o(□,\s\up1(02))方向的量用a，b，c，…或eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，…表示向量的模向量a的大小，也就是表示向量a的有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))的eq\o(□,\s\up1(03))长度(或称模)|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|零向量长度为0的向量用0表示单位向量长度等于1个单位的向量用e表示，|e|＝1平行向量方向相同或相反的非零向量(或称共线向量)a∥b相等向量长度eq\o(□,\s\up1(04))相等且方向eq\o(□,\s\up1(05))相同的向量a＝b相反向量长度eq\o(□,\s\up1(06))相等，方向eq\o(□,\s\up1(07))相反的向量向量a的相反向量是－a说明：零向量的方向是不确定的、任意的．规定：零向量与任一向量平行．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝eq\o(□,\s\up1(08))b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝eq\o(□,\s\up1(09))a＋(b＋c)减法a－b＝eq\o(□,\s\up1(10))a＋(－b)数乘|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向eq\o(□,\s\up1(11))相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向eq\o(□,\s\up1(12))相反；当λ＝0时，λa＝eq\o(□,\s\up1(13))0λ(μa)＝eq\o(□,\s\up1(14))(λμ)a；(λ＋μ)a＝eq\o(□,\s\up1(15))λa＋μa；λ(a＋b)＝eq\o(□,\s\up1(16))λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一．1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up6(→)).特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0⇔P为△ABC的重心，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．4．若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.5．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.题组一走出误区——判一判(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关．()(2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.()(3)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√题组二回归教材——练一练(1)(多选)(人教A必修第二册习题6.2T4改编)下列各式化简结果正确的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)) B.eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0 D.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))答案：BC(2)(人教A必修第二册习题6.2T14改编)在△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＋3eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))答案：C解析：因为eq\o(BD,\s\up6(→))＋3eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，所以D为线段BC上靠近点C的四等分点，如图，故eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→)).故选C.(3)(人教A必修第二册6.2.3例6改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD交于点O，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(DC,\s\up6(→))＝________，eq\o(BC,\s\up6(→))＝________．(用a，b表示)答案：b－a－a－b解析：如图，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝－a－b.(4)(人教B必修第二册6.2.1例3改编)设向量a，b不共线，向量λa＋b与a＋2b共线，则实数λ＝________．答案：eq\f(1,2)解析：∵λa＋b与a＋2b共线，∴存在实数μ，使得λa＋b＝μ(a＋2b)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝μ，,1＝2μ，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,μ＝\f(1,2).))(5)(人教A必修第二册习题6.2T10改编)若a，b满足|a|＝3，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为________，最小值为________．答案：82解析：|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8，当且仅当a，b同向时，等号成立，所以|a＋b|max＝8.又|a＋b|≥||a|－|b||＝|3－5|＝2，当且仅当a，b反向时，等号成立，所以|a＋b|min＝2.考点一平面向量的有关概念(多选)下列命题中的真命题是()A．若|a|＝|b|，则a＝bB．若A，B，C，D是不共线的四点，则“eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件C．若a＝b，b＝c，则a＝cD．“a＝b”的充要条件是“|a|＝|b|且a∥b”答案：BC解析：A是假命题，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．B是真命题，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))且eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))方向相同，因此eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).C是真命题，∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.D是假命题，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．故选BC.平面向量有关概念的四个关注点关注点一非零向量的平行具有传递性关注点二共线向量即为平行向量，它们均与起点无关关注点三向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量关注点四eq\f(a,|a|)是与a同方向的单位向量1.(多选)下列说法错误的是()A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0C．若a，b都为非零向量，则使a＋b＝0成立的条件是a与b反向共线D．若a∥b，b∥c，则a∥c答案：ACD解析：零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；只有当a与b反向，且|a|＝|b|时，才有a＋b＝0，故C错误；若b＝0，则不共线的a，c也有a∥b，c∥b，故D错误．故选ACD.考点二平面向量的线性运算(多考向探究)考向1平面向量加、减运算的几何意义(1)已知菱形ABCD的边长为2，则|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝()A．20 B．4C．16 D．12答案：B解析：|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4.故选B.(2)在△ABC中，若|eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))|－|eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝0，则△ABC的形状是()A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形答案：C解析：如图，作平行四边形ABCD，并连接BD.在△ABC中，因为|eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))|－|eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝0，所以|eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|，即|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|，所以平行四边形ABCD为矩形，又|eq\o(BA,\s\up6(→))|与|eq\o(BC,\s\up6(→))|不一定相等，所以△ABC是直角三角形．故选C.1．三种运算法则的要点(1)加法的三角形法则要求“首尾连”，平行四边形法则要求“共起点”．(2)减法的三角形法则要求“共起点，连终点，指被减”．(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．2．利用向量加、减法的几何意义解决问题的方法(1)根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形．(2)平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题，可考虑利用向量知识来求解．注意菱形、矩形等在解题时的应用．2.若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，则|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝________．答案：2eq\r(3)解析：因为|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).考向2平面向量的线性运算在△ABC中，D是边BC上一点，且BD＝2DC，E是AC的中点，记eq\o(AC,\s\up6(→))＝m，eq\o(AD,\s\up6(→))＝n，则eq\o(BE,\s\up6(→))＝()A.eq\f(5,3)n－3m B.eq\f(7,2)n－3mC.eq\f(7,2)m－3n D.eq\f(5,2)m－3n答案：D解析：eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－3eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－3(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(5,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－3eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(5,2)m－3n.故选D.平面向量的线性运算的求解策略3.在平行四边形ABCD中，点E满足eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\o(BE,\s\up6(→))＝()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→)) B．－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→)) D．－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))答案：B解析：因为四边形ABCD为平行四边形，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→)).故选B.考点三共线向量定理的应用(多考向探究)考向1判定向量共线、三点共线(2026·四川绵阳模拟)已知平面向量a，b不共线，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4a＋6b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋3b，则()A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线答案：D解析：对于A，因为eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－a＋3b＋a＋3b＝6b，所以不存在实数λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，所以A，B，D三点不共线，故A不正确；对于B，因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝4a＋6b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，所以不存在实数λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，所以A，B，C三点不共线，故B不正确；对于C，因为eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋3b，所以不存在实数λ，使得eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))，所以B，C，D三点不共线，故C不正确；对于D，因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝4a＋6b－a＋3b＝3a＋9b＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，即eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，又线段AC与CD有公共点C，所以A，C，D三点共线，故D正确．故选D.判定向量共线、三点共线的方法4.已知P是△ABC所在平面内的一点，若eq\o(CB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，其中λ∈R，则点P一定在()A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上答案：B解析：由eq\o(CB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，得eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(CP,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))，则eq\o(CP,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))为共线向量，又eq\o(CP,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))有一个公共点P，所以C，P，A三点共线，即点P在AC边所在直线上．故选B.考向2利用共线向量定理求参数若a，b是两个不共线的向量，已知eq\o(MN,\s\up6(→))＝a－2b，eq\o(PN,\s\up6(→))＝2a＋kb，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝3a－b，若M，N，Q三点共线，则k＝()A．－1 B．1C.eq\f(3,2) D．2答案：B解析：由题意知，eq\o(NQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PN,\s\up6(→))＝a－(k＋1)b，因为M，N，Q三点共线，所以存在实数λ，使得eq\o(MN,\s\up6(→))＝λeq\o(NQ,\s\up6(→))，即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝λ，,－2＝－λ（k＋1），))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,k＝1.))一般通过构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．5.如图，在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(DC,\s\up6(→))，E是BD上一点，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(11,16)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，则实数λ的值为()A．3 B．4C．5 D．6答案：B解析：由eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(DC,\s\up6(→))，得eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(λ＋1,λ)eq\o(AD,\s\up6(→))，因为eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(11,16)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(11,16)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)×eq\f(λ＋1,λ)eq\o(AD,\s\up6(→))，因为E，B，D三点共线，所以eq\f(11,16)＋eq\f(λ＋1,4λ)＝1，解得λ＝4.故选B.课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号123456789难度★★★★★★★★★★考点平面向量的线性运算平面向量的线性运算平面向量的线性运算单位向量；共线向量；相等向量；相反向量平面向量的线性运算平面向量的线性运算利用共线向量定理求参数平面向量的线性运算平面向量的线性运算；零向量题号101112131415161718难度★★★★★★★★★★★★★★★★★考点平面向量的线性运算平面向量的线性运算；向量在平面几何中的应用利用共线向量定理求参数平面向量的线性运算利用共线向量定理求参数利用共线向量定理求参数共线向量；相等向量利用共线向量定理求参数平面向量加、减运算的几何意义一、单项选择题1．如图，在正六边形ABCDEF中，eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))＝()A．0 B.eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(CF,\s\up6(→))答案：A解析：因为六边形ABCDEF为正六边形，所以eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))＝0.2．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量a＋b＋c可表示为()A．2e1－3e2 B．3e1－2e2C．2e1＋3e2 D．3e1＋2e2答案：D解析：由题意，得a＝e1＋2e2，b＝e1－2e2，c＝e1＋2e2，所以a＋b＋c＝e1＋2e2＋e1－2e2＋e1＋2e2＝3e1＋2e2.3．已知四边形ABCD是平行四边形，eq\o(EC,\s\up6(→))＝2eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝2eq\o(FC,\s\up6(→))，记eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则eq\o(EF,\s\up6(→))＝()A．－eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b B．－eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b D.eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b答案：A解析：在▱ABCD中，eq\o(EC,\s\up6(→))＝2eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝2eq\o(FC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b.故选A.4．若a，b为非零向量，则“eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)”是“a，b共线”的()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件答案：B解析：eq\f(a,|a|)，eq\f(b,|b|)分别表示与a，b同方向的单位向量，eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)，则有a，b共线，而a，b共线，则eq\f(a,|a|)，eq\f(b,|b|)是相等向量或相反向量，所以“eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)”是“a，b共线”的充分不必要条件．故选B.5．设a＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))，b是一个非零向量，则下列结论不正确的是()A．a∥b B．a＋b＝aC．a＋b＝b D．|a＋b|＝|a|＋|b|答案：B解析：由题意，得a＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，且b是一个非零向量，所以a∥b成立，所以A正确；因为a＋b＝b，所以B不正确，C正确；因为|a＋b|＝|b|，|a|＋|b|＝|b|，所以|a＋b|＝|a|＋|b|，所以D正确．故选B.6．(2026·江西南昌模拟)若P为△ABC所在平面内一点，且满足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，则eq\f(S△PBC,S△ABC)＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,3)答案：D解析：因为eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))＝2(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))，所以3eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(PB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))共线，且3|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，所以eq\f(S△PBC,S△ABC)＝eq\f(1,3).故选D.7．已知D为线段AB上的任意一点，O为直线AB外一点，点A关于点O的对称点为C.若eq\o(OD,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))，则x－y的值为()A．－1 B．0C．1 D．2答案：C解析：因为点A关于点O的对称点为C，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，又eq\o(OD,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(OD,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))－yeq\o(OA,\s\up6(→))，又A，B，D三点共线，所以x－y＝1.8．在正方形ABCD中，E在CD上且有eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(ED,\s\up6(→))，AE与对角线BD交于F，则eq\o(AF,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))答案：C解析：如图，∵在正方形ABCD中，E在CD上且有eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(ED,\s\up6(→))，AE与对角线BD交于F，∴DE＝eq\f(1,3)AB，且DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，可得eq\f(EF,AF)＝eq\f(1,3)，可得AF＝eq\f(3,4)AE，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→)).故选C.二、多项选择题9．下列式子中，结果为零向量的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))C.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→)) D.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))答案：AD解析：利用向量运算，易知A，D中的式子结果为零向量．故选AD.10．如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是()A.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)) B.eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))C.eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→)) D.eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))答案：AC解析：对于A，因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，故A正确；对于B，因为eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，故B错误；对于C，因为eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，故C正确；对于D，因为eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，故D错误．故选AC.11．设M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()A．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，则M是边BC的中点B．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，则M在线段BC的延长线上C．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，则M是△ABC的重心D．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，则△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2)答案：AC解析：对于A，因为eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→))，即eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))，则M是边BC的中点，故A正确；对于B，由eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，得eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，则M在线段CB的延长线上，故B错误；对于C，设BC的中点为D，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝2eq\o(MD,\s\up6(→))，所以M是△ABC的重心，故C正确；对于D，由eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，知S△MAC＝eq\f(1,3)S△ABC，S△MAB＝eq\f(1,4)S△ABC，所以S△MBC＝eq\f(5,12)S△ABC，故D错误．故选AC.三、填空题12．(2026·广东茂名模拟)已知向量e1，e2不共线，且(2e1＋λe2)∥(3e1－2e2)，则实数λ＝________．答案：－eq\f(4,3)解析：因为向量e1，e2不共线，且(2e1＋λe2)∥(3e1－2e2)，则2e1＋λe2＝k(3e1－2e2)，即2e1＋λe2＝3ke1－2ke2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝3k，,λ＝－2k，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(4,3)，,k＝\f(2,3).))13．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，给出下列四个结论：①eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－b；②eq\o(BE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b；③eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.其中所有正确结论的序号是________．答案：②③④解析：eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－b，故①错误；eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，故②正确；eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，故③正确；eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－b＋a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＝0，故④正确．14．在△ABC中，点D在线段AC上，且满足|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)|eq\o(AC,\s\up6(→))|，Q为线段BD上任意一点，若实数x，y满足eq\o(AQ,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值为________．答案：4＋2eq\r(3)解析：由题意知，点D满足eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，故eq\o(AQ,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋3yeq\o(AD,\s\up6(→))，由Q，B，D三点共线，可得x＋3y＝1，x>0，y>0，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))(x＋3y)＝4＋eq\f(3y,x)＋eq\f(x,y)≥4＋2eq\r(3)，当且仅当eq\f(3y,x)＝eq\f(x,y)，即x＝eq\f(\r(3)－1,2)，y＝eq\f(3－\r(3),6)时，等号成立．所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值为4＋2eq\r(3).15．(2026·吉林长春质监)如图，在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，点E在BD上，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，则x＝()A．－eq\f(2,3) B．－eq\f(4,5)C．－eq\f(5,6) D．－eq\f(6,7)答案：C解析：因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，则eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝x(－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))eq\o(AB,\s\up6(→))，因为B，E，D三点共线，所以eq\f(1,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))＝1，解得x＝－eq\f(5,6).故选C.16．(多选)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半．这个定理就是著名的欧拉线定理．设△ABC中，点O，H，G分别是其外心、垂心、重心，BC边的中点为D，则下列结论中正确的是()A.eq\o(GH,\s\up6(→))＝2eq\o(OG,\s\up6(→)) B．OD∥AHC.eq\o(AH,\s\up6(→))＝3eq\o(OD,\s\up6(→)) D.eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))答案：AB解析：由题意作图，如图所示，易知BC的中点D与A，G共线．对于A，根据欧拉线定理得GH＝2OG，所以A正确；对于B，由题意，得OD⊥BC，AH⊥BC，所以OD∥AH，所以B正确；对于C，由题意，知AG＝2GD，又GH＝2OG，∠AGH＝∠DGO，所以△AGH∽△DGO，所以eq\o(AH,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))，所以C错误；对于D，向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))的模相等，方向不同，所以D错误．故选AB.17．经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝neq\o(OB,\s\up6(→))，m>0，n>0，则m＋n的最小值为________．答案：eq\f(4,3)解析：设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.由题意知eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(a＋b)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝nb－ma，eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\o(OG,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))a＋eq\f(1,3)b，由P，G，Q三点共线，得存在实数λ，使得eq\o(PQ,\s\up6(→))＝λeq\o(PG,\s\up6(→))，即nb－ma＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))a＋eq\f(1,3)λb，从而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－m＝λ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))，,n＝\f(1,3)λ，))消去λ，得eq\f(1,n)＋eq\f(1,m)＝3.于是m＋n＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(1,n)))(m＋n)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(n,m)＋\f(m,n)))≥eq\f(1,3)×(2＋2)＝eq\f(4,3)，当且仅当m＝n＝eq\f(2,3)时，m＋n取得最小值，为eq\f(4,3).18．(2026·山东青岛模拟)已知平面向量a，b满足|a|＝eq\r(3)，向量b与向量a＋b的夹角为eq\f(π,3)，则|a－b|的最大值为________．答案：eq\r(7)＋1解析：如图，设eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up6(→))＝a＋b，故BC＝eq\r(3)，∠BAC＝eq\f(π,3)，故△BAC外接圆的半径为R＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),sin\f(π,3))＝1，且点A在优弧eq\o(BC,\s\up8(︵))上运动，设△BAC外接圆的圆心为O，BC的中点为M，延长BC至D，使得CD＝BC，连接OM，OD，AD，则eq\o(CD,\s\up6(→))＝a，且OM⊥BC，eq\o(AD,\s\up6(→))＝a－b，又DM＝eq\f(3\r(3),2)，OM＝eq\r(1－\f(3,4))＝eq\f(1,2)，所以OD＝eq\r(\f(27,4)＋\f(1,4))＝eq\r(7)，所以|a－b|max＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|max＝eq\r(7)＋1，当且仅当AD过点O时，|a－b|取得最大值，此时点A在优弧eq\o(BC,\s\up8(︵))上．

第二节平面向量基本定理及坐标表示课标解读考向预测1.掌握平面向量基本定理．2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算．4.能用坐标表示平面向量共线.预计2027年高考，平面向量基本定理与坐标表示及运算仍是考查的重点，题型还是以选择题或填空题为主，难度中、低档.1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个eq\o(□,\s\up1(01))不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，eq\o(□,\s\up1(02))有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个eq\o(□,\s\up1(03))基底．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个eq\o(□,\s\up1(04))互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝eq\o(□,\s\up1(05))(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝eq\o(□,\s\up1(06))(x1－x2，y1－y2)，λa＝eq\o(□,\s\up1(07))(λx1，λy1)，|a|＝eq\o(□,\s\up1(08))eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))．(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(□,\s\up1(09))(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\o(□,\s\up1(10))eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．4．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔eq\o(□,\s\up1(11))x1y2－x2y1＝0．1．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).2．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).题组一走出误区——判一判(1)设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).()(3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．()答案：(1)√(2)×(3)√题组二回归教材——练一练(1)(人教A必修第二册6.3.4练习T1改编)已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝()A．(－2，－1) B．(－2，1)C．(－1，0) D．(－1，2)答案：D解析：∵a＝(1，1)，b＝(1，－1)，∴eq\f(1,2)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\f(3,2)b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3,2)))，∴eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(3,2)，\f(1,2)＋\f(3,2)))＝(－1，2)．故选D.(2)(人教B必修第二册6.2.4例4改编)若P1(1，3)，P2(4，0)，且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为()A．(2，2) B．(3，－1)C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1)答案：D解析：由题意可知eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝(3，－3)．若eq\o(P1P,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(P1P2,\s\up6(→))，则点P的坐标为(2，2)；若eq\o(P1P,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(P1P2,\s\up6(→))，则点P的坐标为(3，1)．故选D.(3)(人教A必修第二册6.3.4例7改编)若向量a＝(4，－3)，b＝(－1，m)，且a∥b，则m＝________．答案：eq\f(3,4)解析：由题意，得4m＝3，则m＝eq\f(3,4).(4)(人教A必修第二册6.3.3例5改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．答案：(1，5)解析：设D(x，y)，则由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝5.))故顶点D的坐标为(1，5)．(5)(人教A必修第二册6.3.1例1改编)如图，eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共线，且eq\o(AM,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)，用eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))表示eq\o(OM,\s\up6(→))，则eq\o(OM,\s\up6(→))＝________．答案：(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))解析：∵eq\o(AM,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋t(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))－teq\o(OA,\s\up6(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→)).考点一平面向量基本定理的应用(1)(2026·广东韶关模拟)如图，△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(DE,\s\up6(→))＝()A．－eq\f(1,6)a＋eq\f(1,2)b B．－eq\f(1,6)a＋eq\f(1,3)bC．－eq\f(1,3)a＋eq\f(1,2)b D．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,3)b答案：A解析：在△ABC中，因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)a，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,3)a＝－eq\f(1,6)a＋eq\f(1,2)b.故选A.(2)在平行四边形ABCD中，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→)).若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(DF,\s\up6(→))＋μeq\o(AE,\s\up6(→))，则λ＋μ＝________．答案：eq\f(4,3)解析：由题意可得eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DF,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AE,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(1,2)，μ＝eq\f(5,6)，所以λ＋μ＝eq\f(4,3).(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是：利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．(1)一个基底中的两个向量必须是同一平面内的两个不共线向量．(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．1.在△ABC中，点D满足eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，E为△BCD的重心，设eq\o(BC,\s\up6(→))＝m，eq\o(AC,\s\up6(→))＝n，则eq\o(AE,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,3)m＋eq\f(2,3)n B．－eq\f(1,3)m＋eq\f(2,3)nC．－eq\f(5,9)m＋eq\f(8,9)n D.eq\f(5,9)m＋eq\f(8,9)n答案：C解析：eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(CB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(CA,\s\up6(→))))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＝n＋eq\f(2,9)(－m)＋eq\f(1,9)(－n)＋eq\f(1,3)(－m)＝－eq\f(5,9)m＋eq\f(8,9)n.故选C.2．已知平行四边形ABCD，若P是边AD的中点，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝3eq\o(QB,\s\up6(→))，直线AC与PQ相交于点M，则eq\f(AM,AC)＝________．答案：eq\f(3,10)解析：如图所示，设eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝2a＋eq\f(4,3)b，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝b－a.设eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(PM,\s\up6(→))＝μeq\o(PQ,\s\up6(→))，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝2λa＋eq\f(4,3)λb，eq\o(PM,\s\up6(→))＝μb－μa.因为eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PM,\s\up6(→))＝a＋μb－μa＝(1－μ)a＋μb，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2λ＝1－μ，,\f(4,3)λ＝μ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(3,10)，,μ＝\f(2,5)，))所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,10)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\f(AM,AC)＝eq\f(|\o(AM,\s\up6(→))|,|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,10).考点二平面向量的坐标运算(1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(8,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(8,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(4,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3)))答案：D解析：∵a－2b＋3c＝0，∴c＝－eq\f(1,3)(a－2b)．∵a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13，4)，∴c＝－eq\f(1,3)(a－2b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3))).故选D.(2)(2025·新课标Ⅰ卷，6)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反．下表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(风速的大小和向量的大小相同，单位：m/s)，则该时刻的真风为()等级风速大小(m/s)名称21.1～3.3轻风33.4～5.4微风45.5～7.9和风58.0～10.1劲风A．轻风 B．微风C．和风 D．劲风答案：A解析：由题意及题图得，视风风速对应的向量为n＝(0，2)－(3，3)＝(－3，－1)，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反．设真风风速对应的向量为n1，船行