25.双曲线教学课件

1/125.双曲线1.（2025·全国Ⅰ卷3题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的7倍，则C的离心率为（）A.2 B.2C.7 D.22解析：D依题意得b＝7a，又c2＝a2＋b2，所以c2＝a2＋（7a）2＝8a2，即c＝22a，故e＝22.故选D.2.（2024·全国甲卷5题）已知双曲线的两个焦点分别为（0，4），（0，－4），点（－6，4）在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A.4 B.3C.2 D.2解析：C法一（方程组法）根据焦点坐标可知c＝4，根据焦点在y轴上，可设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1（a＞0，b＞0），则16a2－法二（定义法）根据双曲线的定义，得2a＝｜(-6－0）2＋（4－4）2－(-6－0）2＋（4+4）2｜＝｜6－103.（2020·全国Ⅱ卷8题）设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，A.4 B.8C.16 D.32解析：B由题意，知双曲线C的渐近线方程为y＝±bax.因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D（a，b），E（a，－b），所以S△ODE＝12×a×｜DE｜＝12×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，当且仅当a＝b＝22时，等号成立，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8，4.（2019·全国Ⅲ卷10题）已知F是双曲线C：x24－y25＝1的一个焦点，点P在C上，｜OP｜＝｜OF｜，则△OPF的面积为 （）A.32 B.C.72 D.解析：B由F是双曲线x24－y25＝1的一个焦点，知｜OF｜＝3，所以｜OP｜＝｜OF｜＝3.不妨设点P在第一象限，P（x0，y0），x0＞0，y0＞0，则x02所以S△OPF＝12｜OF｜·y0＝12×3×53＝525.（2020·全国Ⅰ卷11题）设F1，F2是双曲线C：x2－y23＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且｜OP｜＝2，则△PF1F2的面积为（A.72 B.C.52 D.解析：B设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1（－2，0），F2（2，0），又｜OP｜＝2，所以｜OP｜＝｜OF1｜＝｜OF2｜，所以△PF1F2是直角三角形，所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2＝16.不妨令点P在双曲线C的右支上，则有｜PF1｜－｜PF2｜＝2，两边平方，得｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜＝4，又｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝16，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝6，则S△PF1F2＝12｜PF1｜·｜PF2｜＝126.〔多选〕（2025·全国Ⅱ卷11题）双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且∠A.∠A1MA2＝πB.｜MA1｜＝2｜MA2｜C.C的离心率为13D.当a＝2时，四边形NA1MA2的面积为83解析：ACDA.根据双曲线和圆的对称性，知四边形A1MA2N为平行四边形，因为∠NA1M＝5π6，所以∠A1MA2＝π6，故A正确；B.法一（余弦定理）如图，在△A1MO中，｜MA1｜2＝｜A1O｜2＋｜OM｜2－2｜A1O｜｜OM｜cos∠MOA1＝a2＋c2－2accos∠MOA1＝a2＋c2＋2ac×ac＝3a2＋c2，在△A2MO中，｜MA2｜2＝a2＋c2－2accos∠MOA2＝a2＋c2－2ac×ac＝c2－a2，在△A1MA2中，｜A2A1｜2＝｜MA1｜2＋｜MA2｜2－2｜MA1｜｜MA2｜cosπ6，即4a2＝2c2＋2a2－23a2＋c2×c2－a2×32，则13a2＝c2，所以｜MA1｜2＝16a2，｜MA2｜2＝法二（几何法）设M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则x02＋y02＝c2，又y0＝bax0，a2＋b2＝c2，联立可得x0＝a，y0＝b，所以M（a，b），所以MA2⊥x轴，在Rt△A1A2M中，因为∠A1MA2＝π6，所以｜MA2｜｜MA1｜＝cosπ6＝32≠12，故B错误；C.根据13a2＝c2，得e＝13，故C正确；D.当a＝2时，｜MA1｜＝42，｜MA2｜＝26，所以四边形NA1MA2的面积为｜MA1｜｜MA27.（2021·新高考Ⅱ卷13题）已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0），离心率e＝2解析：ba＝c2－a2故双曲线C的渐近线方程为：y＝±3x.答案：y＝±3x8.（2024·新高考Ⅰ卷12题）设双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若｜F1A｜＝13，｜AB｜＝10答案：3解析：法一如图，由题意得｜AB｜＝10，｜AF2｜＝5，又AB∥y轴，故∠AF2F1＝90°，由｜AF1｜＝13，得｜F1F2｜＝12，故c＝6，由双曲线的定义知，｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，得2a＝8，a＝4，故e＝ca＝3法二由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入x2a2－y2b2＝1，得y＝±b2a，即A（c，b2a），B（c，－b2a），故｜AB｜＝2b2a＝10，｜AF2｜＝b2a＝5，又｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，得｜AF1｜＝｜AF2｜＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入b2a＝5得b2＝20，故c2＝a2＋9.（2023·新高考Ⅰ卷16题）已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B答案：3解析：法一设A（x1，y1），B（0，y0）.由题意知F1（－c，0），F2（c，0）.由F2A＝－23F2B，得（x1－c，y1）＝－23（－c，y0）.整理，得x1＝53c，y1＝－23y0，所以A（53c，－23y0）.因为F1A⊥F1B，所以F1A·F1B＝0，即（53c＋c，－23y0）·（c，y0）＝0，所以83c2－23y02＝0，解得y0＝±2c，所以A（53c，±43c）.因为点A在双曲线C上，所以25c29a2－16c29b2＝1，即25c29a2－16法二由F2A＝－23F2B可得A，B，F2三点共线，且F2在线段AB上，不妨令点A在第一象限，则点B在y轴负半轴上，易得｜F2A｜＝23｜F2B｜.设｜F2B｜＝3m（m＞0），则｜F2A｜＝2m，所以｜F1B｜＝｜F2B｜＝3m，｜AB｜＝5m，由F1A⊥F1B可得∠AF1B＝90°，所以｜AF