第2节　二项式定理

第2节二项式定理课标要求1.

能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.

会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测0301PART夯实必备知识

知识梳理

1.

二项式定理二项式定理（a＋b）n＝

⁠

（n∈N*）二项展开式的通项Tk＋1＝

，它表示展开式的第

⁠

项二项式系数

（k＝0，1，…，n）

k＋1

提醒：（1）项数为n＋1；（2）各项的次数和都等于二项式的幂指数n，

即a与b的指数的和为n；（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数

由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1

直到n.2.

二项式系数的性质提醒：注意二项式系数之和与展开式中各项系数之和的区别.

若二项展开式的通项为Tr＋1＝g（r）·xh（r）（r＝0，1，2，…，

n），g（r）≠0，则：（1）h（r）＝0⇔Tr＋1是常数项；（2）h（r）是非负整数⇔Tr＋1是整式项；（3）h（r）是负整数⇔Tr＋1是分式项；（4）h（r）是整数⇔Tr＋1是有理项.

诊断自测

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（2）二项展开式中系数的最大项为中间一项或中间两项.

（

×

）（3）二项展开式项的系数是先增后减的.

（

×

）（4）（a＋b）n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与

该项的二项式系数不同.

（

√

）×××√2.

（1－2x）4展开式中第3项的二项式系数为（

）A.6B.

－6C.24D.

－24√

A.45B.20C.

－30D.

－90√

4.

〔一题多解〕（2026·四川德阳模拟）若（2x－1）4＝a4x4＋a3x3＋a2x2

＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝（

）A.40B.41C.

－40D.

－41√

20

02PART研透核心考点二项式中的特定项及系数（基础自学过关）

A.160B.

－160C.80D.

－80√

A.1B.2C.

±1D.

±2√

A.27B.24C.26D.25√

A.

n＝10B.

展开式中的常数项为45C.

含x5的项的系数为210D.

展开式中的有理项有5项√√√

求二项展开式中特定项的步骤二项式系数的性质与各项系数的和（定向精析突破）考向1

二项展开式中的系数和问题

在二项式（2x－3y）9的展开式中，求：（1）二项式系数之和；解：设（2x－3y）9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.

（2）各项系数之和；解：各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝（2－3）9＝－1.（3）所有奇数项系数之和；

（4）系数绝对值之和.解：｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a9｜＝a0－a1＋a2－…－a9，由

（3）知｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a9｜＝59.

赋值法的应用（1）对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，

n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可；（2）对（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数

之和，只需令x＝y＝1即可；

考向2

二项式系数的最值问题

A.

常数项为160B.

第4项的二项式系数最大C.

第3项的系数最大D.

所有项的系数和为64BC

A.3B.5C.7D.9B

A.

－1B.0C.1D.2

B

A.

－126B.

－70C.

－56D.

－28C

（3）〔多选〕已知（1－2x）2

027＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2

026x2

026＋a2

027x2

027，则（

BCD

）A.

展开式中二项式系数和为1B.

展开式中所有项的系数和为－1D.

a1＋2a2＋3a3＋…＋2

026a2

026＋2

027a2

027＝－4

054BCD

多项式展开式中特定项（系数）问题（定向精析突破）考向1

几个多项式和的展开式中特定项（系数）问题

〔一题多解〕在1＋（1＋x）＋（1＋x）2＋（1＋x）3＋（1＋x）4＋

（1＋x）5＋（1＋x）6的展开式中，含x3项的系数是（

C

）A.25B.30C.35D.40

C

对于几个二项式和的展开式中的特定项（系数）问题，只需依据二项

展开式的通项，从每一个二项式中分别得到特定的项，再求和即可.也可

以先对二项式求和，化简后再依据通项公式确定特定项（系数）.考向2

几个多项式积的展开式中特定项（系数）问题

A.

－3B.

－2C.2D.3D

±2

对于几个多项式积的展开式中的特定项（系数）问题，一般都可以根

据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，

以免重复或遗漏.考向3

三项式展开式中特定项（系数）问题

（1）〔一题多解〕（2026·广西桂林模拟）在（x2＋2x＋y）5的展开

式中，x5y2的系数为（

A

）A.60B.30C.15D.12

A

（a＋b＋c）n展开式中特定项的求解方法

A.5B.10C.15D.20

C（2）在（x－2y＋3z）6的展开式中，xy2z3项的系数为（

A

）A.6

480B.2

160C.60D.

－2

160A

（3）（2026·辽宁大连八中高三段考）已知多项式（x－1）3＋（x＋1）4

＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝

；a2＋a3＋a4＝

⁠.

5

10

杨辉三角〔人A选三P39数学探究〕杨辉三角的性质：

“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早

在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.“杨

辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发了一批又一批数学爱好者

的探究欲望.如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（

）B.

第2

027行中从左往右第1

014个数与第1

015个数相等D.

第20行中第8个数与第9个数之比为8∶15√

03PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：79分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

A.6B.

－6C.12D.

－12123456789101112131415√

2.

已知（1＋2x）n（n∈N*）的展开式中第4项与第6项的二项式系数相

等，则（1＋2x）n的展开式的各项系数和为（

）A.38B.310C.28D.210√

1234567891011121314153.

（2x－3）（x－1）5的展开式中x3的系数为（

）A.

－50B.

－10C.10D.50√

123456789101112131415

A.3B.5C.6D.7√123456789101112131415

1234567891011121314155.

〔多选〕（2025·浙江温州二模）已知二项展开式（1－x）2

025＝a0＋

a1x＋a2x2＋…＋a2

025x2

025，则（

）A.

a0＝1B.

a1＋a2＋…＋a2

025＝0C.

a1＋a2

024＝0D.

a0＋a2＋a4＋…＋a2

024＝22

024√√√123456789101112131415

123456789101112131415

A.

n＝8B.

展开式中所有奇数项的二项式系数和为128D.

展开式中系数最大项为第3项和第4项√√√123456789101112131415

123456789101112131415

1234567891011121314157.

在（1＋x）3＋（1＋x）4＋（1＋x）5的展开式中，含x2的项的系数

为

⁠.

19

123456789101112131415

31

1234567891011121314159.5050＋9被7除的余数为

⁠.

3

123456789101112131415

10.

（x＋y－2z）5的展开式中，xy2z2的系数是（

）A.120B.

－120C.60D.30√

123456789101112131415

A.

第4项B.

第5项C.

第6项D.

第3项√123456789101112131415

12345678910111213141512.

〔多选〕若（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）n＝a0＋a1x＋a2x2

＋…＋anxn，且a1＋a2＋…＋an－1＝125－n，则下列结论正确的是

（

）A.

n＝6B.

a1＝21C.

（1＋2x）n展开式中二项式系数和为729D.

a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝321√√√123456789101112131415

12345678910111213141513.

（2023·上海高考10题）已知（1＋2

023x）100＋（2

023－x）100＝a0

＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，其中a0，a1，a2，…，a100∈R，若

0≤k≤100，且k∈N，当ak＜0时，k的最大值为

⁠.

49

12345678910111213141514.

“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就.在如图所示的“杨辉三角”

中，去掉所有的数字1，余下的数逐行从左到右排列，得到数列{an}为2，

3，3，4，6，4，5，10，…，则数列{an}的前10项和为

；若am＝

10，m∈N*，则m的最大值为

⁠.52

45

123456789101112131415

123456789101112131415

15.

〔创新定义〕〔多选〕（2026·广东深圳模拟）对于n∈N*，将n表示

为n＝a0·30＋a1·31＋a2·32＋…＋ak·3k.其中ai∈{－1，0，1}（i＝0，1，

2，…，k），ak≠0.记I（n）为上述表示中ai为0的个数