第3节　一元线性回归模型及应用

第3节一元线性回归模型及应用课标要求1.

了解样本相关系数的统计含义，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性.2.

了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.3.

针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测0301PART夯实必备知识

知识梳理

1.

变量的相关关系（1）相关关系：若两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去

精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系；（2）相关关系的分类：①从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个

变量的相应值也呈现增加的趋势，就称这两个变量

⁠；②当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势，则称这

两个变量

⁠.正相关

负相关

（3）线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而

且散点落在

附近，就称这两个变量线性相关.提醒：注意相关关系与函数关系的区别：函数关系是一种确定的关系，而

相关关系是一种非确定的关系.一条直线

2.

样本相关系数对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为（x1，y1），

（x2，y2），…，（xn，yn），若x与y存在线性相关关系，可用样本相关

系数r定量分析它们的相关程度的强弱.

①当r＞0时，称成对样本数据

相关；当r＜0时，称成对样本数

据

相关；当r＝0时，称成对样本数据间没有线性相关关系；②样本相关系数r的取值范围为

.当｜r｜越接近1时，成对样

本数据的线性相关程度越

；当｜r｜越接近0时，成对样本数据的线

性相关程度越

⁠.正

负

[－1，1]

强

弱

（2）样本相关系数r的性质

4.

判断回归模型的拟合效果

（1）残差分析法②残差分析：（ⅰ）定型分析：残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，

说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精

度越高，经验回归方程的预报精度越高.（ⅱ）定量分析：利用残差平方

和，残差平方和越小，模型的拟合效果越好.①作残差图：作图时纵坐标为

，横坐标可以选为样本编号，或xi

数据，或yi数据，这样作出的图形称为残差图；残差

诊断自测

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关

关系.

（

√

）（2）散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段.

（

√

）

（4）样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越

强.

（

√

）√√×√2.

（2025·江西上饶一模）两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，

③不相关，则下列散点图从左到右反映的变量间的相关关系分别是

（

）A.

①②③B.

②③①C.

②①③D.

①③②√解析：

第一个散点图中的点是从左下角区域分布到右上角区域，则是

正相关；第三个散点图中的点是从左上角区域分布到右下角区域，则是负

相关；第二个散点图中的点的分布没有什么规律，则是不相关，所以应该

是①③②.3.

对于x，y两变量，有四组成对样本数据，分别算出它们的样本相关系

数r如下，则线性相关性最强的是（

）A.

－0.82B.0.78C.

－0.69D.

－0.87√解析：

由样本相关系数的绝对值越大，变量间的线性相关性越强知，

各选项中r＝－0.87的绝对值最大.

A.

－1B.0D.1√

x0134y2.24.34.86.7

2.602PART研透核心考点成对数据的相关性（基础自学过关）

A.

x与y正相关，x与z负相关B.

x与y正相关，x与z正相关C.

x与y负相关，x与z负相关D.

x与y负相关，x与z正相关√

2.

对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的

比较，正确的是（

）A.

r4＜r2＜0＜r1＜r3B.

r2＜r4＜0＜r3＜r1C.

r2＜r4＜0＜r1＜r3D.

r4＜r2＜0＜r3＜r1√解析：

由散点图可知，样本相关系数r2，r4所在散点图的两个变量呈负

相关，r1，r3所在散点图的两个变量呈正相关，所以r1，r3都为正数，r2，

r4都为负数.r1，r2所在散点图点的分布近似在一条直线上，线性相关性比

较强，样本相关系数的绝对值接近1，而r3，r4所在散点图点的分布比较分

散，线性相关性比较弱，则r2＜r4，r1＞r3，综上所得，r2＜r4＜0＜r3＜

r1.3.

某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区

某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截

面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：样本号i12345678910总

和根部横截面积xi0.040.0

60.0

40.0

80.0

80.0

50.0

50.0

70.0

70.0

60.6材积量yi0.250.4

00.2

20.5

40.5

10.3

40.3

60.4

60.4

20.4

03.9

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确

到0.01）；

样本相关系数r的统计含义及应用（1）由r的正、负可判断成对样本数据中两相关变量是正相关还是负

相关；（2）可根据｜r｜的大小从量的角度判断成对样本数据是否具有线性相关

性，进而可知能否用经验回归方程进行分析和预测；（3）当｜r｜≤0.25时，即便求得了经验回归方程也没有任何统计意义.回归模型（定向精析突破）考向1

一元线性回归模型

某饮料店为了推广“秋天的第一杯奶茶”，需了解一天的平均气温与

奶茶销量之间的关系，为此记录了周一至周五的平均气温x（℃）与奶茶

销量y（杯）的数据，如表所示：x91112108y2326302521（1）画出散点图；解：

画出散点图如下.

（3）试根据（2）中求出的经验回归方程，预测平均气温约为20

℃时该饮

料店的奶茶销量.

一元线性回归分析问题的解题步骤（1）求经验回归方程①根据散点图判断两变量是否线性相关（已知相关时不必再验证）；

（2）利用经验回归方程进行预测，把经验回归方程看作一次函数，求函

数值作为预测值.考向2

非线性回归分析

（2026·浙江温州模拟）红旗淀粉厂2025年之前只生产食品淀粉，下表

为年投入资金x（万元）与年收益y（万元）的8组数据：x1020304050607080y12.816.51920.921.521.92325.4

②1612920

400109603③ln

2≈0.7，ln

5≈1.6.（1）用y＝bln

x＋a模拟生产食品淀粉年收益y与年投入资金x的关系，

求出回归方程；

（2）为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一

种药用淀粉，预计其收益为投入的10％.2025年该企业计划投入200万元用

于生产两种淀粉，求年收益的最大值.（精确到0.1万元）

有些非线性回归分析问题并不给出经验公式，这时我们可以画出已知

数据的散点图，把它与学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数

等）的图象进行比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，用适当的

变量进行变换，如通过换元或取对数等方法，把问题化为线性回归分析问

题，使之得到解决.

2066770200144604.203

125

0000.30821

500（1）设{ui}和{yi}的相关系数为r1，{xi}和{vi}的相关系数为r2，请从相

关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；

则从相关系数的角度，选择模型②y＝eλx＋t的拟合程度会更好.（2）（ⅰ）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数

精确到0.01）；（ⅱ）若下一年销售额y需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量x是

多少亿元？（结果精确到0.01）

刻画拟合效果（师生共研过关）

假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组

数据如下：x15.025.830.036.644.4y39.442.942.943.149.2

（1）计算各组残差，并计算残差平方和（系数精确到0.01）；

（2）求R2，并说明回归模型拟合效果的好坏.

刻画拟合效果的三种方法（1）残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模

型比较合适；

训练2

（1）有一散点图如图所示，在5个数据（x，y）中去掉D（3，

10）后，下列说法正确的是（

）A.

残差平方和变小B.

样本相关系数r变小C.

决定系数R2变小D.

解释变量x与响应变量y的相关性变弱√解析：

从散点图可分析出，若去掉D点，则解释变量x与响应变量y的

线性相关性变强，且是正相关，所以样本相关系数r变大，决定系数R2变

大，残差平方和变小，故选A.

（2）某汽车研发公司的工程师为了解一款新型汽车在不同行驶速度x

（km/h）下油耗y（L/100

km）的变化规律，进行了相关实验，记录不同

速度下的油耗数据的散点图如图所示：

①根据散点图求y关于x的经验回归方程（精确到0.01）；②根据经验回归方程，绘制残差图，并分析经验回归方程的拟合效果（若

残差的平方和小于0.775，则说明拟合效果良好，否则拟合效果较差）.

②结合①，计算得残差如下表：行驶速度60708090100110油耗实际值7.56.86.25.75.45油耗估计值7.356.856.355.855.354.85残差0.15－0.05－0.15－0.150.050.15

03PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：96分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

1.

（2026·湖北武昌质量检测）下列说法不正确的是（

）A.

具有相关关系的两个变量不是函数关系C.

样本相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强D.

在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的

拟合效果越好123456789101112131415√

1234567891011121314152.

根据如表样本数据：x23456y42.5－0.5－2－3

√

1234567891011121314153.

甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两个变量的线性相关性做试验，

并用回归分析方法分别求得样本相关系数r与残差平方和m，如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103则哪位同学的试验结果体现A，B两个变量有更强的线性相关性（

）A.

甲B.

乙C.

丙D.

丁√解析：

r的绝对值越接近1，m越小，线性相关性越强.123456789101112131415

√

1234567891011121314155.

（2026·河北“五个一”联盟联考）某医院为了提高服务水平和病人满

意度，对一周前出院的病人进行电话回访，主要涉及住院期间护士的服务

态度、医生是否收取红包、对医院有什么建议等问题.某天上午回访的5人

中，通话时间（单位：秒）如表所示：序号x12345时间y376521m32

A.45B.25C.37D.7√123456789101112131415

1234567891011121314156.

〔多选〕某公司过去五个月的广告费支出x（万元）与销售额y（万

元）之间有下列对应数据：x24568y▲40605070

A.

销售额y与广告费支出x正相关B.

丢失的数据（表中▲处）为30C.

该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元D.

若该公司下月广告费支出为8万元，则预测销售额约为69.5万元√√√123456789101112131415

123456789101112131415

0.06

1234567891011121314158.

下表是关于某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y

（单位：万元）的统计表.x23456y3.44.25.15.56.8

10

123456789101112131415

1234567891011121314159.

（13分）为实施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省

城请来专家进行技术指导，根据统计，该田园综合体西红柿亩产量的增加

量y（千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据如下：x（千克）24568y（千克）300400400400500（1）由上表数据可知，可用经验回归模型拟合y与x的关系，请计算样本

相关系数r并加以说明（若｜r｜＞0.75，则线性相关程度很高，可用经验

回归模型拟合）；123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

x1234ye2e3e5e6

A.6B.7C.8D.9√123456789101112131415

12345678910111213141511.

〔一题多解〕在研究性学习活动中，某位学生收集了两个变量x与y之

间的几组数据如下表：x1234y0235