第8节　余弦定理和正弦定理的综合应用

第8节余弦定理和正弦定理的综合应用重难解读

正弦定理和余弦定理的综合应用是高考命题的热点，主要包括与三角形有关的证明问题、平面图形中的计算问题及三角形中的三线问题等.与三角形有关的证明问题（师生共研过关）

〔一题多解〕（2022·全国乙卷17题节选）记△ABC的内角A，B，C

的对边分别为a，b，c，已知sin

C

sin（A－B）＝sin

B

sin（C－A）.

证明：2a2＝b2＋c2.

法二

因为A＋B＋C＝π，所以sin

C

sin（A－B）＝sin（A＋B）sin（A－B）＝sin2A

cos2B－

cos2A

sin2B＝sin2A（1－sin2B）－（1－sin2A）sin2B＝sin2A－sin

2B，同理有sin

B

sin（C－A）＝sin（C＋A）sin（C－A）＝sin2C－sin

2A，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.

证明与三角形有关的等（不等）式的一般思路（1）利用正、余弦定理完成边角转化：把已知条件或待证等（不等）式

转化为以角为研究对象的三角等（不等）式或以边为研究对象的代数等

（不等）式；（2）充分利用三角形中隐含条件：①A＋B＋C＝π；②A＞B⇔sin

A＞

sin

B；③a－b＜c＜a＋b及三角函数的性质、三角恒等变换公式等推导

证明.训练1

（2026·安徽质量联合检测）在△ABC中，A，B，C所对的边分别

是a，b，c.（1）请用正弦定理证明：若a＞b，则A＞B；

（2）请用余弦定理证明：若A＞B，则a＞b.

平面图形中的计算问题（师生共研过关）

（1）求B的大小；

利用正、余弦定理解决平面多边形问题的策略（1）将所给平面多边形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用

正、余弦定理建立边角关系进行求解；（2）注意各个三角形之间的联系，特别是公共边、邻角之间的等量关

系，交叉使用公共条件进行求解；（3）注意三角形相似、平行四边形性质等几何结论的应用；（4）注意方程思想的灵活运用，通过设出未知变量，建立方程进行求解.训练2如图，△ABC是边长为3的等边三角形，线段AE交BC于点D，BD＝1.（1）求sin∠ADB；

（2）若AD＝3DE，求BE的长.

三角形中的中线、角平分线、高线问题（定向精析突破）

（1）（2026·四川南充诊断）在△ABC中，内角A，B，C的对边分

别为a，b，c，已知b＝2，c＝4，∠BAC的平分线交边BC于点D，且

AD＝2，则cos∠BAC＝

⁠；

（2）在△ABC中，A＝2B，AC＝9，BC＝12，CD平分∠ACB交AB于

点D，则BD的长度为

⁠.

4

角平分线是平面几何的一个重要特征，解题方法主要有两种：一是利

用角平分线定理，找边之间的关系；二是角平分线把三角形分成两个三角

形，利用等面积法求解.

证明：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.法一

在△ABD与△ABC中利用公共角B，

法二

在△ABD与△ACD中，利用∠ADB与∠ADC互补.

①

②

4

所以6x2＋18－c2＝0.

②

三角形的中线问题的解题策略（1）可根据两角互补或面积相等用正、余弦定理建立方程求解；

（3）利用中线长定理求解.考向3

三角形的高线问题

6

利用三角形高线解三角形的一般思路（1）构建直角三角形；

（3）三角形三条高线交于一点（此点为该三角形的垂心）；（4）求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边

长度.训练3

（2025·山东青岛二中期中）已知△ABC的三个内角A，B，C所对

的边分别是a，b，c，若2b

sin

A＋b

sin

B＝c

sin

2B.

（1）求角C；

（2）若点D在边AB上，b＝2，CD＝1，请在下列三个条件中任选一个，

求边长AB.

①CD为△ABC的一条中线；②CD为△ABC的一条角平分线；③CD为

△ABC的一条高线.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

张角定理

（1）〔一题多解〕已知AD是△ABC的角平分线，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，则AD的长为

⁠；

课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：76分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

1234567891.

在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AH为△ABC的高

线，则AH＝（

）√

A.1B.2√C.3D.4

123456789

A.1√C.2D.3

1234567894.

（2026·山东聊城模拟）如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，

B＝2D＝120°，记△ABC与△ACD的面积分别为S1，S2，则S2－S1＝

（

）A.2C.1√123456789

123456789

A.

AB＝8C.

AB＝6√√√123456789

1234567896.

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝120°，b2＋c2

＝8，D为BC边的中点，则AD的最小值为

⁠.

1

123456789

7.

（15分）（2026·江苏宿迁模拟）记△ABC的内角A，B，C所对的边分

别为a，b，c，面积为S，且S＝a2sin

2B.

（1）证明：tan

B＝3tan

A；123456789（2）若A＝45°，BC边上的高为6，求b.

123456789

123456789（2）若BC边上的中线长为1，点D在BC上，且AD为∠BAC的平分线，

求CD的长.

123456789

12345