第10节　三角函数、解三角形中的最值（范围）问题

第10节三角函数、解三角形中的最值（范围）问题重难解读

三角函数、解三角形中的最值（范围）问题是高考的热点，主要涉及两类：一是三角函数式中的最值（范围）问题；二是三角形中的最值（范围）问题，其求解方法多样，常用的方法有：利用三角函数的性质求最值（范围）；利用基本不等式求最值（范围）；转化为其他函数求最值（范围）等.三角函数式中的最值（范围）问题（师生共研过关）

A

x0f'（x）0＋0－f（x）单调递增极大值单调递减

（1）数形结合法：借助解析几何中直线的斜率模型，其关键是将所给函

数值看作是两点连线的斜率，其中一个是定点，另一个是在一条已知曲线

上的动点，然后通过解析法求出斜率的最大值和最小值，就是所求函数的

最值；

6

三角形中的最值（范围）问题（定向精析突破）考向1

利用三角函数的性质求最值（范围）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos

2A＋

cos

2B－cos

2C＝1－2sin

A

sin

B.

（1）求角C的大小；

（2）求sin

A＋sin

B＋sin

C的取值范围.

先利用正弦定理化角为边，再利用三角形内角和定理和辅助角公

式，将目标函数转化为只含一个角的三角函数，最后利用三角函数的

性质求解.考向2

利用基本不等式求最值（范围）

（1）求cos

A的值；

（2）若b＋c＝1，求a的取值范围.

求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正

弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a＋b，ab，a2＋b2之间的等

量关系与不等关系，然后利用基本不等式求解.考向3

转化为其他函数求最值（范围）

（2026·福建福州开学考试）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边

分别为a，b，c，ab＝2a

cos

C＋2c

cos

A.

（1）求a；解：

因为ab＝2a

cos

C＋2c

cos

A，由正弦定理得a

sin

B＝2sin

A

cos

C＋2sin

C

cos

A＝2sin（A＋C），又因为A＋C＝π－B，可得sin（A＋C）＝sin

B，所以a

sin

B＝2sin

B，因为B∈（0，π），可得sin

B＞0，所以a＝2.（2）若tan

B＋tan

C＝2，求△ABC面积的取值范围.

利用换元法构造关于新元且熟知的函数（如一次函数，二次函数，指

数函数，对数函数等），在新元所在的区间内求最值（范围），有时也可

利用导数求最值（范围）.

（2）若△ABC的外接圆直径为1，试求△ABC周长的取值范围.

课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：71分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

A.1B.2123456789√

2.

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝c－

1，b＝c＋1，若△ABC为钝角三角形，则c的取值范围为（

）A.

（2，4）B.

（1，3）C.

（0，3）D.

（3，4）√

123456789

A.8

kmB.10

kmC.12

kmD.15

km√123456789

123456789

C.

AM＝3√√√

123456789

123456789

－

123456789

6

4

123456789

123456789

123456789

123456789

123456789

因为sin

C≠0，所以tan

A＝1，

123456789

123456789

又b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时“＝”成立，

123456789

123456789sin

A＝sin（B＋C）＝sin

B

cos

C＋cos

B

sin

C，代入上式可得sin

C

cos

B＝sin

B

cos

C＋sin

B，即sin

C

cos

B－sin

B

cos

C＝sin

B，sin（C－B）＝sin

B，则有C－B＝B，C＝2B，或C－B＋B＝π（舍去），故△ABC是倍角三角