微专题　概率中的数列特征-马尔科夫链

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微专题概率中的数列特征——马尔科夫链

概率中的数列特征——马尔科夫链是一种具有“无后效性”的随机过

程，即未来状态的概率仅依赖于当前状态，与“更早期的历史状态”无

关.这一特性使其在模拟随机演化系统（如天气变化、股票波动、自然语

言生成等）中具有广泛应用，其关键性质为：若P（Xn＋1＝j｜Xn＝i，Xn

－1＝in－1，…，X0＝i0）＝P（Xn＋1＝j｜Xn＝i）＝Pij，即未来状态Xn＋1

只受当前状态Xn的影响，与之前的Xn－1，Xn－2，…，X0无关.

连续两项递推特征

连续三项递推特征

（2025·山东临沂三模）在这个科技飞速发展的时代，机器人和AI已应

用到国防军事方面，在2024年的珠海航展上，中国“机器狗”升级成“机

器狼”闪耀亮相，具备侦察、战斗和综合保障等功能，展现中国四足机器

人技术进步，引发国内外关注.升级后的“机器狼”相比之前的“机器

狗”有一特殊之处，无论是在平地上还是台阶上，“机器狼”的行进速度

都相当之快，动作灵敏.为了展示“机器狼”上台阶的性能，在一个有n步

的台阶上，假设“机器狼”每次只能上一步或两步台阶，且每次上一步或

两步台阶是随机的.记每次上一步台阶的概率为p（0＜p＜1），上两步台

阶的概率为1－p，且每次上一步台阶用时0.2

s，上两步台阶用时0.3

s.（1）假设n＝4，“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒？解：

“机器狼”上完4步台阶的走法有：当4＝2＋2时，用时0.3＋0.3＝0.6（s）；当4＝1＋1＋2时，用时0.2＋0.2＋0.3＝0.7（s）；当4＝1＋1＋1＋1时，用时0.2＋0.2＋0.2＋0.2＝0.8（s）；所以“机器狼”上完这个台阶用时最少为0.6秒.

连续三项递推特征一般为an＋1＝pan＋q（pq≠0），通常变形构造等

比数列求解.

（2026·广东广州模拟）n（n∈N*，n≥3）个人相互传球，传球规则如

下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另

外的n－1个人中的任何一个.第一次传球由甲手中传出，第k（k∈N*）次

传球后，球在甲手中的概率记为An（k），球在乙手中的概率记为Bn

（k）.（1）求A5（2），B5（

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