2025-2026年浙江省苏教版七年级数学第5章一元二次方程练习题及解析

2025-2026年浙江省苏教版七年级数学第5章一元二次方程练习题及解析一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在下列方程中，属于一元二次方程的是（）A.3x+2y=5B.x²-4x+1=0C.2x³-x+1=0D.1/x²-2x+3=0解析：一元二次方程的定义是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。选项A是二元一次方程，选项C的最高次数为3，选项D含有分式，均不符合定义。选项B符合一元二次方程的所有条件，故正确。2.若方程x²-mx+9=0的一个根是3，则m的值是（）A.2B.4C.6D.8解析：根据一元二次方程的根的定义，若3是方程的根，则代入方程得3²-3m+9=0，即9-3m+9=0，解得m=6，故正确。3.用配方法解方程x²-6x+5=0，下列变形正确的是（）A.x²-6x=-5B.(x-3)²=4C.x²-6x+9=4D.(x+3)²=14解析：配方法的步骤是将方程变形为(x+a)²=b的形式。原方程x²-6x+5=0移项得x²-6x=-5，再在左边加上(6/2)²=9，得x²-6x+9=4，即(x-3)²=4，故正确。4.方程(x-1)(x+2)=3的解是（）A.x=1或x=-2B.x=4或x=-1C.x=1或x=-5D.x=4或x=-5解析：先将方程展开得x²+x-2=3，移项得x²+x-5=0，解得x=(-1±√21)/2，约等于4或-5，故正确。5.若方程x²+px+q=0的两个根分别是2和-3，则p、q的值分别是（）A.p=-1，q=-6B.p=1，q=-6C.p=-1，q=6D.p=1，q=6解析：根据根与系数的关系，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q。已知两个根为2和-3，则2+(-3)=-p，解得p=1；2×(-3)=q，解得q=-6，故正确。6.下列方程中，有实数根的是（）A.x²+4=0B.x²-2x+3=0C.x²+x+1=0D.x²-4x+4=0解析：判断一元二次方程是否有实数根，需计算判别式△=b²-4ac。选项A中△=0-16=-16<0，无实数根；选项B中△=4-12=-8<0，无实数根；选项C中△=1-4=-3<0，无实数根；选项D中△=16-16=0，有实数根，故正确。7.若方程x²-kx+9=0的判别式△=0，则k的值是（）A.3B.6C.9D.12解析：根据判别式的定义，△=b²-4ac。已知a=1，c=9，b=-k，代入得△=k²-36。若△=0，则k²-36=0，解得k=±6，故正确。8.方程(x+1)²=4的解是（）A.x=1或x=-3B.x=3或x=-5C.x=3或x=-1D.x=5或x=-3解析：直接开平方法解方程。将方程(x+1)²=4两边开平方得x+1=±2，解得x=1或x=-3，故正确。9.若方程x²-mx+1=0的两个根的平方和为10，则m的值是（）A.2B.-2C.3D.-3解析：设方程的两个根为x₁和x₂，根据根与系数的关系，x₁+x₂=m，x₁x₂=1。已知x₁²+x₂²=10，利用平方和公式得(x₁+x₂)²-2x₁x₂=10，即m²-2=10，解得m²=12，m=±2√3，但选项中无此答案，故需重新检查计算。实际计算中，若x₁+x₂=m，x₁x₂=1，则x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=m²-2，已知x₁²+x₂²=10，则m²-2=10，解得m²=12，m=±2√3，但选项中无此答案，故需确认题目或选项是否有误。若题目允许近似值，则m≈±3.46，但选项中无此答案，故可能题目有误。10.若方程x²-px+q=0的两个根的差的平方是4，则p、q的关系是（）A.p²-4q=4B.p²-4q=-4C.p²+4q=4D.p²+4q=-4解析：设方程的两个根为x₁和x₂，根据根与系数的关系，x₁+x₂=p，x₁x₂=q。已知(x₁-x₂)²=4，展开得(x₁+x₂)²-4x₁x₂=4，即p²-4q=4，故正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.方程x²-5x+6=0的解是________。参考答案：x=2或x=3解析：因式分解法解方程。将方程x²-5x+6=0分解为(x-2)(x-3)=0，解得x=2或x=3。2.若方程x²-mx+1=0的一个根是1，则m的值是________。参考答案：2解析：根据一元二次方程的根的定义，若1是方程的根，则代入方程得1²-m×1+1=0，即1-m+1=0，解得m=2。3.方程(x-1)²=9的解是________。参考答案：x=4或x=-2解析：直接开平方法解方程。将方程(x-1)²=9两边开平方得x-1=±3，解得x=4或x=-2。4.若方程x²+px+q=0的两个根分别是2和-3，则p+q的值是________。参考答案：-1解析：根据根与系数的关系，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q。已知两个根为2和-3，则2+(-3)=-p，解得p=1；2×(-3)=q，解得q=-6。故p+q=1+(-6)=-5，但选项中无此答案，故需确认题目或选项是否有误。若题目允许近似值，则p+q≈-5，但选项中无此答案，故可能题目有误。5.方程x²-4x+4=0的判别式△是________。参考答案：0解析：根据判别式的定义，△=b²-4ac。已知a=1，b=-4，c=4，代入得△=(-4)²-4×1×4=16-16=0。6.若方程x²-mx+9=0的判别式△=0，则m的值是________。参考答案：±6解析：根据判别式的定义，△=b²-4ac。已知a=1，c=9，b=-m，代入得△=m²-36。若△=0，则m²-36=0，解得m=±6。7.方程x²-3x=0的解是________。参考答案：x=0或x=3解析：提公因式法解方程。将方程x²-3x=0分解为x(x-3)=0，解得x=0或x=3。8.若方程x²+px+q=0的两个根的平方和是10，且p=3，则q的值是________。参考答案：2解析：设方程的两个根为x₁和x₂，根据根与系数的关系，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q。已知x₁²+x₂²=10，利用平方和公式得(x₁+x₂)²-2x₁x₂=10，即p²-2q=10。已知p=3，代入得3²-2q=10，解得q=2。9.方程(x+2)²=1的解是________。参考答案：x=-1或x=-3解析：直接开平方法解方程。将方程(x+2)²=1两边开平方得x+2=±1，解得x=-1或x=-3。10.若方程x²-mx+1=0的两个根的差的平方是4，则m的值是________。参考答案：±2√3解析：设方程的两个根为x₁和x₂，根据根与系数的关系，x₁+x₂=m，x₁x₂=1。已知(x₁-x₂)²=4，展开得(x₁+x₂)²-4x₁x₂=4，即m²-4=4，解得m²=8，m=±2√2，但选项中无此答案，故需确认题目或选项是否有误。若题目允许近似值，则m≈±2.83，但选项中无此答案，故可能题目有误。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.方程x²+2x+1=0的解是x=-1。（×）解析：因式分解法解方程。将方程x²+2x+1=0分解为(x+1)²=0，解得x=-1。但题目说解是x=-1，这是正确的，故应为√。2.若方程x²-mx+1=0的两个根是x₁和x₂，则x₁+x₂=m。（√）解析：根据根与系数的关系，x₁+x₂=-b/a。已知方程为x²-mx+1=0，a=1，b=-m，故x₁+x₂=-(-m)/1=m，故正确。3.方程x²-4x+4=0的判别式△=0，故无实数根。（×）解析：根据判别式的定义，△=b²-4ac。已知a=1，b=-4，c=4，代入得△=(-4)²-4×1×4=16-16=0。判别式为0时，方程有唯一实数根，故错误。4.若方程x²-px+q=0的两个根分别是2和-3，则q=-6。（√）解析：根据根与系数的关系，x₁x₂=q。已知两个根为2和-3，则2×(-3)=q，解得q=-6，故正确。5.方程(x-1)²=4的解是x=2或x=-2。（×）解析：直接开平方法解方程。将方程(x-1)²=4两边开平方得x-1=±2，解得x=3或x=-1，故错误。6.若方程x²-mx+1=0的一个根是1，则m=2。（√）解析：根据一元二次方程的根的定义，若1是方程的根，则代入方程得1²-m×1+1=0，即1-m+1=0，解得m=2，故正确。7.方程x²-3x=0的解是x=3。（×）解析：提公因式法解方程。将方程x²-3x=0分解为x(x-3)=0，解得x=0或x=3，故错误。8.若方程x²+px+q=0的两个根的平方和是10，则p²-4q=10。（√）解析：设方程的两个根为x₁和x₂，根据根与系数的关系，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q。已知x₁²+x₂²=10，利用平方和公式得(x₁+x₂)²-2x₁x₂=10，即p²-2q=10，故正确。9.方程(x+2)²=1的解是x=-2。（×）解析：直接开平方法解方程。将方程(x+2)²=1两边开平方得x+2=±1，解得x=-1或x=-3，故错误。10.若方程x²-mx+1=0的两个根的差的平方是4，则m=2。（×）解析：设方程的两个根为x₁和x₂，根据根与系数的关系，x₁+x₂=m，x₁x₂=1。已知(x₁-x₂)²=4，展开得(x₁+x₂)²-4x₁x₂=4，即m²-4=4，解得m²=8，m=±2√2，故错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.什么是因式分解法解一元二次方程？参考答案：因式分解法解一元二次方程是将方程变形为两个一次因式的乘积等于0的形式，然后根据乘积为0的性质，得到两个一元一次方程，解这两个方程即可得到原方程的解。解析：因式分解法是解一元二次方程的一种常用方法，其基本步骤是：（1）将方程整理为x²+bx+c=0的形式；（2）将左边因式分解为(x+a)(x+b)=0；（3）根据乘积为0的性质，得到x+a=0或x+b=0；（4）解这两个一元一次方程，得到原方程的解。2.一元二次方程ax²+bx+c=0的根与系数有什么关系？参考答案：一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根x₁和x₂满足以下关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解析：这是根与系数的关系，也称为韦达定理。这个定理在解一元二次方程、求根的代数和与积等方面有广泛的应用。3.什么是判别式？判别式的作用是什么？参考答案：一元二次方程ax²+bx+c=0的判别式△=b²-4ac。判别式的作用是判断方程的根的情况：若△>0，则方程有两个不相等的实数根；若△=0，则方程有两个相等的实数根；若△<0，则方程无实数根。解析：判别式是判断一元二次方程根的情况的重要工具，它是一个与方程系数有关的代数式，可以用来预测方程的根的性质。4.用配方法解方程x²-6x+5=0的步骤是什么？参考答案：用配方法解方程x²-6x+5=0的步骤是：（1）将方程整理为x²-6x=-5；（2）在左边加上(6/2)²=9，得x²-6x+9=4；（3）将左边变形为完全平方形式，得(x-3)²=4；（4）两边开平方，得x-3=±2；（5）解得x=5或x=1。解析：配方法是解一元二次方程的一种基本方法，其基本步骤是：（1）将方程整理为x²+bx=c的形式；（2）在左边加上(b/2)²，得x²+bx+(b/2)²=c+(b/2)²；（3）将左边变形为完全平方形式，得(x+b/2)²=c+(b/2)²；（4）两边开平方，解得x的值。5.若方程x²-mx+1=0的两个根的平方和是10，求m的值。参考答案：m=±2√2解析：设方程的两个根为x₁和x₂，根据根与系数的关系，x₁+x₂=m，x₁x₂=1。已知x₁²+x₂²=10，利用平方和公式得(x₁+x₂)²-2x₁x₂=10，即m²-2=10，解得m²=12，m=±2√3，但选项中无此答案，故需确认题目或选项是否有误。若题目允许近似值，则m≈±3.46，但选项中无此答案，故可能题目有误。6.若方程x²-px+q=0的两个根分别是2和-3，求p、q的值。参考答案：p=1，q=-6解析：根据根与系数的关系，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q。已知两个根为2和-3，则2+(-3)=-p，解得p=1；2×(-3)=q，解得q=-6。7.方程(x+1)²=4的解是什么？参考答案：x=3或x=-5解析：直接开平方法解方程。将方程(x+1)²=4两边开平方得x+1=±2，解得x=3或x=-5。8.若方程x²-mx+1=0的判别式△=0，求m的值。参考答案：m=±2√2解析：根据判别式的定义，△=b²-4ac。已知a=1，c=1，b=-m，代入得△=m²-4。若△=0，则m²-4=0，解得m=±2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某长方形的周长是20厘米，面积是15平方厘米，求长方形的长和宽。参考答案：长=5厘米，宽=3厘米解析：设长方形的长为x厘米，宽为y厘米。根据题意，得以下方程组：2(x+y)=20，xy=15。解得x=5，y=3，或x=3，y=5。故长方形的长和宽分别为5厘米和3厘米。2.某工厂生产一种产品，固定成本为2000元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元。若要使利润达到3000元，应生产多少件产品？参考答案：生产50件产品解析：设生产x件产品。根据题意，得以下方程：(80-50)x-2000=3000。解得x=50。故应生产50件产品。3.某班级有学生50人，其中男生比女生多10人，求男生和女生各有多少人？参考答案：男生=30人，女生=20人解析：设男生有x人，女生有y人。根据题意，得以下方程组：x+y=50，x-y=10。解得x=30，y=20。故男生有30人，女生有20人。4.某长方形的周长是20厘米，面积是15平方厘米，求长方形的对角线长。参考答案：对角线长=√34厘米解析：设长方形的长为x厘米，宽为y厘米。根据题意，得以下方程组：2(x+y)=20，xy=15。解得x=5，y=3，或x=3，y=5。长方形的对角线长为√(x²+y²)=√(5²+3²)=√34厘米。5.某工厂生产一种产品，固定成本为2000元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元。若要使利润达到4000元，应生产多少件产品？参考答案：生产100件产品解析：设生产x件产品。根据题意，得以下方程：(80-50)x-2000=4000。解得x=100。故应生产100件产品。6.某班级有学生50人，其中男生比女生多15人，求男生和女生各有多少人？参考答案：男生=32人，女生=18人解析：设男生有x人，女生有y人。根据题意，得以下方程组：x+y=50，x-y=15。解得x=32，y=18。故男生有32人，女生有18人。7.某长方形的周长是24厘米，面积是32平方厘米，求长方形的对角线长。参考答案：对角线长=√40厘米解析：设长方形的长为x厘米，宽为y厘米。根据题意，得以下方程组：2(x+y)=24，xy=32。解得x=8，y=4，或x=4，y=8。长方形的对角线长为√(x²+y²)=√(8²+4²)=√40厘米。8.某工厂生产一种产品，固定成本为3000元，每件产品的可变成本为60元，售价为90元。若要使利润达到5000元，应生产多少件产品？参考答案：生产100件产品解析：设生产x件产品。根据题意，得以下方程：(90-60)x-3000=5000。解得x=100。故应生产100件产品。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.C3.B4.B5.A6.D7.D8.C9.无法解答10.A二、填空题1.x=2或x=32.23.x=3或x=-14.无法解答5.06.±67.x=0或x=38.29.x=-1或x=-310.无法解答三、判断题1.×2.√3.×4.√5.×6.√7.×8.√9.×10.×四、简答题1.参考答案：因式分解法解一元二次方程是将方程变形为两个一次因式的乘积等于0的形式，然后根据乘积为0的性质，得到两个一元一次方程，解这两个方程即可得到原方程的解。解析：因式分解法是解一元二次方程的一种常用方法，其基本步骤是：（1）将方程整理为x²+bx+c=0的形式；（2）将左边因式分解为(x+a)(x+b)=0；（3）根据乘积为0的性质，得到x+a=0或x+b=0；（4）解这两个一元一次方程，得到原方程的解。2.参考答案：一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根x₁和x₂满足以下关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解析：这是根与系数的关系，也称为韦达定理。这个定理在解一元二次方程、求根的代数和与积等方面有广泛的应用。3.参考答案：一元二次方程ax²+bx+c=0的判别式△=b²-4ac。判别式的作用是判断方程的根的情况：若△>0，则方程有两个不相等的实数根；若△=0，则方程有两个相等的实数根；若△<0，则方程无实数根。解析：判别式是判断一元二次方程根的情况的重要工具，它是一个与方程系数有关的代数式，可以用来预测方程的根的性质。4.参考答案：用配方法解方程x²-6x+5=0的步骤是：（1）将方程整理为x²-6x=-5；（2）在左边加上(6/2)²=9，得x²-6x+9=4；（3）将左边变形为完全平方形式，得(x-3)²=4；（4）两边开平方，得x-3=±2；（5）解得x=5或x=1。解析：配方法是解一元二次方程的一种基本方法，其基本步骤是：（1）将方程整理为x²+bx=c的形式；（2）在左边加上(b/2)²，得x²+bx+(b/2)²=c+(b/2)²；（3）将左边变形为完全平方形式，得(x+b/2)²=c+(b/2)²；（4）两边开平方，解得x的值。5.参考答案：m=±2√2解析：设方程的两个根为x₁和x₂，根据根与系数的关系，x₁+x₂=m，x₁x₂=1。已知x₁²+x₂²=10，利用平方和公式得(x₁+x₂)²-2x₁x₂=10，即m²-2=10，解得m²=12，m=±2√3，但选项中无此答案，故需确认题目或选项是否有误。若题目允许近似值，则m≈±3.46，但选项中无此答案，故可能题目有误。6.参考答案：p=1，q=-6解析：根据根与系数的关系，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q。已知两个根为2和-3，则2+(-3)=-p，解得p=1；2×(-3)=q，解得q=-6。7.参考答案：x=3或x=-5解析：直接开平方法解方程。将方程(x+1)²=4两边开平方得x+1