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微专题解析几何中减少运算量的常见技巧

解析几何中用代数方法研究几何问题是中学数学的重要分支，解题的

第一步通常是把几何条件转化为代数语言；第二步再对代数式进行转化、

化简与求值.因其条件复杂，运算量大，一直是学生的“痛点”.如何在求

解解析几何问题时简化运算步骤，减少运算量，实现多想少算之目的，下

面就从几种技巧入手，予以例析.

妙借向量平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数形于一

体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知

识的一个交汇点和联系多项知识的媒介.妙借向量，可以有效提升圆锥曲

线的解题方向与运算效率，达到良好效果.

[1，＋

∞）

直线方程的正设与反设常用的设线方式有以下几种：普通直线情况选用y＝kx＋m和x＝ty＋

m；如果已知直线过某点（x0，y0），那么可以选择y－y0＝k（x－x0）

和x－x0＝t（y－y0）两种方式，需要注意的是，该设法不包含与坐标

轴平行的特殊情况，在书写过程中要注意分类讨论；另外，当直线过

非坐标轴上的定点，例如过点P（3，－5）时，若设y＝k（x－3）－5

的形式，那么联立形式太麻烦，此情况我们可以设直线方程为y＝kx＋

m，联立之后，化简表达式，最终再利用3k＋m＝－5消元即可.直线和

圆相切亦是如此.

关联设元关联设元法是减少运算量的常见方法，关联设元法的常见类型：

（2）关于x轴或y轴对称的直线，斜率可以设为k与－k（倾斜角互补）；（3）在解题的时候，熟记字母最少原则，不管是点还是线，变量尽量

少，形式尽量一致；（4）熟练使用“同理可得”，同形式的计算，使用轮换对称的方式处理.

（1）求椭圆的标准方程；

②求证：四边形ABCD的面积为定值.

非对称化处理

（3）解方程组：运用根与系数的关系，由已知可以得到两根x1，x2有一定

的等量关系，这时采用方程组法消去一个根再进行化简，当然也可以由非

对称式转化为对称式处理.

（2）设直线AD，CB的斜率分别为k1，k2，若k1∶k2＝2∶1，求k的值.

1.

已知抛物线y＝x2－1上一定点B（－1，0）和两个动点P，Q，当P在

抛物线上运动时，BP⊥PQ，则Q点的横坐标的取值范围是（

）A.

（－∞，3]B.

（－∞，－3]∪[1，＋∞）C.

（－∞，－3]D.

（－∞，－3]∪[－1，＋∞）√

（2）设过原点的一条射线l分别与（1）中两个椭圆交于A，B两点（其中

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