第5节　空间向量的概念与运算

第5节空间向量的概念与运算课标要求1.

理解（课标变化：了解→理解）空间向量的概念，掌握（课标变化：了解→掌握）空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.

掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.

掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测0301PART夯实必备知识

知识梳理

1.

空间向量及其有关概念概念语言描述共线向量（平行向量）表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或

重合共面向量平行于

⁠的向量共线向量定理对任意两个空间向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb同一个平面

概念语言描述共面向量定理如果两个向量a，b

，那么向量p与向量a，b

共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使

p＝xa＋yb空间向量基本定理及推论不共线

xa＋yb＋zc

1

2.

空间向量的数量积及坐标运算（1）两个非零空间向量的数量积①a·b＝

⁠；②a⊥b⇔a·b＝0；

｜a｜｜b｜cos＜a，b＞

（2）空间向量运算的坐标表示a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R向量和a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）向量差a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3）数乘向量λa＝（λa1，λa2，λa3）数量积a·b＝

⁠a1b1＋a2b2＋a3b3

a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R共线a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（b≠0）垂直a⊥b⇔

＝0（a≠0，b≠0）夹角公式a1b1＋a2b2＋a3b3

空间中三点共线、四点共面的充要条件

诊断自测

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）空间中任意两个非零向量a，b共面.

（

√

）（2）若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向

量.

（

×

）（3）对于向量a，b，若a·b＝0，则一定有a＝0或b＝0.

（

×

）（4）空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是（0，b，c），

b，c∈R.

（

√

）√××√2.

已知向量a＝（2，－3，1），b＝（2，0，3），c＝（0，0，2），则

a·（b＋c）＝（

）A.6B.7C.9D.13√解析：

因为a＝（2，－3，1），b＋c＝（2，0，5），所以a·（b＋

c）＝2×2＋（－3）×0＋1×5＝9.3.

已知空间向量a＝（1，1，0），b＝（0，－1，4），则｜a＋b｜＝

（

）A.15C.17√

02PART研透核心考点空间向量的线性运算（基础自学过关）

A.

（2，3，3）B.

（－2，－3，－3）C.

（5，－2，1）D.

（－5，2，－1）√

√√

空间向量线性运算中的三个关键点共线、共面向量定理的应用（师生共研过关）

（2）判断点M是否在平面ABC内.

证明三点共线和空间四点共面的方法比较训练1

（1）下列命题正确的是（

C

）A.

若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B.

向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面C.

若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0D.

若a，b，c共面，则存在唯一的实数对（x，y），使得a＝xb＋ycC解析：

若b＝0，则满足a与b共线，b与c共线，但是a与c不一定共线，

故A错误；因为向量是可以移动的量，所以向量a，b，c共面，但它们所

在的直线不一定共面，故B错误；假设a，b，c至少有一个为0，则空间向

量a，b，c共面，故假设不成立，故C正确；假设b＝0，若a，c共线，

则存在无数个实数对（x，y），使得a＝xb＋yc，若a，c不共线，则不

存在实数对（x，y），使得a＝xb＋yc，故D错误.（2）若A（－1，2，3），B（2，1，4），C（m，n，1）三点共线，

则m＋n＝（

A

）A.

－3B.

－1C.1D.3A

－2

空间向量数量积的应用（师生共研过关）

如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的

正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.（1）求线段AC1的长；

（2）求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；

（3）求证：AA1⊥BD.

空间向量数量积的3个应用

（2）求长度（距离）：利用公式｜a｜2＝a·a，可将线段长度的计算问

题转化为向量数量积的计算问题；（3）解决垂直问题：利用a⊥b⇔a·b＝0（a≠0，b≠0），可将垂直问

题转化为向量数量积的计算问题.

A.

（0，2，2）B.

（2，0，2）C.

（2，2，0）D.

（0，0，2）

A（2）（2026·南京六校第一次联考）已知：a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝

1，其中a，b，c，x，y，z均为实数.则ax＋by＋cz的取值范围为

⁠

⁠.

[－

1，1]

03PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：96分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

123456789101112131415√

1234567891011121314152.

已知a＝（2，1，－3），b＝（－1，2，3），c＝（7，6，λ），若

a，b，c共面，则λ＝（

）A.9B.

－9C.

－3D.3√

123456789101112131415

A.30°B.60°C.120°D.150°√

123456789101112131415

A.1B.2√123456789101112131415

123456789101112131415

√123456789101112131415

1234567891011121314156.

〔多选〕下列说法中正确的是（

）A.

若p与a，b共面，则p＝xa＋yb√√123456789101112131415

1234567891011121314157.

已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（x，y，15）三点共线，

则xy＝

⁠.

2

123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415（2）求a与b夹角的余弦值；

123456789101112131415（3）若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值.

123456789101112131415

A.2B.3D.4√

123456789101112131415

B.

[0，1]√

12345678910111213141512.

〔多选〕已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列说法中正确的是

（

）√√123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

15.

〔创新设问〕〔多选〕设向量u＝（a，b，