重难专攻9　数列中的创新交汇问题

重难专攻9数列中的创新交汇问题重难解读

数列中的创新交汇问题往往以压轴题的形式出现于高考题中，常与函数、不等式、集合、概率、解三角形等交汇命题，有时也以新定义的形式出现，一般难度较大.数列的新情境问题（师生共研过关）

几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家

学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款

软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，

2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，

21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数

N：N＞56且该数列的前N项和为2的整数幂，那么该款软件的激活码是

（

A

）AA.95B.105C.115D.125解析：

将数列排成行的形式11，21，2，41，2，4，8

……

解决数列的新情境问题要首先理解题意，从新情境中抽象出等差数

列、等比数列等特殊的数列、转化为数列的通项、性质或求和问题.训练1

（2026·河南模拟）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层空心球.若鬼工球最内层的空心球上有2个雕孔，且向外每层雕孔依次增加d（d为常数）个.现制作3个层数分别为3，6，m的鬼工球，其中6层的鬼工球比3层的鬼工球共多出30个雕孔，三个鬼工球之间的雕孔数相差最多者为36，则m＝（

）A.2B.5C.7D.8√

数列与其他知识的交汇问题（师生共研过关）

在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a3，a13成等比数

列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＝2bn－2.（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）设cn＝bn－an，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式Tn＋n2－n＞

log2（1－a）对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围.

数列与其他知识的交汇问题，一般是根据题干得到数列的递推关系

式，构造等差、等比数列解决问题.求解过程中要灵活运用数列的性质，

准确应用数列的相关知识.训练2

（1）（2025·云南昆明二模）已知等差数列{an}满足公差为d，

a1≠0，前n项和为Sn，记集合M＝{k｜ak＝Sk}，若M中有2个元素，则

a1，d的关系可以为（

A

）A.

2a1＋3d＝0B.

2a1－3d＝0C.

3a1＋2d＝0D.

3a1－2d＝0A

数列的新定义问题（师生共研过关）

（2026·浙江强基联盟模拟节选）设n≥3，对于数列a1，a2，…，

an，若对任意k∈{1，2，…，n－1}，a1＋a2＋…＋ak与ak＋1＋ak＋2＋…

＋an均为非负数或者均为负数，则称数列a1，a2，…，an为强数列.

（2）若存在公比为负数的等比数列a1，a2，…，a2

027，使得它为强数

列，求公比q的取值范围.

解答与数列有关的新定义问题的策略（1）遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清

新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，

使问题得以顺利解决；（2）类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向

“熟悉数列”的性质靠拢.训练3

（2024·新高考Ⅰ卷19题节选）设m为正整数，数列a1，a2，…，a4m

＋2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和aj（i＜j）后剩余的4m

项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1，

a2，…，a4m＋2是（i，j）—可分数列.（1）写出所有的（i，j），1≤i＜j≤6，使得数列a1，a2，…，a6是

（i，j）—可分数列；解：

（i，j）＝（1，6），（1，2），（5，6）.（2）当m≥3时，证明：数列a1，a2，…，a4m＋2是（2，13）—可分数

列.解：证明：当m＝3时，a1，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，a10，a11，

a12，a14，可分成三组：a1，a4，a7，a10；a3，a6，a9，a12；a5，a8，a11，a14，每

组均为公差为3d的等差数列，∴m＝3时符合.当m＞3时，数列a1，a2，…，a4m＋2去掉a2，a13以后，分成m组，只需让前面的3组还按m＝3时的分法，即a1，a4，a7，a10；a3，a6，a9，

a12；a5，a8，a11，a14，后面的每4个相邻的项一组即可，即a15，a16，

a17，a18；…；a4m－1，a4m，a4m＋1，a4m＋2，每一组都能构成等差数列，∴数列a1，a2，…，a4m＋2是（2，13）—可分数列.课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：73分）[备注：单选、填空题5分]

A.1B.2C.3D.4123456789√

2.

九连环是中国杰出的益智游戏.九连环由九个相互连接的环组成，这九

个环套在一个中空的长形柄中，九连环的玩法就是要将这九个环从柄上解

下来，规则如下：如果要解下（或安上）第n号环，则第（n－1）号环必

须解下（或安上），n－1往前的都要解下（或安上）才能实现，记解下n

连环所需的最少移动步数为an，已知a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋2an－2＋1

（n≥3），则解六连环最少需要移动圆环步数为（

）A.24B.36C.42D.48√123456789解析：

由题意可得，a3＝a2＋2a1＋1＝2＋2＋1＝5，a4＝a3＋2a2＋1

＝5＋4＋1＝10，a5＝a4＋2a3＋1＝10＋10＋1＝21，a6＝a5＋2a4＋1＝21

＋20＋1＝42.123456789

A.8B.2C.

－6D.

－4√123456789

123456789

A.

－51B.

－48C.

－17D.0√123456789

123456789

2×3n－1－1

1234567896.

（2026·辽宁沈阳模拟）已知数列{an}，令bk为a1，a2，…，ak中的最

大值（k＝1，2，…，n），则称数列{bn}为{an}的“控制数列”，{bn}

中不同数的个数称为“控制数列”{bn}的“阶数”，例如：{an}为1，3，

5，4，2，则“控制数列”{bn}为1，3，5，5，5，其“阶数”为3，若

{an}由1，2，3，4，5任意顺序构成，则使“控制数列”{bn}的“阶数”

为2的所有{an}的个数为

⁠.50

123456789

1234567897.

（13分）如图，从点P1（0，0）作x轴的垂线交曲线y＝ex于点Q1（0，

1），曲线在点Q1处的切线与x轴交于点P2，再从P2作x轴的垂线交曲线于

点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，

Qn.记点Pk的坐标为（xk，0）（k＝1，2，…，n）.（1）试求xk与xk－1的关系（2≤k≤n）；

123456789（2）求｜P1Q1｜＋｜P2Q2｜＋…＋｜PnQn｜的值.

123456789

123456789（2）若{an}是“平方等差数列”，证明：存在正整数n，使得不等式an＋1

＜an＋1成立.

1234567899.

（15分）已知正四面体ABCD中，AB＝2，P1，P2，…，Pn在线段AB

上，且｜AP1｜＝｜P1P2｜＝…＝｜Pn－1Pn｜＝｜PnB｜，过点Pn作平行

于直线AC，BD的平面，截面面积为an，证明：（1）a1＝1；12345678