重难专攻1　导数中函数的构造问题

重难专攻1导数中函数的构造问题重难解读

函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，多以客观题的形式出

现，通过构造一种新的函数关系，使问题在新函数下转化并利用函数的有

关性质（单调性、极值、最值等），来解决比较大小、解不等式、恒成立

等问题.与f'（x）有关的函数构造问题（定向精析突破）考向1

利用f（x）与xn构造函数

（1）（2026·山东济南三校第一次联考）设f（x）是定义在R上的偶

函数，当x＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，且f（－4）＝0，则不等式xf

（x）＞0的解集为（

D

）A.

（－4，0）∪（0，4）B.

（－∞，－4）∪（4，＋∞）C.

（－4，0）∪（4，＋∞）D.

（－∞，－4）∪（0，4）D解析：

构造F（x）＝xf（x），则F'（x）＝f（x）＋xf'

（x），当x＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，可以推出当x＜

0时，F'（x）＜0，∴F（x）在（－∞，0）上单调递

减.∵f（x）为偶函数，y＝x为奇函数，∴F（x）为奇函数，∴F（x）在（0，＋∞）上也单调递减.根据f（－4）＝0可得F（－4）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）的大致图象如图所示，根据图象可知xf（x）＞0的解集为（－∞，－4）∪（0，4）.

A.

f（2）＞f（3）B.

2f（1）＞f（3）C.

f（5）＞2f（2）D.

3f（5）＞f（1）B

利用f（x）与xn构造函数（1）出现nf（x）＋xf'（x）形式，构造函数F（x）＝xnf（x）；

考向2

利用f（x）与ex构造函数

〔多选〕已知f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的函数，导函数f'

（x）满足f'（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（

）A.

f（2）＜e2f（0）B.

f（2）＞e2f（0）C.e2f（－1）＞f（1）D.e2f（－1）＜f（1）√√

利用f（x）与ex构造函数（1）出现f'（x）＋nf（x）形式，构造函数F（x）＝enxf（x）；

考向3

利用f（x）与sin

x，cos

x构造函数

√

利用f（x）与sin

x，cos

x构造函数（1）出现f'（x）sin

x＋f（x）cos

x形式，构造函数F（x）＝f（x）

sin

x；

（4）出现f'（x）cos

x－f（x）sin

x形式，构造函数F（x）＝f（x）

cos

x.训练1

（1）函数f（x）的定义域为R，f（－1）＝2，对任意x∈R，f'

（x）＞2，则f（x）＞2x＋4的解集为（

B

）A.

（－1，1）B.

（－1，＋∞）C.

（－∞，－1）D.

（－∞，＋∞）解析：

令g（x）＝f（x）－2x－4，则g'（x）＝f'（x）－2＞0，∴g

（x）为R上的增函数，又∵g（－1）＝f（－1）－2×（－1）－4＝

0.∴f（x）＞2x＋4等价于g（x）＞g（－1），解得x＞－1.B（2）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f'（x）＞1，f（1）＝

4，则不等式exf（x）＞ex＋3e的解集为（

D

）A.

（－∞，0）B.

（－∞，1）C.

（0，＋∞）D.

（1，＋∞）解析：设g（x）＝exf（x）－ex（x∈R），则g'（x）＝exf（x）＋exf'

（x）－ex＝ex[f（x）＋f'（x）－1]，因为f（x）＋f'（x）＞1，所以f

（x）＋f'（x）－1＞0，又ex＞0，所以g'（x）＞0恒成立，所以函数g

（x）在定义域R上单调递增.故原不等式可转化为exf（x）－ex＞3e，又f

（1）＝4，所以g（1）＝ef（1）－e＝3e，所以g（x）＞g（1），所以

x＞1.故选D.

D

D

通过变量构造具体函数（师生共研过关）

A.

ey－x＞1B.

ey－x＜1C.

ey－x－1＞1D.

ey－x－1＜1A

（2）（2026·贵州贵阳质检）已知a＜5，且ae5＝5ea，b＜4且be4＝

4eb，c＜3且ce3＝3ec，则（

D

）A.

c＜b＜aB.

b＜c＜aC.

a＜c＜bD.

a＜b＜cD

若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置于等

号或不等号两边，即可构造函数，再利用函数的单调性求解.

3

通过数值构造具体函数（师生共研过关）

A.

b＜a＜cB.

a＜c＜bC.

b＜c＜aD.

c＜b＜aB

c＜a＜b

当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同

之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为该函数的函数值，然后利

用函数的单调性比较大小.训练3

（1）已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则（

A

）A.

a＞0＞bB.

a＞b＞0C.

b＞a＞0D.

b＞0＞a解析：

由10＝9m＞9，得m＞1.设f（x）＝xm－x－1，x＞1，则当m＞

1时，f'（x）＝mxm－1－1＞x1－1－1＝0，所以f（x）在（1，＋∞）上单

调递增，所以f（10）＞f（9）＝0＞f（8），即a＞0＞b.A（2）实数e3，3π，π3的大小关系为

⁠.

e3＜π3＜3π

课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：77分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

A.

{x｜－1＜x＜1}B.

{x｜x＜－1}C.

{x｜x＜－1或x＞1}D.

{x｜x＞1}123456789101112√

2.

已知e为自然对数的底数，函数f（x）的导函数为f'（x），对任意

x∈R，都有f'（x）＜－f（x）成立，则（

）√123456789101112

123456789101112

A.

c＜b＜aB.

b＜c＜aC.

c＜a＜bD.

a＜c＜b√

123456789101112

A.sin

α＞sin

βB.cos

α＞cos

βC.cos

α＞sin

βD.sin

α＞cos

β√

1234567891011125.

（2026·湖南衡阳调研）已知函数f（x）的定义域为R，设f（x）的导

函数是f'（x），且f（x）·f'（x）＋sin

x＞0恒成立，则（

）√123456789101112

1234567891011126.

定义在（0，＋∞）上的函数f（x），g（x）的导函数都存在，f'

（x）g（x）＋f（x）g'（x）＜1，且f（1）＝2，g（1）＝1，则不等

式f（x）g（x）＜x＋1的解集为（

）A.

（1，2）B.

（2，＋∞）C.

（0，1）D.

（1，＋∞）√123456789101112解析：

由f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）＜1，可得[f（x）g（x）]'

＜1.设函数h（x）＝f（x）g（x）－x，则h'（x）＝f'（x）g（x）＋

f（x）g'（x）－1＜0，所以h（x）在（0，＋∞）上单调递减.因为f

（1）＝2，g（1）＝1，所以h（1）＝1，所以f（x）g（x）＜x＋1，

即h（x）＜h（1），则x＞1，所以不等式f（x）g（x）＜x＋1的解集

为（1，＋∞）.故选D.

123456789101112

A.0＜b＜1B.0＜a＜1C.1＜b＜eD.

a＞e√√

1234567891011128.

〔多选〕（2026·浙江杭州模拟）定义在（0，＋∞）上的函数f（x）的

导函数为f'（x），且（x3＋x2）f'（x）＜（3x2＋2x）f（x）恒成立，则

必有（

）A.

f（3）＞18f（1）B.

f（2）＜6f（1）D.

f（3）＜3f（2）√√123456789101112

123456789101112

123456789101112

12345678910111210.

（2026·浙江杭州调研）已知实数a，b，c∈（0，1），且ae2＝

2ea，be3＝2eb，ce3＝3ec，则a，b，c的大小关系为

⁠.