《风险模型》课件2 递推法和FFT

1递推法若损失次数N属于(a,b,1),假设X只取整数,最大m,则S的概率可递推：k∧m

表示min(k,m)S=X1+X2+…+XN2如果损失次数N属于(a,b,0),则递推公式可简化为如果N服从泊松分布,则进一步可简化为31.对损失金额分布进行离散化：其中

n

是S的最大可能取值（需预估）。2.应用FFT

，得到特征函数,是n+1维向量。3.计算复合分布的特征函数:

，是n+1

维向量.4.对特征函数

应用IFFT,得到S的概率函数，是n+1维向量.FFT方法4FFT

的应用步骤：对损失金额X离散化应用FFT,得到应用IFFT,得到S的分布5合并法（rounding）：0h2h3h……f0f1f2f3连续分布的离散化6在每一个区间：离散分布的概率=连续分布的概率离散分布的均值=连续分布的均值0

3hh

2hp1q1p2q2均值配比法：7解上述方程组,有例：连续分布的离散化假设X

服从均值为10的指数分布,F(x)=1－e-0.1x。应用h=2进行离散化。并入法:0h2h3h……f0f1f2f39均值配比法:指数分布的有限期望函数，本例中，q=10，

h=210x=1:30;y1=exp(-0.1*(2*x-1))-exp(-0.1*(2*x+1))y2=-10*exp(-0.2*x)+5*exp(-0.2*(x-1))+5*exp(-0.2*(x+1))y_rounding=c(0.09516,y1)y_matching=c(0.09365,y2)par(mfrow=c(1,2))com=rbind(rounding=y_rounding,matching=y_matching)barplot(com,beside=TRUE,legend.text=TRUE)plot(y_rounding,y_matching);abline(0,1)并入法与均值配比法很接近11例：计算保险公司累积赔款S的分布损失次数N:泊松(l=3)损失金额Xi:帕累托(a=4,q=10)对每次损失的免赔额:d=6对每次损失的赔偿限额：l=18共保比例:75%注：共保以后，对每次损失的最大赔款为18×75%＝13.512计算索赔次数的分布：泊松一次损失导致索赔的概率为：故泊松参数为：13原始损失为X，应用免赔额6以后，保险公司的赔款为

Z=X－6|X>6实施赔偿限额18以后，保险公司的最大赔款为18实施共保以后，保险公司的赔款为Y=0.75Z，最大赔款为0.75

18=13.5故赔款Y的分布函数为：当y<13.5时：当y

13.5时：计算每次赔款金额的分布：14对于y<13.5对于y≥13.5对离散化后,应用复合泊松即可计算S的分布。X~Pareto(4,10)15应用并入法（Rounding）进行离散化处理:h=2最大赔款=13.50246810121416f0f1

f3

f4

f5

f6

f7

f2

端点j中点连续分布的累积概率(

中点)的概率离散化后的概率fj

复合分布的概率值gj010.273980.273980.71721h30.590400.316430.10392h50.751730.161330.06053h70.840890.089160.03734h90.893380.052490.02405h110.925900.032520.01606h130.946920.021020.01097h151.000000.053080.0204最大赔款=13.5应用复合泊松分布的递推公式：l=0.45776g的尾部概率未全部显示1718赔款次数的分布lambda1=

3

#损失次数分布的泊松参数

shape=

4;scale=

10

#帕累托分布参数

d=

6

#免赔额

limit=18

#赔偿限额

ratio=0.75

#共保比例

MaxPayment=

ratio*limit

library(actuar)#一次损失导致赔款的概率

v=

1

-

ppareto(d,shape=shape,scale=scale)

lambda2=

lambda1*

v#赔款次数分布的泊松参数19赔款金额的分布Fy<-

function(y){

if(y<

MaxPayment)

Loss=

1

-

(1

-

ppareto(y/ratio+

d,shape=shape,scale=scale))/v

elseLoss=

1

return(Loss)

}20赔款金额分布的离散化h=

2

f=

Fy(h/2)#赔款等于零的概率

k=

0

repeat{

k=

k+

1

last=

Fy((k+

0.5)*

h)-

Fy((k-

0.5)*

h)

f=

c(f,last)

if(sum(f)>=

1-1e-16)

break

}

sum(f)##[1]121应用FFT求累积赔款S的分布函数fx=

c(f,rep(0,100))#赔款x的概率分布

fxc=

fft(fx)#赔款x的特征函数

fsc=

exp(lambda2*(fxc-1))#累积赔款S的特征函数

fs=

fft(fsc,inverse=

TRUE)/length(fsc)

fs=

Re(fs)#S的概率

round(fs[1:8],4)##[1]0.71720.10390.06050.03730.02400.01600.01090.020422递推公式求累积赔款S的分布fx0=

f[1];fx=

f[-1]

fs=

exp(lambda2*

(fx0-

1))

k=

0

repeat{

k=

k+

1

cum=

0

if(k<

length(fx))

up=

kelse

up=

length(fx)

for(jin

1:up){

cum=

cum+

j*

fx[j]*

fs[k-

j+

1]

}

fs=

c(fs,cum*

lambda2/k)

if(sum(fs)>

1-1e-16)break

}

round(fs,4)[1:8]##[1]0.71720.10390.06050.03730.02400.01600.01090.0204plot(0:10,fs[1:11],type='h',lwd=3,col=4,xlab='累积赔款',ylab='概率')23应用actuar程序包library(actuar)

Fs=

aggregateDist('recursive',model.freq=

'poisson',

model.sev=f,lambda=lambda2)

round(diff(Fs)[1:8],4)##[1]0.71720.103