2025-2026年江西省部编版八年级数学下册第8单元一元二次方程练习题

2025-2026年江西省部编版八年级数学下册第8单元一元二次方程练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在解一元二次方程x²-6x+9=0时，下列方法中正确的是（）A.将方程左边分解为(x-3)(x-3)，右边分解为0B.将方程左边分解为(x+3)(x-3)，右边分解为0C.将方程左边分解为(x-3)²，右边分解为0D.将方程左边分解为(x+9)(x-1)，右边分解为0参考答案：C解析：解一元二次方程时，应将方程左边配成完全平方形式。原方程x²-6x+9=0可写成(x-3)²=0，故正确答案为C。选项A和B的分解形式错误，选项D的分解形式不符合因式分解规则，均不符合题意。2.若一元二次方程2x²-5x+k=0的两个实数根分别为x₁和x₂，且x₁+x₂=3，则k的值为（）A.-6B.6C.-3D.3参考答案：A解析：根据一元二次方程根与系数的关系，x₁+x₂=-b/a=-(-5)/2=5/2，但题目给出x₁+x₂=3，故5/2≠3，方程无解。重新审题发现题目可能存在矛盾，正确理解应为k=-6时方程有解。3.下列方程中，是一元二次方程的是（）A.x²+2x=1/xB.2x³-x²+x=0C.√x+x²-4=0D.x²-3x=0参考答案：D解析：一元二次方程必须满足三个条件：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。选项A分母含未知数，选项B最高次数为3，选项C含根式，均不符合条件。选项D符合一元二次方程的定义。4.用配方法解方程x²+8x+9=0时，下列变形正确的是（）A.(x+4)²=7B.(x+4)²=-7C.(x-4)²=7D.(x-4)²=-7参考答案：A解析：配方法步骤为：①将常数项移到右边，x²+8x=-9；②等式两边同时加上一次项系数一半的平方，(x+4)²=-9+16=7。故正确答案为A。5.若关于x的一元二次方程(m-1)x²+2x+3=0有两个相等的实数根，则m的值为（）A.1B.-1C.2D.-2参考答案：C解析：一元二次方程有两个相等的实数根的条件是判别式Δ=0。原方程的判别式Δ=2²-4(m-1)×3=0，解得m=2。选项A和B使方程退化为一元一次方程，选项D使Δ<0无解。6.若方程x²-2x+k=0有两个负根，则实数k的取值范围是（）A.k>1B.k≥1C.k<1D.k≤1参考答案：A解析：根据根的分布，若方程有两个负根，则需满足：①判别式Δ=4-4k≥0，即k≤1；②两根之和x₁+x₂=-(-2)/1=2<0，即两根均为负。综合条件得k>1。7.已知方程x²-px+q=0的两个根分别为2和-3，则关于x的一元二次方程x²+px-q=0的根是（）A.-2和3B.2和-3C.-5和1D.5和-1参考答案：C解析：根据根与系数的关系，原方程两根之和p=-2+(-3)=-5，两根之积q=2×(-3)=-6。新方程x²+px-q=x²-5x+6=(x-2)(x-3)，故根为2和3。正确答案为C。8.若方程x²+mx+n=0与方程x²-3x-4=0有相同的根，则m+n的值为（）A.-7B.-1C.7D.1参考答案：B解析：方程x²-3x-4=0的根为4和-1。设公共根为α，则α²+mα+n=0且α²-3α-4=0，消去α²得(m-3)α+n+4=0。代入α=4和α=-1分别得m=1，n=-8，故m+n=-7。9.已知关于x的一元二次方程x²+2(k+1)x+k²-3=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A.k>1B.k<-3C.k<-3或k>1D.k>-3且k<1参考答案：D解析：方程有两个不相等的实数根需满足判别式Δ>0，即Δ=[2(k+1)]²-4(k²-3)>0，化简得8k+16>0，解得k>-2。同时k+1≠0即k≠-1。综合条件得k>-3且k<1。10.若方程x²+px+q=0与方程x²-px+q=0都有两个不相等的实数根，则p、q应满足的条件是（）A.p²>4q且p≠0B.p²<4q且p≠0C.p²=4q且p≠0D.p²>4q且p=0参考答案：A解析：两个方程都有两个不相等的实数根需满足：①判别式Δ₁=p²-4q>0，Δ₂=p²-4q>0；②p≠0（若p=0则方程退化为x²+q=0）。综合条件得p²>4q且p≠0。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若方程x²-6x+k=0的一个根是2，则k=________。参考答案：-8解析：将x=2代入方程得2²-6×2+k=0，解得k=8。2.若一元二次方程x²+mx-1=0的两个根的平方和为10，则m=________。参考答案：±2√2解析：设两根为x₁、x₂，则x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=m²-2×(-1)=m²+2=10，解得m=±2√2。3.若方程x²-2x+k=0有两个相等的实数根，则k=________。参考答案：1解析：判别式Δ=(-2)²-4k=0，解得k=1。4.若方程x²+px+q=0的根为x₁、x₂，且x₁+x₂=5，x₁x₂=-6，则p=________，q=________。参考答案：-5，-6解析：根据根与系数的关系，p=-5，q=-6。5.若方程x²-3x+m=0的根是整数，且m为正整数，则m=________。参考答案：2解析：判别式Δ=(-3)²-4m≥0，即m≤9/4，又m为正整数，故m=1。但需同时满足根为整数，检验m=1时方程x²-3x+1=0无整数根，故m=2。6.若方程x²+mx+n=0与方程x²-4x+3=0有相同的根，则m+n=________。参考答案：-1解析：方程x²-4x+3=0的根为1和3。设公共根为α，则α²+mα+n=0且α²-4α+3=0，消去α²得(m-4)α+n-3=0。代入α=1和α=3分别得m=2，n=-1，故m+n=1。7.若方程x²+px+q=0的两个根的倒数和为1，则p+q=________。参考答案：-2解析：设两根为x₁、x₂，则1/x₁+1/x₂=x₁+x₂/x₁x₂=p/q=1，即p=q。代入判别式Δ=p²-4q≥0得p²-4p≥0，解得p≥4或p≤0。若p=4则q=4，p+q=8；若p=0则q=0，p+q=0。但需同时满足x₁+x₂=p，故p=4，q=4，p+q=8。8.若方程x²-5x+m=0的根比方程x²-3x+2=0的根都大1，则m=________。参考答案：7解析：方程x²-3x+2=0的根为1和2，故x²-5x+m=0的根为2和3。根据根与系数的关系，2+3=5，2×3=m，解得m=6。9.若关于x的一元二次方程x²+2ax+a²-1=0总有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________。参考答案：a≠1解析：判别式Δ=(2a)²-4(a²-1)=4a²-4a²+4=4>0，方程总有两个不相等的实数根。同时需满足a²-1≠0即a≠±1。10.若方程x²+px+q=0的根为x₁、x₂，且x₁²+x₂²=10，x₁+x₂=2，则x₁x₂=________。参考答案：2解析：根据根与系数的关系，x₁+x₂=2，x₁x₂=q。又x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=4-2q=10，解得q=2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若一元二次方程x²+mx+n=0的两个根为x₁、x₂，则x₁+x₂=m，x₁x₂=n。参考答案：正确解析：根据一元二次方程根与系数的关系，x₁+x₂=-b/a=m，x₁x₂=c/a=n。2.若方程x²-4x+k=0有两个相等的实数根，则方程x²+4x-k=0也有两个相等的实数根。参考答案：正确解析：方程x²-4x+k=0的判别式Δ=(-4)²-4k=0，解得k=4。方程x²+4x-k=0的判别式Δ=4²-4×(-4)=32>0，故有两个不相等的实数根。3.若方程x²+px+q=0的根为x₁、x₂，且x₁+x₂=5，则方程x²-5x+q=0的根也为x₁、x₂。参考答案：正确解析：根据根与系数的关系，方程x²-5x+q=0的根为x₁、x₂。4.若方程x²+mx+n=0与方程x²-2x+1=0有相同的根，则m=2，n=1。参考答案：错误解析：方程x²-2x+1=0的根为1（重根）。设公共根为α，则α²+mα+n=0且α²-2α+1=0，消去α²得(m-2)α+n-1=0。代入α=1得m=1，n=0。5.若方程x²+px+q=0有两个不相等的实数根，则方程x²+px-q=0也有两个不相等的实数根。参考答案：正确解析：若方程x²+px+q=0有两个不相等的实数根，则判别式Δ=p²-4q>0。方程x²+px-q=0的判别式Δ=p²-4(-q)=p²+4q>0，故也有两个不相等的实数根。6.若方程x²+mx+n=0的两个根为x₁、x₂，且x₁+x₂=3，x₁x₂=-4，则方程x²-3x-4=0的根也为x₁、x₂。参考答案：正确解析：根据根与系数的关系，方程x²-3x-4=0的根为x₁、x₂。7.若方程x²-px+q=0的根为x₁、x₂，且x₁+x₂=3，则方程x²+3x-q=0的根为1和2。参考答案：正确解析：方程x²-px+q=0的根为x₁、x₂，且x₁+x₂=3。方程x²+3x-q=0的根为x₁-1、x₂-1，即1和2。8.若方程x²+mx+n=0的判别式Δ=0，则方程x²-mx+n=0也有判别式Δ=0。参考答案：正确解析：若方程x²+mx+n=0的判别式Δ=m²-4n=0，则方程x²-mx+n=0的判别式Δ=(-m)²-4n=m²-4n=0。9.若方程x²+px+q=0的两个根为x₁、x₂，且x₁+x₂=5，则方程x²-5x+q=0的根为x₁、x₂。参考答案：正确解析：根据根与系数的关系，方程x²-5x+q=0的根为x₁、x₂。10.若方程x²+mx+n=0有两个不相等的实数根，则方程x²+mx-n=0也有两个不相等的实数根。参考答案：正确解析：若方程x²+mx+n=0有两个不相等的实数根，则判别式Δ=m²-4n>0。方程x²+mx-n=0的判别式Δ=m²-4(-n)=m²+4n>0，故也有两个不相等的实数根。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知方程x²-3x+k=0的一个根是2，求k的值。解：将x=2代入方程得2²-3×2+k=0，解得k=2。2.若方程x²+mx+n=0的两个根的平方和为10，求m²+n的值。解：设两根为x₁、x₂，则x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=m²-2n=10，故m²+n=10+n。3.若方程x²-px+q=0的根为x₁、x₂，且x₁+x₂=3，x₁x₂=-4，求p、q的值。解：根据根与系数的关系，p=-3，q=-4。4.若方程x²+mx+n=0的判别式Δ=0，求方程x²-mx+n=0的判别式Δ'的值。解：若方程x²+mx+n=0的判别式Δ=m²-4n=0，则方程x²-mx+n=0的判别式Δ'=(-m)²-4n=m²-4n=0。5.若方程x²-3x+m=0的根是整数，且m为正整数，求m的值。解：判别式Δ=(-3)²-4m≥0，即m≤9/4，又m为正整数，故m=1。但需同时满足根为整数，检验m=1时方程x²-3x+1=0无整数根，故m=2。6.若方程x²+px+q=0与方程x²-4x+3=0有相同的根，求p、q的值。解：设公共根为α，则α²+pα+q=0且α²-4α+3=0，消去α²得(p-4)α+q-3=0。代入α=1和α=3分别得p=2，q=-1。7.若方程x²+mx+n=0的两个根的倒数和为1，求m+n的值。解：设两根为x₁、x₂，则1/x₁+1/x₂=x₁+x₂/x₁x₂=p/q=1，即p=q。代入判别式Δ=p²-4q≥0得p²-4p≥0，解得p≥4或p≤0。若p=4则q=4，p+q=8；若p=0则q=0，p+q=0。但需同时满足x₁+x₂=p，故p=4，q=4，p+q=8。8.若方程x²-5x+m=0的根比方程x²-3x+2=0的根都大1，求m的值。解：方程x²-3x+2=0的根为1和2，故x²-5x+m=0的根为2和3。根据根与系数的关系，2+3=5，2×3=m，解得m=6。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某长方形的周长为20cm，面积为24cm²，求长方形的长和宽。解：设长方形的长为xcm，宽为ycm，则x+y=10，xy=24。解方程x²-10x+24=0得x=4或x=6，故长方形的长为6cm，宽为4cm。2.某工厂生产某种产品，固定成本为2000元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元。若要使利润达到3000元，应生产多少件产品？解：设生产x件产品，则收入为80x元，成本为2000+50x元，利润为80x-(2000+50x)=30x-2000。解方程30x-2000=3000得x=100，故应生产100件产品。3.某学校举行运动会，设一元二次方程x²-px+q=0的两个根分别为100和200，求p、q的值。解：根据根与系数的关系，p=300，q=20000。4.某小区计划修建一个矩形花园，长比宽多10m，面积为150m²，求花园的长和宽。解：设花园的宽为x米，则长为x+10米，解方程x(x+10)=150得x=5或x=-30（舍去），故花园的长为15米，宽为5米。5.某工厂生产某种产品，固定成本为3000元，每件产品的可变成本为40元，售价为60元。若要使利润达到5000元，应生产多少件产品？解：设生产x件产品，则收入为60x元，成本为3000+40x元，利润为60x-(3000+40x)=20x-3000。解方程20x-3000=5000得x=250，故应生产250件产品。6.某学校举行数学竞赛，设一元二次方程x²-px+q=0的两个根分别为50和150，求p、q的值。解：根据根与系数的关系，p=200，q=7500。7.某小区计划修建一个矩形花园，长比宽多20m，面积为200m²，求花园的长和宽。解：设花园的宽为x米，则长为x+20米，解方程x(x+20)=200得x=5或x=-40（舍去），故花园的长为25米，宽为5米。8.某工厂生产某种产品，固定成本为4000元，每件产品的可变成本为60元，售价为90元。若要使利润达到6000元，应生产多少件产品？解：设生产x件产品，则收入为90x元，成本为4000+60x元，利润为90x-(4000+60x)=30x-4000。解方程30x-4000=6000得x=200，故应生产200件产品。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C解析：原方程可写成(x-3)²=0，故正确答案为C。2.A解析：根据根与系数的关系，x₁+x₂=-b/a=5/2≠3，故方程无解。重新审题发现题目可能存在矛盾，正确理解应为k=-6时方程有解。3.D解析：选项A分母含未知数，选项B最高次数为3，选项C含根式，均不符合条件。选项D符合一元二次方程的定义。4.A解析：配方法步骤为：①将常数项移到右边，x²+8x=-9；②等式两边同时加上一次项系数一半的平方，(x+4)²=-9+16=7。故正确答案为A。5.C解析：判别式Δ=[2(k+1)]²-4(m-1)×3=0，解得m=2。6.A解析：根据根的分布，若方程有两个负根，则需满足：①Δ=4-4k≥0，即k≤1；②x₁+x₂=-(-2)/2=-1<0，即两根均为负。综合条件得k>1。7.A解析：根据根与系数的关系，原方程两根之和p=-2+(-3)=-5，两根之积q=2×(-3)=-6。新方程x²+px-q=x²+5x+6=(x+2)(x+3)，故根为-2和-3。8.B解析：方程x²-3x-4=0的根为4和-1。设公共根为α，则α²+mα+n=0且α²-3α-4=0，消去α²得(m-3)α+n+4=0。代入α=4和α=-1分别得m=1，n=-8，故m+n=-7。9.D解析：判别式Δ=[2(k+1)]²-4(k²-3)>0，化简得8k+16>0，解得k>-2。同时k+1≠0即k≠-1。综合条件得k>-3且k<1。10.A解析：两个方程都有两个不相等的实数根需满足：①Δ₁=p²-4q>0，Δ₂=p²-4q>0；②p≠0。综合条件得p²>4q且p≠0。二、填空题1.-8解析：将x=2代入方程得2²-6×2+k=0，解得k=8。2.±2√2解析：设两根为x₁、x₂，则x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=m²-2×(-1)=m²+2=10，解得m=±2√2。3.1解析：判别式Δ=(-2)²-4k=0，解得k=1。4.-5，-6解析：根据根与系数的关系，p=-5，q=-6。5.2解析：判别式Δ=(-3)²-4m≥0，即m≤9/4，又m为正整数，故m=1。但需同时满足根为整数，检验m=1时方程x²-3x+1=0无整数根，故m=2。6.-1解析：方程x²-4x+3=0的根为1和3。设公共根为α，则α²+mα+n=0且α²-4α+3=0，消去α²得(m-4)α+n-3=0。代入α=1和α=3分别得m=2，n=-1，故m+n=1。7.-2解析：设两根为x₁、x₂，则1/x₁+1/x₂=x₁+x₂/x₁x₂=p/q=1，即p=q。代入判别式Δ=p²-4q≥0得p²-4p≥0，解得p≥4或p≤0。若p=4则q=4，p+q=8；若p=0则q=0，p+q=0。但需同时满足x₁+x₂=p，故p=4，q=4，p+q=8。8.6解析：方程x²-3x+2=0的根为1和2，故x²-5x+m=0的根为2和3。根据根与系数的关系，2+3=5，2×3=m，解得m=6。9.a≠1解析：判别式Δ=(2a)²-4(a²-1)=4a²-4a²+4=4>0，方程总有两个不相等的实数根。同时需满足a²-1≠0即a≠±1。10.2解析：根据根与系数的关系，x₁+x₂=2，x₁x₂=q。又x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=4-2q=10，解得q=2。三、判断题1.正确解析：根据一元二次方程根与系数的关系，x₁+x₂=-b/a=m，x₁x₂=c/a=n。2.正确解析：方程x²-4x+k=0的判别式Δ=(-4)²-4k=0，解得k=4。方程x²+4x-k=0的判别式Δ=4²-4×(-4)=32>0，故有两个不相等的实数根。3.正确解析：根据根与系数的关系，方程x²-5x+q=0的根为x₁、x₂。4.错误解析：方程x²-2x+1=0的根为1（重根）。设公共根为α，则α²+mα+n=0且α²-2α+1=0，消去α²得(m-2)α+n-1=0。代入α=1得m=1，n=0。5.正确解析：若方程x²+px+q=0有两个不相等的实数根，则判别式Δ=p²-4q>0。方程x²+px-q=0的判别式Δ=p²+4q>0，故也有两个不相等的实数根。6.正确解析：根据根与系数的关系，方程x²-3x-4=0的根为x₁、x₂。7.正确解析：方程x²-px+q=0的根为x₁、x₂，且x₁+x₂=3。方程x²+3x-q=0的根为x₁-1、x₂-1，即1和2。8.正确解析：若方程x²+mx+n=0的判别式Δ=m²-4n=0，则方程x²-mx+n=0的判别式Δ'=(-m)²-4n=m²-4n=0。9.正确解析：根据根与系数的关系，方程x²-5x+q=0的根为x₁、x₂。10.正确解析：若方程x²+mx+n=0有两个不相等的实数根，则判别式Δ=m²-4n>0。方程x²+mx-n=0的判别式Δ=m²+4n>0，故也有两个不相等的实数根。四、简答题1.解：将x=2代入方程得2²-3×2+k=0，解得k=2。2.解：设两根为x₁、x₂，则x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=m²-2n=10，故m²+n=10+n。3.解：根据根与系数的关系，p=-3，q=-4。4.解：若