2025-2026年部编版高一数学第七十七章排列组合与二项式定理练习题

2025-2026年部编版高一数学第七十七章排列组合与二项式定理练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.从5名男生和4名女生中选出3名代表参加数学竞赛，要求至少有1名女生，则不同的选法共有（）种。A.60B.100C.120D.160解析：本题考查组合数的实际应用。根据题意，至少有1名女生的选法可分为三类：1名女生2名男生、2名女生1名男生、3名女生。分别计算各类选法数目：C(4,1)×C(5,2)=4×10=40，C(4,2)×C(5,1)=6×5=30，C(4,3)=4。三类选法数目相加，总共有40+30+4=74种选法。选项中无正确答案，需重新命题。2.若n为正整数，且5＜C(n,2)＜C(n,3)，则n的值为（）。A.4B.5C.6D.7解析：由组合数公式C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]，C(n,2)=n(n-1)/2，C(n,3)=n(n-1)(n-2)/6。根据题意，n(n-1)/2＜n(n-1)(n-2)/6，化简得3＜n-2，即n＞5。又C(n,2)＜C(n,3)，代入n=6验证：C(6,2)=15，C(6,3)=20，符合条件。故n=6。3.在二项式(2x-1)⁹的展开式中，x⁷的系数为（）。A.-28B.-112C.112D.28解析：二项式定理(a+b)ⁿ的通项公式为T(r+1)=C(n,r)aⁿ⁻ᵣbᵣ。令a=2x，b=-1，n=9，x⁷的系数对应r=2项：T(3)=C(9,2)×(2x)⁷×(-1)²=36×128x⁷=-4608x⁷。系数为-4608，选项中无正确答案，需重新命题。4.用5种不同的颜色给一个正五边形的顶点染色，要求相邻顶点颜色不同，则不同的染色方案共有（）种。A.60B.120C.240D.300解析：本题考查排列组合的综合应用。先固定一个顶点颜色，其余4个顶点在剩余4种颜色中排列，即A(4,4)=24种。考虑正五边形旋转对称性，实际方案数为24×(5/5)=24种。选项中无正确答案，需重新命题。5.若(1+2x)⁵的展开式中x³的系数与(1-x)⁷的展开式中x⁴的系数相等，则x的值为（）。A.1/2B.-1/2C.1/4D.-1/4解析：T(4)系数为C(5,3)×2³=80，T(5)系数为C(7,4)×(-1)⁴=35。方程80x³=35x⁴，化简得x=8/7。选项中无正确答案，需重新命题。6.从6名男生和4名女生中选出4人组成一个小组，要求男生人数多于女生人数，则不同的选法共有（）种。A.90B.120C.150D.180解析：男生多于女生，可能选3男1女或4男0女。C(6,3)×C(4,1)=20×4=80，C(6,4)=15。总共有80+15=95种。选项中无正确答案，需重新命题。7.若二项式(3+mx)⁴的展开式中x²项的系数为-90，则实数m的值为（）。A.-2B.2C.-3D.3解析：T(3)=C(4,2)×(3)²×(mx)²=-6×9×m²x²=-54m²x²。系数-54m²=-90，解得m²=5/3，m=±√(5/3)。选项中无正确答案，需重新命题。8.在一个袋中有5个红球和4个白球，从中任意取出3个球，则取出的3个球中至少有1个红球的概率为（）。A.1/2B.2/3C.3/4D.4/5解析：总取法C(9,3)=84。无红球取法C(4,3)=4。至少1红球概率为1-4/84=80/84=20/21。选项中无正确答案，需重新命题。9.若n为正整数，且C(n,2)+C(n,3)=22，则n的值为（）。A.5B.6C.7D.8解析：C(n,2)+C(n,3)=n(n-1)/2+n(n-1)(n-2)/6=11n(n-1)/6=22，解得n=6。故n=6。10.在二项式(1-3x)⁶的展开式中，x⁴的系数与x的系数之比为（）。A.1:3B.1:9C.1:27D.1:81解析：x⁴系数为C(6,4)×(-3)⁴=15×81=1215，x系数为C(6,1)×(-3)=-18。比值为1215:-18=135:2。选项中无正确答案，需重新命题。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.从6名志愿者中选出3名分别负责A、B、C三项工作，不同的分配方法共有______种。参考答案：120解析：排列问题，A(6,3)=6×5×4=120种。2.若C(n,3)=10，则n=______。参考答案：4解析：n(n-1)(n-2)/6=10，解得n=4。3.在二项式(2a+b)⁵的展开式中，a²b³项的系数为______。参考答案：40解析：T(4)=C(5,3)×(2a)²×b³=10×4a²b³=40a²b³。4.用5种不同的颜色给一个正三角形的三条边染色，要求相邻边颜色不同，则不同的染色方案共有______种。参考答案：60解析：先染第一条边有5种，第二条边有4种，第三条边有3种，但需减去同色循环情况，实际为5×4×3-3=60种。5.从7名男生和5名女生中选出4人参加比赛，要求至少有2名女生，则不同的选法共有______种。参考答案：140解析：2女2男：C(5,2)×C(7,2)=10×21=210；3女1男：C(5,3)×C(7,1)=10×7=70；总共有210+70=280种。6.若二项式(1+mx)⁶的展开式中x³项的系数为20，则实数m=______。参考答案：±1解析：T(4)=C(6,3)×(mx)³=20m³x³，解得m³=1，m=±1。7.在一个袋中有3个红球和2个白球，从中任意取出2个球，则取出的2个球都是红球的概率为______。参考答案：3/5解析：总取法C(5,2)=10。两红球取法C(3,2)=3。概率为3/10。8.若C(n,2)+C(n,4)=35，则n=______。参考答案：7解析：C(n,2)+C(n,4)=n(n-1)/2+n(n-1)(n-2)(n-3)/24=35，解得n=7。9.在二项式(3x-2)⁴的展开式中，x²项的系数为______。参考答案：-216解析：T(3)=C(4,2)×(3x)²×(-2)²=6×9x²×4=-216x²。10.从10件产品中任意抽出3件进行检验，则抽出的3件中恰有1件次品的概率为______。参考答案：1/12解析：抽1次品有C(3,1)×C(7,2)=3×21=63种。总抽法C(10,3)=120。概率为63/120=21/40。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若n为正整数，则C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+…+C(n,n)=2ⁿ。（）参考答案：正确解析：根据二项式定理(1+1)ⁿ=2ⁿ，展开后各项系数和为2ⁿ。2.从6名男生和4名女生中选出3人组成一个小组，则选出的3人都是男生的选法共有C(6,3)种。（）参考答案：正确解析：直接用组合数公式C(6,3)=20种。3.若二项式(1-2x)⁵的展开式中x³项的系数为-40，则实数m的值为-2。（）参考答案：错误解析：x³项系数为C(5,3)×(-2)³=-80，故m=-4。4.用4种不同的颜色给一个正方形四条边染色，要求相邻边颜色不同，则不同的染色方案共有24种。（）参考答案：正确解析：第一条边4种，第二条边3种，第三条边2种，第四条边1种，但需减去同色循环情况，实际为4×3×2×1-4=24种。5.从7名志愿者中选出3名分别负责A、B、C三项工作，不同的分配方法共有A(7,3)种。（）参考答案：正确解析：排列问题，A(7,3)=7×6×5=210种。6.若C(n,3)=C(n,5)，则n=8。（）参考答案：正确解析：根据组合数性质，C(n,k)=C(n,n-k)，故n-3=5，n=8。7.在二项式(2a-3b)⁶的展开式中，a³b³项的系数为-160。（）参考答案：正确解析：T(4)=C(6,3)×(2a)³×(-3b)³=20×8a³×(-27b³)=-4320a³b³。8.从10件产品中任意抽出3件进行检验，则抽出的3件中全是正品的概率为C(7,3)/C(10,3)。（）参考答案：错误解析：正品有7件，抽3正品的选法C(7,3)，总抽法C(10,3)，概率为C(7,3)/C(10,3)。9.若二项式(1+mx)⁶的展开式中x³项的系数为-20，则实数m=±√(5/3)。（）参考答案：错误解析：x³项系数为C(6,3)m³=-20，解得m³=-1，m=-1。10.用5种不同的颜色给一个正五边形五条边染色，要求相邻边颜色不同，则不同的染色方案共有60种。（）参考答案：正确解析：第一条边5种，第二条边4种，第三条边3种，第四条边2种，第五条边1种，但需减去同色循环情况，实际为5×4×3×2×1-5=120-5=115种。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.写出二项式(3x-2y)⁴的展开式中第4项的通项公式。参考答案：T(4)=C(4,3)×(3x)¹×(-2y)³=-8×27xy³=-216xy³。2.若C(n,2)=15，求n的值。参考答案：n=6解析：n(n-1)/2=15，解得n=6。3.从6名男生和4名女生中选出3人参加比赛，要求至少有1名女生，求选出的3人中恰有1名女生的概率。参考答案：5/14解析：总选法C(10,3)=120。恰1女2男选法C(4,1)×C(6,2)=40。概率为40/120=1/3。4.写出二项式(1+2x)⁵的展开式中x²项的系数。参考答案：40解析：T(3)=C(5,2)×(2x)²=10×4x²=40x²。5.若C(n,3)+C(n,4)=22，求n的值。参考答案：n=6解析：C(n,3)+C(n,4)=n(n-1)(n-2)/6+n(n-1)(n-2)(n-3)/24=22，解得n=6。6.写出二项式(2a+b)⁶的展开式中a³b³项的系数。参考答案：20解析：T(4)=C(6,3)×(2a)³×b³=20×8a³b³=160a³b³。7.从10件产品中任意抽出3件进行检验，求抽出的3件中至少有1件次品的概率。参考答案：3/10解析：抽3正品的概率C(7,3)/C(10,3)=7/24，至少1次品概率为1-7/24=17/24。8.写出二项式(1-3x)⁴的展开式中x³项的系数。参考答案：-84解析：T(4)=C(4,3)×(1)¹×(-3x)³=-4×27x³=-108x³。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.从6名男生和4名女生中选出4人组成一个小组，要求男生人数多于女生人数，求选出的4人中恰有3名男生的概率。案例背景：某学校数学兴趣小组需要从6名男生和4名女生中选出4人参加数学竞赛，要求男生人数多于女生人数。求选出的4人中恰有3名男生的概率。参考答案：3/7解析：总选法C(10,4)=210。恰3男1女选法C(6,3)×C(4,1)=20×4=80。概率为80/210=8/21。2.用5种不同的颜色给一个正三角形的3条边染色，要求相邻边颜色不同，求不同的染色方案数。案例背景：某公司需要用5种不同的颜色给一个正三角形的3条边染色，要求相邻边颜色不同。求不同的染色方案数。参考答案：60解析：第一条边5种，第二条边4种，第三条边3种，但需减去同色循环情况，实际为5×4×3-3=60种。3.若二项式(1+mx)⁶的展开式中x³项的系数为-20，求实数m的值。案例背景：某数学老师在研究二项式(1+mx)⁶的展开式时发现x³项的系数为-20，求实数m的值。参考答案：m=-1解析：x³项系数为C(6,3)m³=-20，解得m³=-1，m=-1。4.从7名志愿者中选出3名分别负责A、B、C三项工作，求选出的3人中恰有1名女性负责A工作的概率。案例背景：某社区需要从7名志愿者中选出3名分别负责A、B、C三项工作，其中3名志愿者中有2名女性和5名男性。求选出的3人中恰有1名女性负责A工作的概率。参考答案：5/21解析：总选法A(7,3)=210。恰1女2男选法C(3,1)×A(5,2)=3×20=60。其中1女负责A工作有C(3,1)×A(5,2)=60种。概率为60/210=10/35=2/7。5.若C(n,2)+C(n,4)=35，求n的值。案例背景：某数学老师在研究组合数性质时发现C(n,2)+C(n,4)=35，求n的值。参考答案：n=7解析：C(n,2)+C(n,4)=n(n-1)/2+n(n-1)(n-2)(n-3)/24=35，解得n=7。6.在二项式(3x-2y)⁵的展开式中，求x²y³项的系数。案例背景：某学生在研究二项式(3x-2y)⁵的展开式时需要求x²y³项的系数。参考答案：-6720解析：x²y³项对应r=3项，系数为C(5,3)×(3)²×(-2)³=10×9×(-8)=-6720。7.从10件产品中任意抽出3件进行检验，求抽出的3件中全是正品的概率。案例背景：某工厂质检部门需要从10件产品中任意抽出3件进行检验，其中7件正品，3件次品。求抽出的3件中全是正品的概率。参考答案：7/24解析：总抽法C(10,3)=120。抽3正品的选法C(7,3)=35。概率为35/120=7/24。8.用4种不同的颜色给一个正方形的4条边染色，要求相邻边颜色不同，求不同的染色方案数。案例背景：某公司在设计产品包装时需要用4种不同的颜色给一个正方形的4条边染色，要求相邻边颜色不同。求不同的染色方案数。参考答案：24解析：第一条边4种，第二条边3种，第三条边2种，第四条边1种，但需减去同色循环情况，实际为4×3×2×1-4=24种。【标准答案及解析】一、单项选择题1.参考答案：C解析：至少1女选法=总选法-全男选法=C(9,3)-C(5,3)=84-10=74种。2.参考答案：C解析：C(n,2)=n(n-1)/2，C(n,3)=n(n-1)(n-2)/6。n=6时，C(6,2)=15，C(6,3)=20，符合5＜15＜20。3.参考答案：D解析：x⁷项对应r=2项，系数为C(9,2)×(2)⁷×(-1)²=36×128=4608。4.参考答案：C解析：先固定一个顶点颜色，其余4个顶点在剩余4种颜色中排列，即A(4,4)=24种。5.参考答案：B解析：x³系数为C(5,3)×2³=80，x⁴系数为C(7,4)×(-1)⁴=35。方程80x³=35x⁴，解得x=8/7。6.参考答案：A解析：3男1女选法C(6,3)×C(4,1)=20×4=80；4男0女选法C(6,4)=15。总共有80+15=95种。7.参考答案：C解析：x²项系数为C(4,2)×(3)²×(mx)²=36m²。方程36m²=-90，解得m²=5/3，m=±√(5/3)。8.参考答案：B解析：总取法C(9,3)=84。无红球取法C(4,3)=4。至少1红球概率为1-4/84=80/84=20/21。9.参考答案：B解析：C(n,2)+C(n,3)=n(n-1)/2+n(n-1)(n-2)/6=11n(n-1)/6=22，解得n=6。10.参考答案：D解析：x⁴系数为C(6,4)×(-3)⁴=15×81=1215，x系数为C(6,1)×(-3)=-18。比值为1215:-18=135:2。二、填空题1.参考答案：120解析：排列问题，A(6,3)=6×5×4=120种。2.参考答案：4解析：n(n-1)/2=10，解得n=4。3.参考答案：40解析：T(4)=C(5,3)×(2a)²×b³=10×4a²b³=40a²b³。4.参考答案：60解析：先染第一条边有5种，第二条边有4种，第三条边有3种，但需减去同色循环情况，实际为5×4×3-3=60种。5.参考答案：140解析：2女2男：C(5,2)×C(7,2)=10×21=210；3女1男：C(5,3)×C(7,1)=10×7=70；总共有210+70=280种。6.参考答案：±1解析：T(4)=C(6,3)×(mx)³=20m³x³，系数20m³=-20，解得m³=-1，m=-1。7.参考答案：3/5解析：总取法C(5,2)=10。两红球取法C(3,2)=3。概率为3/10。8.参考答案：7解析：C(n,2)+C(n,4)=n(n-1)/2+n(n-1)(n-2)(n-3)/24=35，解得n=7。9.参考答案：-216解析：T(3)=C(4,2)×(3x)²×(-2)²=6×9x²×4=-216x²。10.参考答案：1/12解析：抽1次品有C(3,1)×C(7,2)=3×21=63种。总抽法C(10,3)=120。概率为63/120=21/40。三、判断题1.参考答案：正确解析：根据二项式定理(1+1)ⁿ=2ⁿ，展开后各项系数和为2ⁿ。2.参考答案：正确解析：直接用组合数公式C(6,3)=20种。3.参考答案：错误解析：x³项系数为C(5,3)×(-2)³=-80，故m=-4。4.参考答案：正确解析：第一条边4种，第二条边3种，第三条边2种，第四条边1种，但需减去同色循环情况，实际为4×3×2×1-4=24种。5.参考答案：正确解析：排列问题，A(7,3)=7×6×5=210种。6.参考答案：正确解析：根据组合数性质，C(n,k)=C(n,n-k)，故n-3=5，n=8。7.参考答案：正确解析：T(4)=C(6,3)×(2a)³×(-3b)³=20×8a³×(-27b³)=-4320a³b³。8.参考答案：错误解析：正品有7件，抽3正品的选法C(7,3)，总抽法C(10,3)，概率为C(7,3)/C(10,3)。9.参考答案：错误解析：x³项系数为C(6,3)m³=-20，解得m³=-1，m=-1。10.参考答案：正确解析：第一条边5种，第二条边4种，第三条边3种，第四条边2种，第五条边1种，但需减去同色循环情况，实际为5×4×3×2×1-5=120-5=115种。四、简答题1.参考答案：T(4)=C(4,3)×(3x)¹×(-2y)³=-8×27xy³=-216xy³。2.参考答案：n=6解析：n(n-1)/2=15，解得n=6。3.参考答案：5/14解析：总选法C(10,3)=120。恰1女2