东北大学高数期末考试题及答案

东北大学高数期末考试题及答案

一、单项选择题1.函数\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定义域是（）A.\((1,+\infty)\)B.\((0,1)\cup(1,+\infty)\)C.\((1,2)\cup(2,+\infty)\)D.\((2,+\infty)\)答案：C2.当\(x\to0\)时，与\(x\)等价的无穷小量是（）A.\(1-\cosx\)B.\(\ln(1+x)\)C.\(\sqrt{1+x}-1\)D.\(x^2+x\)答案：B3.设函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处可导，且\(f^\prime(x_0)=2\)，则\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{h}\)等于（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)答案：B4.曲线\(y=x^3-3x^2+1\)在点\((1,-1)\)处的切线方程为（）A.\(y=-3x+2\)B.\(y=3x-4\)C.\(y=-4x+3\)D.\(y=4x-5\)答案：A5.函数\(f(x)=x^3-3x\)的单调递减区间是（）A.\((-\infty,-1)\)B.\((1,+\infty)\)C.\((-1,1)\)D.\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)答案：C6.若\(\intf(x)dx=F(x)+C\)，则\(\intf(2x-1)dx\)等于（）A.\(F(2x-1)+C\)B.\(\frac{1}{2}F(2x-1)+C\)C.\(2F(2x-1)+C\)D.\(F(\frac{1}{2}x-1)+C\)答案：B7.定积分\(\int_{-1}^{1}(x^3+\sinx)dx\)的值为（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(4\)答案：A8.设\(z=e^{xy}\)，则\(\frac{\partialz}{\partialx}\)等于（）A.\(ye^{xy}\)B.\(xe^{xy}\)C.\(e^{xy}\)D.\(xye^{xy}\)答案：A9.设\(D\)是由\(x=0\)，\(y=0\)，\(x+y=1\)所围成的区域，则\(\iint\limits_{D}dxdy\)等于（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(1\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(\frac{1}{4}\)答案：A10.微分方程\(y^\prime+y=0\)的通解是（）A.\(y=Ce^x\)B.\(y=Ce^{-x}\)C.\(y=Cx\)D.\(y=C\)答案：B二、多项选择题1.下列函数中，在\(x=0\)处连续的有（）A.\(y=\begin{cases}x\sin\frac{1}{x},&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}\)B.\(y=\begin{cases}\frac{\sinx}{x},&x\neq0\\1,&x=0\end{cases}\)C.\(y=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x^2}},&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}\)D.\(y=\begin{cases}\frac{1}{x},&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}\)答案：ABC2.下列求极限的过程中，运用了洛必达法则的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{(\sinx)^\prime}{(x)^\prime}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\cosx}{1}=1\)B.\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x}{\lnx}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{(x)^\prime}{(\lnx)^\prime}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\)C.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{\sinx}=\lim\limits_{x\to0}\frac{(x^2\sin\frac{1}{x})^\prime}{(\sinx)^\prime}\)D.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{(e^x-1)^\prime}{(x)^\prime}=\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x}{1}=1\)答案：ABD3.下列函数中，是奇函数的有（）A.\(y=x^3+\sinx\)B.\(y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\)C.\(y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})\)D.\(y=x^2\cosx\)答案：ABC4.下列积分计算正确的有（）A.\(\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}\)B.\(\int_{0}^{\pi}\sinxdx=2\)C.\(\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}dx=-2\)D.\(\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx=1\)答案：ABD5.设\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处的两个偏导数\(f_x(x_0,y_0)\)，\(f_y(x_0,y_0)\)都存在，则（）A.\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处连续B.\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处可微C.\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x,y_0)=f(x_0,y_0)\)D.\(\lim\limits_{y\toy_0}f(x_0,y)=f(x_0,y_0)\)答案：CD6.下列级数中，收敛的有（）A.\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)C.\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}\)D.\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}\)答案：AC7.设\(D\)是由\(x^2+y^2\leqslant1\)所围成的区域，则二重积分\(\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy\)在极坐标下可化为（）A.\(\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr\)B.\(\int_{0}^{\pi}d\theta\int_{0}^{1}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr\)C.\(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{0}^{1}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr\)D.\(\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}f(r\cos\theta,r\sin\theta)dr\)答案：A8.下列关于微分方程的说法正确的有（）A.一阶线性齐次微分方程\(y^\prime+P(x)y=0\)的通解为\(y=Ce^{-\intP(x)dx}\)B.二阶常系数齐次线性微分方程\(y^{\prime\prime}+py^{\prime}+qy=0\)的特征方程为\(r^2+pr+q=0\)C.微分方程\(y^{\prime\prime}+y=0\)的通解为\(y=C_1\cosx+C_2\sinx\)D.微分方程\(y^\prime=2x\)的通解为\(y=x^2+C\)答案：ABCD9.已知函数\(y=f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，则下列说法正确的有（）A.\(y=f(x)\)在\([a,b]\)上一定有最大值和最小值B.\(y=f(x)\)在\((a,b)\)内一定有极值点C.若\(f(a)f(b)<0\)，则方程\(f(x)=0\)在\((a,b)\)内至少有一个实根D.\(y=f(x)\)在\([a,b]\)上可积答案：ACD10.设\(f(x)\)是可导函数，则下列等式成立的有（）A.\(\intf^\prime(x)dx=f(x)+C\)B.\(\frac{d}{dx}\intf(x)dx=f(x)\)C.\(\intdf(x)=f(x)+C\)D.\(d\intf(x)dx=f(x)dx\)答案：ABCD三、判断题1.若函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处可导，则\(f(x)\)在点\(x_0\)处一定连续。（）答案：正确2.函数\(y=x^3\)在\((-\infty,+\infty)\)上单调递增。（）答案：正确3.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定连续。（）答案：错误4.偏导数\(f_x(x_0,y_0)\)和\(f_y(x_0,y_0)\)存在是函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)可微的充分条件。（）答案：错误5.级数\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}\)，当\(p>1\)时绝对收敛。（）答案：正确6.微分方程\(y^{\prime\prime}+y=\sinx\)是线性非齐次微分方程。（）答案：正确7.若\(\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0\)，则级数\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n\)一定收敛。（）答案：错误8.函数\(f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处的两个二阶混合偏导数\(f_{xy}(x_0,y_0)\)和\(f_{yx}(x_0,y_0)\)一定相等。（）答案：错误9.定积分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)的值与积分变量\(x\)无关。（）答案：正确10.若\(F^\prime(x)=f(x)\)，则\(\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)\)。（）答案：正确四、简答题1.简述函数可导、可微与连续之间的关系。函数可导与可微是等价的，即函数在某点可导当且仅当函数在该点可微。可导（可微）是连续的充分条件，也就是说如果函数在某点可导（可微），那么函数在该点一定连续；但连续不是可导（可微）的充分条件，函数在某点连续，不一定在该点可导（可微），例如\(y=|x|\)在\(x=0\)处连续，但不可导。2.简述不定积分与定积分的联系和区别。联系：牛顿-莱布尼茨公式建立了不定积分与定积分的联系，若\(F^\prime(x)=f(x)\)，则\(\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)\)，通过求不定积分可以计算定积分的值。区别：不定积分是求函数的原函数的全体，结果是一族函数；定积分是一个数值，它表示的是由函数曲线、坐标轴等所围成的曲边梯形的面积的代数和。3.简述二元函数极值存在的必要条件和充分条件。必要条件：设函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)具有偏导数，且在点\((x_0,y_0)\)处有极值，则\(f_x(x_0,y_0)=0\)，\(f_y(x_0,y_0)=0\)。充分条件：设函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又\(f_x(x_0,y_0)=0\)，\(f_y(x_0,y_0)=0\)，令\(A=f_{xx}(x_0,y_0)\)，\(B=f_{xy}(x_0,y_0)\)，\(C=f_{yy}(x_0,y_0)\)，\(\Delta=AC-B^2\)，当\(\Delta>0\)且\(A>0\)时，\(f(x_0,y_0)\)为极小值；当\(\Delta>0\)且\(A<0\)时，\(f(x_0,y_0)\)为极大值；当\(\Delta<0\)时，\(f(x_0,y_0)\)不是极值。4.简述一阶线性微分方程的求解方法。一阶线性微分方程的一般形式