专题2.13函数与方程（举一反三复习讲义）（试题版）

专题2.13函数与方程（举一反三复习讲义）【全国通用】考点要求(1)理解函数的零点与方程的解的联系

(2)理解函数零点存在定理，并能简单应用(3)了解用二分法求方程的近似解高考真题统计考点2024年2025年2026年函数与方程新课标Ⅱ卷：第6题，5分全国甲卷（文数）：第16题，5分天津卷：第7题，5分上海卷（秋考）：第21题，18分全国二卷：第13题，5分北京卷：第15题，5分命题规律分析1、函数与方程函数的零点问题是高考常考的重点和热点内容，从近三年的高考情况来看，一般以选择题与填空题的形式出现，此时主要考查零点所在的区间、函数图象交点问题以及函数零点个数问题等，难度较易或中档；有时候也会在解答题中考查，主要结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数问题等，或者与导数结合考查，此时难度偏大，一般出现在压轴题位置。考点1考点1函数与方程知识点1函数零点所在区间1．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)=g(x)-h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.知识点2函数的零点个数和求参问题1．函数零点个数的判断方法函数零点个数的判定有下列几种方法：(1)直接法：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.(4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.2．已知函数零点求参数的方法(1)已知函数的零点求参数的一般方法①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解.(2)已知函数零点个数求参数范围的方法已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.知识点3嵌套函数的零点问题1．嵌套函数的零点问题的解题策略函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”,设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.【题型1函数零点所在区间的判断】【例1】（2026·山东泰安·一模）函数f(x)=(x−1)2x−26A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)【变式1-1】（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）函数fx=2A．2,3 B．0,12 C．12【变式1-2】（25-26高一上·陕西商洛·期末）函数fx=4A．12,1 B．1,32 C．【变式1-3】（25-26高一上·江西抚州·期末）函数f(x)=x3−(1A．(2,3) B．(1,2) C．(0,1) D．(−1,0)【题型2求函数的零点或零点个数】【例2】（25-26高一上·辽宁大连·期末）函数fx=2A．4 B．3 C．2 D．1【变式2-1】（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期中）函数fx=1−lnA．e B．−e C．e和−e D．e【变式2-2】（2026·四川巴中·一模）已知函数f(x)=lnx,x>0x2A．6 B．7 C．10 D．11【变式2-3】（2026·北京·模拟预测）已知函数f(x)=2x,0<x≤112f(x−1),x>1，则函数A．2 B．0 C．3 D．无穷【题型3根据函数零点的个数求参数】【例3】（2026·内蒙古赤峰·三模）已知函数fx=x2+4x+3,x≤01+logA．−1,3 B．0,3 C．−1,0 D．3,+【变式3-1】（2026·河北沧州·一模）已知函数fx=log2x+1,x>0−2xA．−2, +∞ B．−∞, 【变式3-2】（2026·北京顺义·一模）已知函数f(x)=x3,x≥0−x,x<0，若方程f(x)=xA．(−∞,0) C．(−∞,0)∪(0,1【变式3-3】（2026·辽宁·模拟预测）已知函数fx=x3,x≥0−x,x<0，若函数gxA．−∞,−1C．−∞,0∪【题型4根据零点的范围求参数】【例4】（2026·陕西西安·模拟预测）若函数fx=lgx+t在1,10上有零点，则A．−10,0 B．−110,0 C．0,1【变式4-1】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）函数fx=kx−4+xlog2x在区间1,4A．−4,1 B．−4,1 C．−1,4 D．−1,4【变式4-2】（25-26高一上·河南信阳·期末）函数f(x)=2x−2ax的一个零点在区间(1,2)A．(1,3) B．(1,4) C．(0,3) D．(1,2)【变式4-3】（25-26高一上·重庆·阶段检测）函数fx=kx−4+xlog2x在区间[4,8)内有零点，则实数kA．−2,−1 B．(−2,−1] C．−52,−1【题型5嵌套函数的零点问题】【例5】（2026·山西临汾·二模）已知函数fx=2x−1,x≤2,3A．0,1 B．0,2 C．0,3 D．1,3【变式5-1】（25-26高三上·吉林四平·阶段检测）已知函数fx=4−x2,x≤0lnA．2,e2 B．ln2+2,4 C．ln【变式5-2】（2026·陕西宝鸡·二模）已知函数fx=x2−2x+1,x≥01−ln−x,x<0，若关于xA．0,1 B．0,1 C．0,1 D．1,+【变式5-3】（2026·河南鹤壁·一模）已知函数fx=−2−x+1，x≤0，fx−1A．110，15 B．0，1【题型6用二分法求方程的近似解】【例6】（2026·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数fx=lnx+2x−6在2,3内的零点近似值，若精确度要求为A．3 B．4 C．5 D．6【变式6-1】（25-26高一上·陕西西安·期末）用二分法求方程ln2x+6+2=3x根的近似解时，令fx=ln2x+6+2−x1.001.251.3751.50f1.07940.1918−0.3604−0.9989A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875【变式6-2】（25-26高一上·河南新乡·期末）用二分法求方程2x+x−8=0在1,5上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（A．1,1.5 B．2,3 C．1,2 D．3,5【变式6-3】（25-26高一上·全国·阶段检测）若函数fx=xx11.51.251.3751.43751.40625f−20.625−0.984−0.2600.162−0.054那么当精确度达到0.04时，可作为方程x3+xA．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375【题型7多零点的大小与范围问题】【例7】（2026·河南新乡·三模）已知函数f(x)=3x+3x,g(x)=log3x+3x,h(x)=xA．b>c>a B．b>a>c C．c>a>b D．a>b>c【变式7-1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数fx=x⋅10x−1,gx=x⋅A．a<b<c B．a<c<b C．b<c<a D．c<a<b【变式7-2】（2026·海南·模拟预测）已知函数f(x)=−14x2−x+1,x≤0|log2x|,x>0，若存在不相等的实数A．−2, 14 B．−2, 14【变式7-3】（2026·陕西延安·一模）设函数fx=x2−4x+3−aa>0,若fx有四个不同的零点A．1,9+427 B．1,2 C．2,3一、单选题1．（2026·陕西西安·模拟预测）函数fx=0.3A．0,0.5 B．0.5,0.7 C．0.7,1 D．1,22．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）已知函数f(x)=lnx+4x−9，利用二分法求函数f(x)在(2,3)内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（A．(2,94) B．(94,3．（2026·天津·二模）函数fx=logA．7,8 B．8,9 C．9,10 D．10,114．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数fx=x2−2x−1,x≤0exA．−1,0 B．−1,0 C．−1,0 D．−1,05．（2026·贵州遵义·模拟预测）若函数fx=x+lnx,x>0A．−1,0 B．−1,0 C．−1,0 D．−1,06．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数fx=3x−1+1,x≤1lnx−1,(x>1)A．(63,C．56,2 7．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知函数fx=13x3−x+e，gx=lnA．x1<x2<x3 B．8．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数fx=−x2−2x+2,x≤0lnA．25,92 B．25,二、多选题9．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：x123456f(x)16.888.66−2.018.88−1.24−10.064在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为（

）A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(5,6)10．（2026·四川眉山·模拟预测）已知函数fx=2x−2A．若关于x的方程fx=a恰有1个实数根，则aB．若关于x的方程fx=a恰有2个不同的实数根，则aC．若gx有5个零点，则m的取值范围是D．gx11．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数fx=log3−x,x<02−x,x≥0，若函数y=fA．实数a的取值范围是0,2B．fx的单调递减区间为−∞C．xD．函数y=ff三、填空题12．（2026高一上·全国·专题练习）用二分法求函数fx=lnx+2x−6在区间13．（2026·山东济宁·一模）已知函数fx=x+2,x≤0lnx+1,x>0若关于x的方程14．（2026·天津红桥·二模）设函数fx=ex+12,x≤0x+4x四、解答题15．（2026·陕西西安·模拟预测）已知fx=e2x−ax+2(1)求函数y=fx(2)若关于x的方程fx−2=0有两个不等实根，求16．（2026高三·全国·专题练习）已知关于x的方程ax2−2(1)方程有唯一实数根或两相等实数根；(2)方程一根大于1，一根小于1．17．（2026高一·全国·专题练习）已知函数fx=kx−k+4,x