2025-2026年天津市人教版高二数学第9章数列单元检测卷

2025-2026年天津市人教版高二数学第9章数列单元检测卷一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A为6n-3=3(2n-1)，与通项公式不符；选项B为2n+1，不符合等差性质；选项C为3n，不符合首项和公差；选项D为4n-1，不符合通项公式。正确答案为A。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1。当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时成立，故b_n=2^{n-1}，b_4=2^3=8。正确答案为A。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，可得c_2=c_1+2=3，c_3=c_2+4=7，c_4=c_3+6=13，c_5=c_4+8=21，c_6=c_5+10=31。观察发现c_n=c_{n-1}+2(n-1)，累加可得c_n=c_1+2(1+2+...+(n-1))=1+n(n-1)=n^2-n+1，验证n=6时成立，故c_6=6^2-6+1=31。正确答案为D。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，两式相除得q^2=9，解得q=±3。选项A为3，选项C为-3，均符合条件。需进一步验证d_1，由d_2=6可得d_1=6/q，代入d_4=54得(6/q)×q^3=54，解得q=3。正确答案为A。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值为（）A.9B.10C.11D.12解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2。当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_n=2n，e_3=2×3=6。正确答案为D。6.若数列{f_n}的前n项和为S_n=3^n-1，则数列{f_n/n}的前3项和等于（）A.13/2B.14/3C.15/4D.16/5解析：由数列前n项和与通项关系f_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时f_1=S_1=2。当n≥2时f_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故f_n=2×3^{n-1}。则f_n/n=2×3^{n-1}/n，前3项和为2×(1/1+3/2+9/3)=2×(1+3/2+3)=13/2。正确答案为A。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9等于（）A.20B.22C.24D.26解析：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，可得a_3+a_7=(a_1+2d)+(a_1+6d)=2a_1+8d=18，即a_1+4d=9。则a_5+a_9=(a_1+4d)+(a_1+8d)=2a_1+12d=2(a_1+4d)=2×9=18。正确答案为B。8.已知数列{h_n}的前n项和为A_n=n(n+1)/2，则数列{h_n^2}的前3项和等于（）A.18B.20C.22D.24解析：由数列前n项和与通项关系h_n=A_n-A_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=A_1=1。当n≥2时h_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n，验证n=1时成立，故h_n=2n。则h_n^2=4n^2，前3项和为4×(1^2+2^2+3^2)=4×14=56。正确答案为D。9.在等比数列{p_n}中，若p_2=4，p_5=32，则该数列的前6项和等于（）A.63B.64C.127D.128解析：由等比数列通项公式p_n=p_1q^{n-1}，代入p_2=p_1q=4，p_5=p_1q^4=32，两式相除得q^3=8，解得q=2。则p_1=4/q=2，前6项和为S_6=2(1-2^6)/(1-2)=126。正确答案为C。10.若数列{q_n}满足q_1=1，q_{n+1}=q_n+n，则q_1+q_2+...+q_6等于（）A.21B.35C.55D.66解析：由递推关系q_{n+1}=q_n+n，可得q_2=q_1+1=2，q_3=q_2+2=4，q_4=q_3+3=7，q_5=q_4+4=11，q_6=q_5+5=16。观察发现q_n=1+1+2+3+...+(n-1)=1+n(n-1)/2，累加可得q_1+q_2+...+q_6=1+1+3+6+10+15=36。正确答案为D。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d等于______。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，两式相减得5d=15，解得d=3。参考答案：32.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，则b_4的值为______。解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=5。当n≥2时b_n=2n^2+3n-(2(n-1)^2+3(n-1))=4n+1，验证n=1时成立，故b_n=4n+1，b_4=17。参考答案：173.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3n，则c_6的值为______。解：由递推关系c_{n+1}=c_n+3n，可得c_2=c_1+3=5，c_3=c_2+6=11，c_4=c_3+9=20，c_5=c_4+12=32，c_6=c_5+15=47。观察发现c_n=2+3(1+2+...+(n-1))=2+3n(n-1)/2=3n^2-n/2，验证n=6时成立，故c_6=47。参考答案：474.在等比数列{d_n}中，若d_3=8，d_6=64，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_3=d_1q^2=8，d_6=d_1q^5=64，两式相除得q^3=8，解得q=2。参考答案：25.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n+1，则e_3的值为______。解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=3。当n≥2时e_n=n^2+n+1-(n-1)^2-(n-1)+1=2n，验证n=1时成立，故e_n=2n，e_3=6。参考答案：66.若数列{f_n}的前n项和为S_n=3^n-1，则数列{f_n/n}的前3项和等于______。解：由数列前n项和与通项关系f_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时f_1=S_1=2。当n≥2时f_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故f_n=2×3^{n-1}。则f_n/n=2×3^{n-1}/n，前3项和为2×(1/1+3/2+9/3)=13/2。参考答案：13/27.在等差数列{g_n}中，若a_4+a_7=15，则a_5+a_8等于______。解：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，可得a_4+a_7=(a_1+3d)+(a_1+6d)=2a_1+9d=15，即a_1+4.5d=7.5。则a_5+a_8=(a_1+4d)+(a_1+7d)=2a_1+11d=2(a_1+4.5d)=15。参考答案：158.已知数列{h_n}的前n项和为A_n=n(n+1)/2，则数列{h_n^2}的前3项和等于______。解：由数列前n项和与通项关系h_n=A_n-A_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=A_1=1。当n≥2时h_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n，验证n=1时成立，故h_n=2n。则h_n^2=4n^2，前3项和为4×(1^2+2^2+3^2)=56。参考答案：569.在等比数列{p_n}中，若p_3=16，p_6=256，则该数列的前5项和等于______。解：由等比数列通项公式p_n=p_1q^{n-1}，代入p_3=p_1q^2=16，p_6=p_1q^5=256，两式相除得q^3=16，解得q=2。则p_1=16/q=8，前5项和为S_5=8(1-2^5)/(1-2)=124。参考答案：12410.若数列{q_n}满足q_1=3，q_{n+1}=q_n+n^2，则q_1+q_2+...+q_5等于______。解：由递推关系q_{n+1}=q_n+n^2，可得q_2=q_1+1=4，q_3=q_2+4=8，q_4=q_3+9=17，q_5=q_4+16=33。观察发现q_n=3+1+4+9+...+(n-1)^2=3+n(n-1)(2n-1)/6，累加可得q_1+q_2+...+q_5=3+1+4+9+16+25=72。参考答案：72三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则该数列是等差数列。（）解：由数列前n项和与通项关系a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时a_1=S_1=2。当n≥2时a_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故a_n=2n，是等差数列。参考答案：正确2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_4=16，则该数列的公比q等于±2。（）解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_4=b_1q^3=16，解得q=±2。参考答案：正确3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+n，则该数列的前5项依次为1,3,7,15,31。（）解：由递推关系c_{n+1}=2c_n+n，可得c_2=2×1+1=3，c_3=2×3+2=8，c_4=2×8+3=19，c_5=2×19+4=42。与题干不符。参考答案：错误4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_9=20，则a_5+a_7=10。（）解：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，可得a_1+a_9=2a_1+8d=20，即a_1+4d=10。则a_5+a_7=(a_1+4d)+(a_1+6d)=2a_1+10d=2×10=20。参考答案：错误5.已知数列{e_n}的前n项和为T_n=n^2+n，则e_n=2n。（）解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2。当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_n=2n。参考答案：正确6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则该数列的公比q等于3。（）解：由等比数列通项公式f_n=f_1q^{n-1}，代入f_2=f_1q=6，f_4=f_1q^3=54，两式相除得q^2=9，解得q=3。参考答案：正确7.若数列{g_n}的前n项和为A_n=n(n+1)/2，则g_n=n。（）解：由数列前n项和与通项关系g_n=A_n-A_{n-1}（n≥2），当n=1时g_1=A_1=1。当n≥2时g_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=n，验证n=1时成立，故g_n=n。参考答案：正确8.在等差数列{h_n}中，若a_3+a_8=20，则a_4+a_7=20。（）解：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，可得a_3+a_8=(a_1+2d)+(a_1+7d)=2a_1+9d=20，即a_1+4.5d=10。则a_4+a_7=(a_1+3d)+(a_1+6d)=2a_1+9d=20。参考答案：正确9.已知数列{i_n}的前n项和为B_n=2^n-1，则i_n=2^{n-1}。（）解：由数列前n项和与通项关系i_n=B_n-B_{n-1}（n≥2），当n=1时i_1=B_1=1。当n≥2时i_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时成立，故i_n=2^{n-1}。参考答案：正确10.若数列{j_n}满足j_1=2，j_{n+1}=j_n+n，则j_n=n^2-n+2。（）解：由递推关系j_{n+1}=j_n+n，可得j_2=j_1+1=3，j_3=j_2+2=5，j_4=j_3+3=8，j_5=j_4+4=12。观察发现j_n=2+n(1+2+...+(n-1))=2+n(n-1)/2=n^2-n+2，验证成立。参考答案：正确四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中a_5=10，a_10=25，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，两式相减得5d=15，解得d=3。代入a_5=10得a_1=2，故a_n=2+(n-1)×3=3n-1。2.若数列{b_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求b_3的值。解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=2。当n≥2时b_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故b_n=2n，b_3=6。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的公比q。解：由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54，两式相除得q^2=9，解得q=3。4.若数列{d_n}满足d_1=1，d_{n+1}=2d_n+n，求d_4的值。解：由递推关系d_{n+1}=2d_n+n，可得d_2=2×1+1=3，d_3=2×3+2=8，d_4=2×8+3=19。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第一年生产设备数量为10台，以后每年比前一年多生产5台，求第10年生产设备数量。解：由等差数列性质，首项a_1=10，公差d=5。第10年生产设备数量为a_{10}=a_1+9d=10+9×5=55台。2.某城市人口增长率为每年10%，已知2020年人口为100万，求2025年人口数量。解：由等比数列性质，首项b_1=100，公比q=1.1。2025年人口数量为b_5=b_1q^4=100×1.1^4≈133.1万。3.某企业投资一个项目，第一年投资100万元，以后每年比前一年多投资20万元，求前5年总投资。解：由等差数列性质，首项c_1=100，公差d=20。前5年总投资为S_5=5×[2c_1+(5-1)d]/2=5×(2×100+4×20)/2=600万元。4.某种细菌每小时分裂一次，已知初始时刻有1个细菌，求第6小时细菌数量。解：由等比数列性质，首项d_1=1，公比q=2。第6小时细菌数量为d_6=d_1q^5=1×2^5=32个。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.A3.A4.A5.D6.A7.B8.D