2025-2026年陕西省北师大版高一数学必修第二册单元测试

2025-2026年陕西省北师大版高一数学必修第二册单元测试一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在《2025-2026年陕西省北师大版高一数学必修第二册》第7单元中，关于椭圆的标准方程，下列说法正确的是（）A.椭圆的标准方程总是形如x²/a²+y²/b²=1，其中a>b>0B.当椭圆的中心在原点，焦点在x轴时，其标准方程为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1C.椭圆的离心率e满足0≤e<1，且e=c/a，其中c为焦点到中心的距离D.椭圆的准线方程为x=±a²/c，且准线与焦点关于原点对称2.根据教材第7单元例3，若椭圆的短轴长为6，焦距为2√5，则该椭圆的标准方程为（）A.x²/25+y²/9=1B.x²/9+y²/25=1C.x²/16+y²/9=1D.x²/9+y²/16=13.在《2025-2026年陕西省北师大版高一数学必修第二册》第7单元的习题中，已知点P(x,y)在椭圆x²/16+y²/9=1上运动，则点P到椭圆左准线的距离d与到右焦点的距离F的最小值之比为（）A.1/2B.2/3C.3/4D.4/54.根据教材第7单元的推导过程，若椭圆的方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)，则其焦点坐标为（）A.(±c,0)和(0,±c)B.(0,±c)和(±c,0)C.(±a,0)和(0,±a)D.(±b,0)和(0,±b)5.在《2025-2026年陕西省北师大版高一数学必修第二册》第7单元的课堂练习中，若椭圆x²/9+y²/4=1的焦点到右准线的距离为5，则该椭圆的离心率e等于（）A.1/3B.2/3C.1/2D.3/46.根据教材第7单元的例题分析，若椭圆的方程为x²/25+y²/16=1，则其上任意一点P(x,y)到左焦点的距离与到左准线的距离之比等于（）A.5/4B.4/5C.3/2D.2/37.在《2025-2026年陕西省北师大版高一数学必修第二册》第7单元的拓展练习中，若椭圆x²/a²+y²/b²=1的离心率为√3/2，且短轴长为6，则该椭圆的标准方程为（）A.x²/36+y²/27=1B.x²/27+y²/36=1C.x²/16+y²/12=1D.x²/12+y²/16=18.根据教材第7单元的习题，若椭圆的方程为x²/9+y²/4=1，则其上到右准线距离等于到右焦点距离2倍的点的轨迹方程为（）A.x²/4+y²/3=1B.x²/3+y²/4=1C.x²/5+y²/2=1D.x²/2+y²/5=19.在《2025-2026年陕西省北师大版高一数学必修第二册》第7单元的实验探究中，若将椭圆x²/9+y²/4=1沿x轴压缩为x²/9+y²/16=1，则该变换导致（）A.椭圆的离心率增大B.椭圆的短轴长度减小C.椭圆的焦点位置不变D.椭圆的准线位置不变10.根据教材第7单元的总结，若椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的焦点在x轴上，且离心率为√2/2，则a与b的关系满足（）A.a²=2b²B.b²=2a²C.a²=b²D.a=√2b二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在《2025-2026年陕西省北师大版高一数学必修第二册》第7单元中，若椭圆x²/25+y²/16=1的焦点坐标为__________。2.根据教材第7单元的例题，若椭圆的短轴长为8，离心率为1/2，则其标准方程为__________。3.在《2025-2026年陕西省北师大版高一数学必修第二册》第7单元的习题中，椭圆x²/9+y²/4=1的焦点到左准线的距离为__________。4.根据教材第7单元的推导，若椭圆的方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)，则其离心率e的表达式为__________。5.在《2025-2026年陕西省北师大版高一数学必修第二册》第7单元的实验探究中，将椭圆x²/16+y²/9=1沿y轴拉伸为x²/16+y²/25=1，则该变换导致椭圆的离心率__________。6.根据教材第7单元的习题，若椭圆x²/a²+y²/b²=1的焦点在y轴上，且离心率为√3/2，则a与b的关系满足__________。7.在《2025-2026年陕西省北师大版高一数学必修第二册》第7单元的课堂练习中，椭圆x²/9+y²/4=1上到右准线距离等于到右焦点距离3倍的点的坐标为__________。8.根据教材第7单元的例题分析，椭圆x²/25+y²/16=1的准线方程为__________。9.在《2025-2026年陕西省北师大版高一数学必修第二册》第7单元的拓展练习中，若椭圆的短轴长为10，离心率为2/3，则其标准方程为__________。10.根据教材第7单元的总结，椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的焦点到中心的距离c与准线到中心的距离d的关系为__________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在《2025-2026年陕西省北师大版高一数学必修第二册》第7单元中，若椭圆的方程为x²/9+y²/4=1，则其焦点坐标为(±√5,0)。（）2.根据教材第7单元的例题，椭圆x²/16+y²/9=1的离心率为√7/4。（）3.在《2025-2026年陕西省北师大版高一数学必修第二册》第7单元的习题中，椭圆x²/25+y²/16=1的焦点到左准线的距离为8。（）4.根据教材第7单元的推导，若椭圆的方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)，则其离心率e满足e=c/a>1。（）5.在《2025-2026年陕西省北师大版高一数学必修第二册》第7单元的实验探究中，将椭圆x²/9+y²/4=1沿x轴压缩为x²/16+y²/9=1，则该变换导致椭圆的离心率增大。（）6.根据教材第7单元的习题，若椭圆x²/a²+y²/b²=1的焦点在y轴上，且离心率为√5/3，则a与b的关系满足a²=5b²。（）7.在《2025-2026年陕西省北师大版高一数学必修第二册》第7单元的课堂练习中，椭圆x²/9+y²/4=1上到右准线距离等于到右焦点距离2倍的点的轨迹方程为x²/4+y²/3=1。（）8.根据教材第7单元的例题分析，椭圆x²/25+y²/16=1的准线方程为x=±20/3。（）9.在《2025-2026年陕西省北师大版高一数学必修第二册》第7单元的拓展练习中，若椭圆的短轴长为12，离心率为1/3，则其标准方程为x²/36+y²/9=1。（）10.根据教材第7单元的总结，椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的焦点到中心的距离c与准线到中心的距离d的关系为c²=ad。（）四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.在《2025-2026年陕西省北师大版高一数学必修第二册》第7单元中，若椭圆的方程为x²/16+y²/9=1，请写出该椭圆的焦点坐标、离心率、准线方程，并说明焦点在哪个轴上。2.根据教材第7单元的例题，已知椭圆的短轴长为10，离心率为2/3，请写出该椭圆的标准方程，并说明焦点在哪个轴上。3.在《2025-2026年陕西省北师大版高一数学必修第二册》第7单元的习题中，若椭圆x²/25+y²/16=1上一点P(x,y)满足x=3，请求点P到左焦点的距离与到左准线的距离之比。4.根据教材第7单元的推导，请解释为什么椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率e满足0≤e<1，并说明离心率e对椭圆形状的影响。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.在《2025-2026年陕西省北师大版高一数学必修第二册》第7单元的实验探究中，某科学小组发现一个椭圆模型的长轴长为10，短轴长为6，且焦点位于长轴上。请写出该椭圆的标准方程，并求其离心率。2.根据教材第7单元的习题，已知椭圆x²/9+y²/4=1的右焦点为F(√5,0)，请求该椭圆的准线方程，并说明准线与焦点的关系。3.在《2025-2026年陕西省北师大版高一数学必修第二册》第7单元的课堂练习中，若椭圆x²/16+y²/9=1上一点P(x,y)满足y=2，请求点P到右准线的距离，并说明该距离与到右焦点的距离的关系。4.根据教材第7单元的拓展练习，某工程需要设计一个椭圆轨道，已知该轨道的短轴长为8，离心率为1/2，且焦点位于短轴上。请写出该椭圆的标准方程，并求其准线方程。【标准答案及解析】一、单选题1.C解析：椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)，离心率e=c/a，其中c为焦点到中心的距离。选项A错误，因为椭圆的标准方程不总是形如x²/a²+y²/b²=1，当焦点在y轴时为y²/a²+x²/b²=1；选项B错误，因为中心在原点，焦点在x轴的椭圆标准方程为x²/a²+y²/b²=1；选项D错误，因为准线方程为x=±a²/c，且准线与焦点关于原点对称。正确答案为C。2.A解析：由题意知，短轴长为6，即2b=6，得b=3；焦距为2√5，即2c=2√5，得c=√5。因为a²=b²+c²，所以a²=3²+(√5)²=9+5=14。又因为焦点在x轴上，所以标准方程为x²/14+y²/9=1。正确答案为A。3.B解析：椭圆x²/16+y²/9=1的右焦点为F(√7,0)，右准线方程为x=16/√7。设点P(x,y)在椭圆上，则到右准线的距离为d=|x-16/√7|，到右焦点的距离为F=√[(x-√7)²+y²]。当P在椭圆上运动时，d与F的最小值之比为2/3。正确答案为B。4.A解析：椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的焦点在x轴上，其焦点坐标为(±c,0)，其中c=√(a²-b²)。正确答案为A。5.C解析：椭圆x²/25+y²/16=1的焦点到右准线的距离为5，即a²/c-√(a²-b²)/c=5。由a²=25，b²=16，得c=3。所以e=c/a=3/5。正确答案为C。6.B解析：椭圆x²/25+y²/16=1的焦点为F(±3,0)，右准线方程为x=25/3。设点P(x,y)在椭圆上，则到右焦点的距离为F=√[(x-3)²+y²]，到右准线的距离为d=x-25/3。根据椭圆的第二定义，P到右焦点的距离与到右准线的距离之比为4/5。正确答案为B。7.D解析：由题意知，短轴长为6，即2b=6，得b=3；离心率为√3/2，即e=c/a=√3/2。因为a²=b²+c²，所以a²=9+(√3/2)a²，解得a²=12。所以标准方程为x²/12+y²/9=1。正确答案为D。8.A解析：椭圆x²/9+y²/4=1的焦点为F(±√5,0)，右准线方程为x=9/√5。设点P(x,y)在椭圆上，且到右准线距离等于到右焦点距离2倍的点满足|x-9/√5|=2√[(x-√5)²+y²]。化简得x²/4+y²/3=1。正确答案为A。9.A解析：将椭圆x²/9+y²/4=1沿x轴压缩为x²/9+y²/16=1，即b²从4变为16，a²不变。所以离心率e=c/a=√(a²-b²)/a=√(9-16)/3=√7/3增大。正确答案为A。10.A解析：椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的焦点在x轴上，离心率为√2/2，即e=c/a=√2/2。因为a²=b²+c²，所以a²=b²+(√2/2)a²，解得a²=2b²。正确答案为A。二、填空题1.(±√9,0)解析：椭圆x²/25+y²/16=1的焦点坐标为(±√(25-16),0)=(±3,0)。2.x²/64+y²/48=1解析：短轴长为8，即2b=8，得b=4；离心率为1/2，即e=c/a=1/2。因为a²=b²+c²，所以a²=16+(1/2)a²，解得a²=32。所以标准方程为x²/64+y²/48=1。3.5解析：椭圆x²/9+y²/4=1的焦点到左准线的距离为a²/c-√(a²-b²)/c=9/3-√(9-4)/3=5。4.c/a解析：椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率e=c/a，其中c=√(a²-b²)。5.增大解析：将椭圆x²/16+y²/9=1沿y轴拉伸为x²/16+y²/25=1，即b²从9变为25，a²不变。所以离心率e=c/a=√(16-25)/4=-3/4，但实际计算应为e=c/a=√(16-9)/4=√7/4增大。6.a²=3b²解析：椭圆x²/a²+y²/b²=1的焦点在y轴上，离心率为√3/2，即e=c/a=√3/2。因为a²=b²+c²，所以a²=b²+(√3/2)a²，解得a²=3b²。7.(3√2,2)解析：椭圆x²/9+y²/4=1的焦点为F(±√5,0)，右准线方程为x=9/√5。设点P(x,y)满足|x-9/√5|=3√[(x-√5)²+y²]，代入x=3得y=2。8.x=±9/√5解析：椭圆x²/25+y²/16=1的焦点为F(±3,0)，准线方程为x=25/3。9.x²/36+y²/9=1解析：短轴长为10，即2b=10，得b=5；离心率为2/3，即e=c/a=2/3。因为a²=b²+c²，所以a²=25+(2/3)a²，解得a²=36。所以标准方程为x²/36+y²/9=1。10.c²=ad解析：椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的焦点到中心的距离c与准线到中心的距离d的关系为c²=ad，其中d=±a²/c。三、判断题1.×解析：椭圆x²/9+y²/4=1的焦点坐标为(±√5,0)，不是(±√5,0)。2.×解析：椭圆x²/16+y²/9=1的离心率为√(16-9)/4=√7/4，不是√7/4。3.×解析：椭圆x²/25+y²/16=1的焦点到左准线的距离为9/3-√(25-16)/3=5，不是8。4.×解析：椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率e=c/a，其中c=√(a²-b²)，所以0≤e<1。5.×解析：将椭圆x²/9+y²/4=1沿x轴压缩为x²/16+y²/9=1，即b²从4变为16，a²不变。所以离心率e=c/a=√(9-16)/3=-√7/3，但实际计算应为e=c/a=√(9-4)/3=√5/3增大。6.×解析：椭圆x²/a²+y²/b²=1的焦点在y轴上，离心率为√5/3，即e=c/a=√5/3。因为a²=b²+c²，所以a²=b²+(√5/3)a²，解得a²=5b²。7.×解析：椭圆x²/9+y²/4=1上到右准线距离等于到右焦点距离2倍的点的轨迹方程为x²/4+y²/3=1，不是x²/4+y²/3=1。8.×解析：椭圆x²/25+y²/16=1的准线方程为x=±25/√5=±5√5，不是x=±20/3。9.×解析：若椭圆的短轴长为12，即2b=12，得b=6；离心率为1/3，即e=c/a=1/3。因为a²=b²+c²，所以a²=36+(1/3)a²，解得a²=108。所以标准方程为x²/108+y²/36=1。10.×解析：椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的焦点到中心的距离c与准线到中心的距离d的关系为c²=ad，不是c²=ad。四、简答题1.解：椭圆x²/16+y²/9=1的焦点坐标为(±√(16-9),0)=(±√7,0)，离心率e=c/a=√7/4，准线方程为x=±16/√7，焦点在x轴上。2.解：由题意知，2b=10，得b=5；e=c/a=2/3。因为a²=b²+c²，所以a²=25+(2/3)a²，解得a²=75/1=75。所以标准方程为x²/75+y²/25=1，焦点在y轴上。3.解：椭圆x²/9+y²/4=1的焦点为F(±√5,0)，右准线方程为x=9/√5。当x=3时，点P(3,y)在椭圆上，满足9/9+y²/4=1，得y²=4/3，y=±2√3/3。到右焦点的距离