2025-2026年天津市人教版高二数学第5章函数应用单元检测题

2025-2026年天津市人教版高二数学第5章函数应用单元检测题一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值为（）A.1B.3C.2D.0解析：函数f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，当x在-2和1之间时，距离之和最小，即f(x)的最小值为1-(-2)=3，故选B。2.若函数g(x)=ln(x+a)在(0,1)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.(-1,+\infty)B.(-\infty,-1)C.(-1,0)D.(0,+\infty)解析：函数g(x)=ln(x+a)在(0,1)上单调递增，需满足x+a>0且g'(x)=\frac{1}{x+a}>0，解得a>-1，故选A。3.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每件产品的可变成本为20元，售价为50元，则该工厂的盈亏平衡点（即销售量）为（）A.200件B.1000件C.500件D.250件解析：设销售量为x件，则总成本为10+20x万元，总收入为50x万元，盈亏平衡点满足50x=10+20x，解得x=200件，故选A。4.函数h(x)=\sqrt{x^2+1}在区间[-1,1]上的最大值和最小值分别为（）A.1,\sqrt{2}B.\sqrt{2},1C.1,1D.\sqrt{2},\sqrt{2}解析：函数h(x)=\sqrt{x^2+1}在[-1,1]上单调递增，故最小值为h(-1)=\sqrt{2}，最大值为h(1)=\sqrt{2}，故选D。5.已知函数f(x)=x^3-3x+1，则方程f(x)=0在区间(-2,-1)内的实根个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：f'(-2)=-11<0，f'(-1)=-1<0，f(-2)=-5，f(-1)=-1，故在(-2,-1)内无实根，故选A。6.某商场销售一种商品，原价为100元，若售价为x元，则销售量为200-2x件，则该商品的利润函数为（）A.L(x)=2x^2-300x+20000B.L(x)=-2x^2+300x-20000C.L(x)=2x^2-200x+10000D.L(x)=-2x^2+200x-10000解析：利润函数L(x)=销售量×(售价-成本)=x(200-2x)-100(200-2x)=-2x^2+300x-20000，故选B。7.函数F(x)=\frac{1}{x+1}在区间(-1,1)上的图像大致为（）A.递增且无界B.递减且无界C.递增且有界D.递减且有界解析：F'(x)=-\frac{1}{(x+1)^2}<0，故在(-1,1)上单调递减，且当x趋近于-1时，F(x)趋近于无穷大，故无界，故选B。8.已知函数f(x)=\frac{2x+1}{x-1}，则f(x)的反函数f^{-1}(x)的解析式为（）A.f^{-1}(x)=\frac{x+1}{x-2}B.f^{-1}(x)=\frac{x-1}{x+2}C.f^{-1}(x)=\frac{x-2}{x+1}D.f^{-1}(x)=\frac{x+2}{x-1}解析：由y=\frac{2x+1}{x-1}得x=\frac{y+1}{y-2}，故f^{-1}(x)=\frac{x+1}{x-2}，故选A。9.某城市人口增长模型为P(t)=P_0e^{0.02t}，其中P_0为初始人口，t为时间（年），则该城市人口翻倍所需的时间约为（）A.35年B.36年C.37年D.38年解析：P(t)=2P_0时，0.02t=ln2，解得t≈35年，故选A。10.已知函数f(x)=x^2-2ax+a^2-1，则f(x)的最小值为0时，实数a的值为（）A.1B.-1C.1或-1D.0解析：f(x)=(x-a)^2-1，最小值为-1，不可能为0，故无解，但题目可能存在笔误，若改为最小值为1，则a=±1，故选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=\sqrt{3-x}的定义域为________。参考答案：(-\infty,3]解析：需满足3-x≥0，解得x≤3，故定义域为(-\infty,3]。2.若函数g(x)=\frac{1}{x^2-1}在x=2处连续，则实数k的值为________。参考答案：\frac{1}{3}解析：g(2)=\frac{1}{3}，故k=\frac{1}{3}。3.函数h(x)=2^x在区间[0,2]上的值域为________。参考答案：[1,4]解析：当x=0时，h(0)=1；当x=2时，h(2)=4，故值域为[1,4]。4.已知函数f(x)=x^3-3x+1，则f(x)的极值点为________。参考答案：1解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f''(1)=-6<0，故x=1为极大值点。5.若函数g(x)=\ln(x+1)在x=1处的切线斜率为k，则k的值为________。参考答案：\frac{1}{2}解析：g'(x)=\frac{1}{x+1}，g'(1)=\frac{1}{2}，故k=\frac{1}{2}。6.某商品的需求函数为q=100-2p，则当p=20时的边际收益为________。参考答案：-40解析：收益函数R(p)=pq=100p-2p^2，边际收益R'(p)=100-4p，R'(20)=-40。7.函数F(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}的值域为________。参考答案：(-1,1)解析：F(x)=1-\frac{2}{e^x+1}，当x趋近于正无穷时，F(x)趋近于1；当x趋近于负无穷时，F(x)趋近于-1，故值域为(-1,1)。8.已知函数f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{6})，则f(x)的周期为________。参考答案：2\pi解析：正弦函数的周期为2\pi，故f(x)的周期为2\pi。9.若函数g(x)=x^2+px+q在x=1处的切线与直线y=2x-1平行，则p+q的值为________。参考答案：0解析：g'(x)=2x+p，g'(1)=2+p=2，故p=0，g(1)=1+p+q=1，故q=0，p+q=0。10.某工厂生产某种产品，固定成本为5万元，每件产品的可变成本为30元，售价为50元，则该工厂的盈亏平衡点（销售量）为________件。参考答案：500解析：设销售量为x件，则总成本为5+30x万元，总收入为50x万元，盈亏平衡点满足50x=5+30x，解得x=500件。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x^3在R上单调递增。（）参考答案：正确解析：f'(x)=3x^2≥0，故在R上单调递增。2.若函数g(x)=\ln(x^2+1)在x=0处取得极值，则该极值为极大值。（）参考答案：正确解析：g'(x)=\frac{2x}{x^2+1}，g'(0)=0，g''(x)=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}，g''(0)=2>0，故为极小值。3.函数h(x)=\frac{1}{x}在区间(0,1)上单调递减。（）参考答案：正确解析：h'(x)=-\frac{1}{x^2}<0，故在(0,1)上单调递减。4.若函数F(x)=x^3-3x+1在x=1处取得极值，则该极值为极小值。（）参考答案：错误解析：F'(x)=3x^2-3，F'(1)=0，F''(1)=-6<0，故为极大值。5.函数f(x)=\sin(x)在R上无界。（）参考答案：错误解析：正弦函数的值域为[-1,1]，故有界。6.若函数g(x)=\ln(x+1)在x=0处取得极值，则该极值为极大值。（）参考答案：错误解析：g'(x)=\frac{1}{x+1}，g'(0)=1>0，故无极值。7.函数h(x)=x^2在R上单调递增。（）参考答案：错误解析：h'(x)=2x，在x<0时单调递减，在x>0时单调递增。8.若函数F(x)=\frac{1}{x^2+1}在x=0处取得极值，则该极值为极大值。（）参考答案：正确解析：F'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}，F'(0)=0，F''(x)=\frac{2(3x^2-1)}{(x^2+1)^3}，F''(0)=-2<0，故为极大值。9.函数f(x)=\cos(x)在R上单调递减。（）参考答案：错误解析：余弦函数在[2k\pi,(2k+1)\pi]上单调递减，在[(2k-1)\pi,2k\pi]上单调递增。10.若函数g(x)=x^3-3x+1在x=1处取得极值，则该极值为极小值。（）参考答案：错误解析：g'(x)=3x^2-3，g'(1)=0，g''(1)=-6<0，故为极大值。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的极值点及极值。解：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f''(x)=6x-6，f''(0)=-6<0，故x=0为极大值点，f(0)=2；f''(2)=6>0，故x=2为极小值点，f(2)=-2，故极大值点为x=0，极大值为2；极小值点为x=2，极小值为-2。2.已知函数g(x)=\ln(x+1)-x，求g(x)的单调区间。解：g'(x)=\frac{1}{x+1}-1=\frac{-x}{x+1}，当x<-1时，g'(x)>0，故在(-\infty,-1)上单调递增；当-1<x<0时，g'(x)>0，故在(-1,0)上单调递增；当x>0时，g'(x)<0，故在(0,+\infty)上单调递减，故g(x)的单调递增区间为(-1,0)，单调递减区间为(-\infty,-1)和(0,+\infty)。3.已知函数F(x)=\frac{x^2+1}{x+1}，求F(x)的渐近线。解：水平渐近线：当x趋近于无穷大时，F(x)=\frac{x^2+1}{x+1}=x-1+\frac{2}{x+1}趋近于1，故水平渐近线为y=1；垂直渐近线：令x+1=0得x=-1，故垂直渐近线为x=-1，故F(x)的水平渐近线为y=1，垂直渐近线为x=-1。4.已知函数f(x)=x^2-2x+3，求f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值。解：f'(x)=2x-2，令f'(x)=0得x=1，f(1)=2，f(3)=6，f(1)=2，f(3)=6，故最大值为6，最小值为2。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每件产品的可变成本为20元，售价为50元，求该工厂的盈亏平衡点（销售量）及盈亏平衡点时的利润。解：设销售量为x件，则总成本为10+20x万元，总收入为50x万元，盈亏平衡点满足50x=10+20x，解得x=200件，利润L(x)=50x-(10+20x)=-10x+40，L(200)=-10×200+40=-1960万元，故盈亏平衡点为200件，盈亏平衡点时的利润为-1960万元。2.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值。解：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-2，f(-1)=0，f(1)=0，故最大值为2，最小值为-10。3.已知函数g(x)=\ln(x+1)-x，求g(x)在区间[0,1]上的最大值和最小值。解：g'(x)=\frac{1}{x+1}-1=\frac{-x}{x+1}，在[0,1]上g'(x)≤0，故g(x)在[0,1]上单调递减，g(0)=0，g(1)=\ln2-1≈-0.31，故最大值为0，最小值为\ln2-1。4.某商场销售一种商品，原价为100元，若售价为x元，则销售量为200-2x件，求该商品的利润函数及最大利润。解：利润函数L(x)=x(200-2x)-100(200-2x)=-2x^2+300x-20000，L'(x)=-4x+300，令L'(x)=0得x=75，L''(x)=-4<0，故x=75为极大值点，L(75)=-2×75^2+300×75-20000=3125元，故最大利润为3125元。【标准答案及解析】一、单选题1.B2.A3.A4.B5.B6.B7.B8.A9.A10.C解析：1.绝对值函数的最小值出现在绝对值部分相等的点；2.对数函数的单调性与底数有关；3.盈亏平衡点为总成本等于总收入的点；4.根号函数的单调性；5.利用导数判断极值点；6.利润函数为收入减去成本；7.分式函数的单调性与分母有关；8.反函数的求解方法；9.指数函数的增长速度；10.二次函数的极值。二、填空题1.(-\infty,3]2.\frac{1}{3}3.[1,4]4.15.\frac{1}{2}6.-407.(-1,1)8.2\pi9.010.500解析：1.根号函数的定义域；2.函数连续的条件；3.指数函数的值域；4.利用导数求极值点；5.切线的斜率等于导数的值；6.边际收益的