2025-2026年湖南省湘教版高二数学第四章数列概念练习题

2025-2026年湖南省湘教版高二数学第四章数列概念练习题一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在数列{a_n}中，若a_1=2，a_n+1=3a_n-1，则该数列的通项公式a_n等于（）A.3^n-1B.2×3^(n-1)C.3^n+1D.2×3^n-1解析：由递推关系a_n+1=3a_n-1，可变形为a_n+1-1=3(a_n-1)，设b_n=a_n-1，则b_n+1=3b_n，即{b_n}是首项为1、公比为3的等比数列，b_n=3^(n-1)，故a_n=b_n+1=3^(n-1)+1，选项C正确。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n/(S_n-1)，则该数列一定是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.阿达玛数列解析：由a_n=S_n/(S_n-1)，可得a_n=1+1/(S_n-1)，则S_n-a_n=1/(S_n-1)，即S_n^2-S_n-a_n=0，对n≥2，有S_(n-1)^2-S_(n-1)-a_(n-1)=0，两式相减得2S_nS_(n-1)-S_n-S_(n-1)=a_n-a_(n-1)，整理得(S_n-S_(n-1))(2S_n+2S_(n-1)-1)=0，由于S_n-S_(n-1)=a_n≠0，故2S_n+2S_(n-1)-1=0，即S_n=-S_(n-1)+1/2，可得S_n-S_(n-1)=-S_(n-1)+1/2，即a_n=-a_(n-1)+1/2，故数列{a_n}是等差数列，选项A正确。3.若数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则该数列的第5项a_5等于（）A.31B.63C.127D.255解析：由递推关系a_n+1=2a_n+1，可变形为a_n+1+1=2(a_n+1)，设b_n=a_n+1，则b_n+1=2b_n，即{b_n}是首项为2、公比为2的等比数列，b_n=2^n，故a_n=b_n-1=2^n-1，则a_5=2^5-1=31，选项A正确。4.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3^n-1，则该数列的第3项a_3等于（）A.8B.18C.26D.34解析：由S_n=3^n-1，可得a_1=S_1=3^1-1=2，a_2=S_2-S_1=3^2-1-2=8，a_3=S_3-S_2=3^3-1-8=26，选项C正确。5.若数列{a_n}满足a_n=a_(n-1)+a_(n-2)（n≥3），且a_1=1，a_2=2，则该数列的第6项a_6等于（）A.13B.21C.34D.55解析：由递推关系a_n=a_(n-1)+a_(n-2)，可得a_3=a_2+a_1=3，a_4=a_3+a_2=5，a_5=a_4+a_3=8，a_6=a_5+a_4=13，选项A正确。6.已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1，则该数列的前10项和S_10等于（）A.100B.200C.300D.400解析：由a_n=2n-1，可得S_n=1+3+5+...+(2n-1)=n^2，故S_10=10^2=100，选项A正确。7.若数列{a_n}满足a_n=n(n+1)/2，则该数列的第4项a_4等于（）A.10B.12C.15D.20解析：由a_n=n(n+1)/2，可得a_4=4×(4+1)/2=10，选项A正确。8.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则该数列的第2项a_2等于（）A.3B.4C.5D.6解析：由S_n=n^2+n，可得a_1=S_1=1^2+1=2，a_2=S_2-S_1=2^2+2-2=4，选项B正确。9.若数列{a_n}满足a_n=a_(n-1)+2（n≥2），且a_1=1，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n-1B.2n+1C.n+1D.n-1解析：由递推关系a_n=a_(n-1)+2，可得a_n=1+2(n-1)=2n-1，选项A正确。10.已知数列{a_n}的通项公式为a_n=3^n，则该数列的前3项和S_3等于（）A.13B.40C.91D.121解析：由a_n=3^n，可得S_3=3^1+3^2+3^3=3+9+27=39，选项B正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1，则该数列的前5项和S_5等于______。解：由a_n=2n+1，可得S_5=3+5+7+9+11=35，参考答案：35。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则该数列的第4项a_4等于______。解：由S_n=2^n-1，可得a_4=S_4-S_3=16-8=8，参考答案：8。3.若数列{a_n}满足a_n=a_(n-1)+3（n≥2），且a_1=2，则该数列的通项公式a_n等于______。解：由递推关系a_n=a_(n-1)+3，可得a_n=2+3(n-1)=3n-1，参考答案：3n-1。4.已知数列{a_n}的通项公式为a_n=5^n，则该数列的前2项和S_2等于______。解：由a_n=5^n，可得S_2=5^1+5^2=5+25=30，参考答案：30。5.若数列{a_n}满足a_n=a_(n-1)-2（n≥2），且a_1=10，则该数列的第3项a_3等于______。解：由递推关系a_n=a_(n-1)-2，可得a_3=10-2×2=6，参考答案：6。6.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n(n+1)/2，则该数列的第3项a_3等于______。解：由S_n=n(n+1)/2，可得a_3=S_3-S_2=6-3=3，参考答案：3。7.若数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-3，则该数列的前4项和S_4等于______。解：由a_n=2n-3，可得S_4=-1+1+3+5=8，参考答案：8。8.已知数列{a_n}满足a_n=2a_(n-1)+1（n≥2），且a_1=1，则该数列的通项公式a_n等于______。解：由递推关系a_n=2a_(n-1)+1，设b_n=a_n+1，则b_n=2b_(n-1)，即{b_n}是首项为2、公比为2的等比数列，b_n=2^n，故a_n=b_n-1=2^n-1，参考答案：2^n-1。9.若数列{a_n}的前n项和为S_n=3^n-2，则该数列的第2项a_2等于______。解：由S_n=3^n-2，可得a_2=S_2-S_1=7-1=6，参考答案：6。10.已知数列{a_n}满足a_n=a_(n-1)+n（n≥2），且a_1=1，则该数列的第4项a_4等于______。解：由递推关系a_n=a_(n-1)+n，可得a_4=1+2+3+4=10，参考答案：10。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的通项公式为a_n=n^2，则该数列是等差数列。（×）解析：由a_n=n^2，可得a_n-a_(n-1)=(n^2-(n-1)^2)=2n-1，不是常数，故该数列不是等差数列。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则该数列是等比数列。（×）解析：由S_n=n^2+n，可得a_n=S_n-S_(n-1)=2n，是等差数列，故该数列不是等比数列。3.若数列{a_n}满足a_n=a_(n-1)+1（n≥2），且a_1=1，则该数列是等差数列。（√）解析：由递推关系a_n=a_(n-1)+1，可得a_n-a_(n-1)=1，是常数，故该数列是等差数列。4.已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n，则该数列是等比数列。（√）解析：由a_n=2^n，可得a_n/a_(n-1)=2^(n)/(2^(n-1))=2，是常数，故该数列是等比数列。5.若数列{a_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则该数列是等比数列。（√）解析：由S_n=2^n-1，可得a_n=S_n-S_(n-1)=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)，是等比数列。6.已知数列{a_n}满足a_n=a_(n-1)+2n（n≥2），且a_1=1，则该数列是等差数列。（×）解析：由递推关系a_n=a_(n-1)+2n，可得a_n-a_(n-1)=2n，不是常数，故该数列不是等差数列。7.若数列{a_n}的通项公式为a_n=3n-1，则该数列是等差数列。（√）解析：由a_n=3n-1，可得a_n-a_(n-1)=3，是常数，故该数列是等差数列。8.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2，则该数列是等比数列。（×）解析：由S_n=n^2，可得a_n=S_n-S_(n-1)=2n-1，是等差数列，故该数列不是等比数列。9.若数列{a_n}满足a_n=2a_(n-1)+1（n≥2），且a_1=1，则该数列是等比数列。（×）解析：由递推关系a_n=2a_(n-1)+1，设b_n=a_n+1/3，则b_n=2b_(n-1)，即{b_n}是首项为4/3、公比为2的等比数列，但原数列不是等比数列。10.已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n，则该数列是等差数列。（√）解析：由a_n=n，可得a_n-a_(n-1)=1，是常数，故该数列是等差数列。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1，求该数列的前n项和S_n的表达式。解：由a_n=2n-1，可得S_n=1+3+5+...+(2n-1)，当n=1时，S_1=1；当n≥2时，S_n-S_(n-1)=2n-1，故S_n=1+2+4+...+(2n-2)+(2n-1)=n^2，所以S_n=n^2。2.若数列{a_n}满足a_n=a_(n-1)+3（n≥2），且a_1=2，求该数列的通项公式a_n。解：由递推关系a_n=a_(n-1)+3，可得a_n=2+3(n-1)=3n-1，所以a_n=3n-1。3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2^n-1，求该数列的第3项a_3。解：由S_n=2^n-1，可得a_3=S_3-S_2=7-3=4，所以a_3=4。4.若数列{a_n}满足a_n=2a_(n-1)+1（n≥2），且a_1=1，求该数列的前4项和S_4。解：由递推关系a_n=2a_(n-1)+1，可得a_2=2a_1+1=3，a_3=2a_2+1=7，a_4=2a_3+1=15，所以S_4=1+3+7+15=26。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备的数量，已知第一年生产设备数量为10台，以后每年比上一年多生产5台，求该工厂第5年生产设备数量。解：由题意可得数列{a_n}满足a_1=10，a_n-a_(n-1)=5（n≥2），所以a_n=10+5(n-1)=5n+5，故第5年生产设备数量为a_5=5×5+5=30台。2.某城市人口增长速度每年递增10%，已知2020年人口为100万，求2023年该城市人口数量。解：由题意可得数列{a_n}满足a_1=100，a_n=1.1a_(n-1)（n≥2），所以a_n=100×1.1^(n-1)，故2023年该城市人口数量为a_4=100×1.1^3≈133.1万。3.某公司员工工资每年上涨2000元，已知第一年工资为8000元，求该员工第4年工资。解：由题意可得数列{a_n}满足a_1=8000，a_n-a_(n-1)=2000（n≥2），所以a_n=8000+2000(n-1)=2000n+6000，故第4年工资为a_4=2000×4+6000=14000元。4.某种细菌每小时分裂一次，已知初始时刻有1个细菌，求第6小时该细菌数量。解：由题意可得数列{a_n}满足a_1=1，a_n=2a_(n-1)（n≥2），所以a_n=1×2^(n-1)=2^(n-1)，故第6小时该细菌数量为a_6=2^5=32个。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.A3.A4.C5.A6.A7.A8.B9.A10.B二、填空题1.352.83.3n-14.305.66.37.88.2^n-19.610.10三、判断题1.×2.×3.√4.√5.√6.×7.√8.×9.×10.√四、简答题1.S_n=n^22.a_n=3n-13.a_3=44.S_4=26五、应用题1.a_5=30台2.a_4≈133.1万3.a_4=14000元4.a_6=32个【解析】一、单选题1.由递推关系a_n+1=3a_n-1，设b_n=a_n-1/2，则b_n+1=3b_n，即{b_n}是首项为3/2、公比为3的等比数列，b_n=(3/2)×3^(n-1)，故a_n=b_n+1/2=3^(n-1)+1/2，选项C正确。2.由a_n=S_n/(S_n-1)，可得a_n=1+1/(S_n-1)，则S_n-a_n=1/(S_n-1)，即S_n^2-S_n-a_n=0，对n≥2，有S_(n-1)^2-S_(n-1)-a_(n-1)=0，两式相减得2S_nS_(n-1)-S_n-S_(n-1)=a_n-a_(n-1)，由于S_n-S_(n-1)=a_n≠0，故2S_n+2S_(n-1)-1=0，即S_n=-S_(n-1)+1/2，可得S_n-S_(n-1)=-S_(n-1)+1/2，即a_n=-a_(n-1)+1/2，故数列{a_n}是等差数列，选项A正确。3.由递推关系a_n+1=2a_n+1，可变形为a_n+1-1=2(a_n-1)，设b_n=a_n-1，则b_n+1=2b_n，即{b_n}是首项为1、公比为2的等比数列，b_n=2^(n-1)，故a_n=b_n+1=2^(n-1)+1，选项A正确。4.由S_n=n^2+n，可得a_n=S_n-S_(n-1)=2n，是等差数列，故a_4=S_4-S_3=8-6=2，选项B正确。5.由递推关系a_n=a_(n-1)+a_(n-2)，可得a_3=a_2+a_1=3，a_4=a_3+a_2=5，a_5=a_4+a_3=8，a_6=a_5+a_4=13，选项A正确。6.由a_n=2n-1，可得S_10=1+3+5+...+19=100，选项A正确。7.由a_n=n(n+1)/2，可得a_4=4×5/2=10，选项A正确。8.由S_n=n^2+n，可得a_2=S_2-S_1=6-2=4，选项B正确。9.由递推关系a_n=a_(n-1)+2，可得a_3=10-2×2=6，选项C正确。10.由a_n=3^n，可得S_3=3+9+27=39，选项B正确。二、填空题1.由a_n=2n+1，可得S_5=15+25+35+45+55=165，参考答案：165。2.由S_n=2^n-1，可得a_4=S_4-S_3=31-15=16，参考答案：16。3.由递推关系a_n=a_(n-1)+3，设b_n=a_n-3，则b_n+1=b_n，即{b_n}是常数列，b_n=1，故a_n=b_n+3=3n-2，参考答案：3n-2。4.由a_n=5^n，可得S_2=5+25=30，参考答案：30。5.由递推关系a_n=a_(n-1)-2，可得a_3=10-2×2=6，参考答案：6。6.由S_n=n(n+1)/2，可得a_3=S_3-S_2=6-3=3，参考答案：3。7.由a_n=2n-3，可得S_4=-1+1+3+5=8，参考答案：8。8.由递推关系a_n=2a_(n-1)+1，设b_n=a_n+1/3，则b_n=2b_(n-1)，即{b_n}是首项为4/3、公比为2的等比数列，b_n=(4/3)×2^(n-1)，故a_n=b_n-1/3=(4/3)×2^(n-1)-1/3，参考答案：(4/3)×2^(n-1)-1/3。9.由S_n=3^n-2，可得a_2=S_2-S_1=7-1=6，参考答案：6。10.由递推关系a_n=a_(n-1)+n，可得a_4=1+2+3+4=10，参考答案：10。三、判断题1.由a_n=n^2，可得a_n-a_(n-1)=2n-1，不是常数，故该数列不是等差数列，选项×正确。2.由S_n=n^2，可得a_n=S_n-S_(n-1)=2n-1，是等差数列，故该数列不是等比数列，选项×正确。3.由递推关系a_n=a_(n-1)+1，可得a_n-a_(n-1)=1，是常数，故该数列是等差数列，选项√正确。4.由a_n=2^n，可得a_n/a_(n-1)=2^(n)/(2^(n-1))=2，是常数，故该数列是等比数列，选项√正确。5.由S_n=2^n-1，可得a_n=S_n-S_(n-1)=2^(n-1)，是等比数列，选项√正确。6.由递推关系a_n=a_(n-1)+2n，可得a_n-a_(n-1)=2n，不是常数，故该数列不是等差数列，选项×正确。7.由a_n=3n-1，可得a_n-a_(n-1)=3，是常数，故该数列是等差数列，选项√正确。8.由S_n=n^2，可得a