2025-2026年天津市人教版高二数学第12章数列单元检测卷

2025-2026年天津市人教版高二数学第12章数列单元检测卷一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A为6n-3=3(2n-1)，与通项公式不符；选项B为2n+1，不符合等差性质；选项C为3n，不符合首项和公差；选项D为4n-1，不符合通项公式。正确答案为A。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1。当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时成立，故b_n=2^{n-1}，b_4=2^3=8。正确答案为A。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，可得c_2=c_1+2=3，c_3=c_2+4=7，c_4=c_3+6=13，c_5=c_4+8=21，c_6=c_5+10=31。观察发现c_n=c_{n-1}+2(n-1)，累加可得c_n=c_1+2(1+2+...+(n-1))=1+n(n-1)=n^2-n+1，验证n=6时成立，故c_6=6^2-6+1=31。正确答案为D。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，两式相除得q^2=9，解得q=±3。选项A为3，选项C为-3，均符合条件。需进一步验证d_1，由d_2=6可得d_1=6/q，代入d_4=54得(6/q)×q^3=54，解得q=3。正确答案为A。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值为（）A.9B.10C.11D.12解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2。当n≥2时e_n=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n-1，验证n=1时成立，故e_n=2n-1，e_3=2×3-1=5。正确答案为B。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则f_5的值等于（）A.10B.11C.12D.13解析：由递推关系f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，可得f_2=f_1+log_2(2)=3，f_3=f_2+log_2(3)=3+log_2(3)，f_4=f_3+log_2(4)=3+log_2(3)+2，f_5=f_4+log_2(5)=3+log_2(3)+2+log_2(5)。观察发现f_n=f_1+∑_{k=2}^{n}log_2(k)=2+∑_{k=2}^{n}log_2(k)=2+log_2(2×3×4×...×n)=2+log_2(n!)，验证n=5时成立，故f_5=2+log_2(5!)。计算5!=120，log_2(120)≈6.9069，f_5≈8.9069。选项B为11，最接近计算结果。正确答案为B。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9的值等于（）A.20B.22C.24D.26解析：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，可得a_3=a_1+2d，a_7=a_1+6d，a_3+a_7=2a_1+8d=18。同理a_5=a_1+4d，a_9=a_1+8d，a_5+a_9=2a_1+12d=18+4d。设x=a_5+a_9，则x-18=4d，即x=18+4d。又由a_3+a_7=18可得2a_1+8d=18，即a_1+4d=9。故x=2(a_1+4d)=2×9=18。正确答案为A。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=3^n-1，则h_4的值等于（）A.26B.27C.28D.29解析：由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=U_1=2。当n≥2时h_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故h_n=2×3^{n-1}，h_4=2×3^3=54。正确答案为D。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+2n+1，则i_6的值等于（）A.21B.22C.23D.24解析：由递推关系i_{n+1}=i_n+2n+1，可得i_2=i_1+3=4，i_3=i_2+5=9，i_4=i_3+7=16，i_5=i_4+9=25，i_6=i_5+11=36。观察发现i_n=i_{n-1}+2(n-1)+1，累加可得i_n=i_1+∑_{k=1}^{n-1}[2k+1]=1+n^2，验证n=6时成立，故i_6=6^2=36。正确答案为D。10.在等比数列{j_n}中，若j_3=12，j_5=96，则该数列的公比q等于（）A.2B.3C.-2D.-3解析：由等比数列通项公式j_n=j_1q^{n-1}，代入j_3=j_1q^2=12，j_5=j_1q^4=96，两式相除得q^2=8，解得q=±√8=±2√2。选项A为2，选项C为-2，均符合条件。需进一步验证j_1，由j_3=12可得j_1=12/q^2，代入j_5=96得(12/q^2)×q^4=96，解得q=2。正确答案为A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}的首项为5，公差为-2，则该数列的前10项和S_{10}等于________。解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入a_1=5，d=-2，n=10，可得S_{10}=10/2[2×5+(10-1)×(-2)]=5[10-18]=5×(-8)=-40。参考答案：-402.已知数列{b_n}的前n项和T_n=2n^2-3n，则b_4的值等于________。解：由数列前n项和与通项关系b_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=T_1=-1。当n≥2时b_n=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，验证n=1时成立，故b_n=4n-5，b_4=4×4-5=11。参考答案：113.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+n，则c_5的值等于________。解：由递推关系c_{n+1}=c_n+n，可得c_2=c_1+1=3，c_3=c_2+2=5，c_4=c_3+3=8，c_5=c_4+4=12。观察发现c_n=c_{n-1}+n，累加可得c_n=c_1+1+2+...+n=2+n(n+1)/2，验证n=5时成立，故c_5=2+5×6/2=17。参考答案：174.在等比数列{d_n}中，若d_2=4，d_4=64，则该数列的公比q等于________。解：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=4，d_4=d_1q^3=64，两式相除得q^2=16，解得q=±4。选项A为4，选项C为-4，均符合条件。需进一步验证d_1，由d_2=4可得d_1=4/q，代入d_4=64得(4/q)×q^3=64，解得q=4。参考答案：45.已知数列{e_n}的前n项和V_n=n^2+2n，则e_3的值等于________。解：由数列前n项和与通项关系e_n=V_n-V_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=V_1=3。当n≥2时e_n=n^2+2n-[（n-1）^2+2(n-1)]=2n+1，验证n=1时成立，故e_n=2n+1，e_3=2×3+1=7。参考答案：76.若数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=f_n+3n，则f_6的值等于________。解：由递推关系f_{n+1}=f_n+3n，可得f_2=f_1+3=6，f_3=f_2+6=12，f_4=f_3+9=21，f_5=f_4+12=33，f_6=f_5+15=48。观察发现f_n=f_{n-1}+3(n-1)，累加可得f_n=f_1+3(1+2+...+(n-1))=3+n(n-1)，验证n=6时成立，故f_6=3+6×5=33。参考答案：337.在等差数列{g_n}中，若a_4+a_8=20，则a_5+a_9的值等于________。解：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，可得a_4=a_1+3d，a_8=a_1+7d，a_4+a_8=2a_1+10d=20。同理a_5=a_1+4d，a_9=a_1+8d，a_5+a_9=2a_1+12d=20+2d。设x=a_5+a_9，则x-20=2d，即x=20+2d。又由a_4+a_8=20可得2a_1+10d=20，即a_1+5d=10。故x=2(a_1+5d)=2×10=20。参考答案：208.已知数列{h_n}的前n项和W_n=5^n-1，则h_5的值等于________。解：由数列前n项和与通项关系h_n=W_n-W_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=W_1=4。当n≥2时h_n=5^n-1-(5^{n-1}-1)=4×5^{n-1}，验证n=1时成立，故h_n=4×5^{n-1}，h_5=4×5^4=500。参考答案：5009.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+2n-1，则i_7的值等于________。解：由递推关系i_{n+1}=i_n+2n-1，可得i_2=i_1+1=2，i_3=i_2+3=5，i_4=i_3+5=10，i_5=i_4+7=17，i_6=i_5+9=26，i_7=i_6+11=37。观察发现i_n=i_{n-1}+2(n-1)-1，累加可得i_n=i_1+∑_{k=1}^{n-1}[2k-1]=1+n^2-1=n^2，验证n=7时成立，故i_7=7^2=49。参考答案：4910.在等比数列{j_n}中，若j_3=8，j_5=32，则该数列的公比q等于________。解：由等比数列通项公式j_n=j_1q^{n-1}，代入j_3=j_1q^2=8，j_5=j_1q^4=32，两式相除得q^2=4，解得q=±2。选项A为2，选项C为-2，均符合条件。需进一步验证j_1，由j_3=8可得j_1=8/q^2，代入j_5=32得(8/q^2)×q^4=32，解得q=2。参考答案：2三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则该数列是等差数列。解：由数列前n项和与通项关系a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时a_1=S_1=1。当n≥2时a_n=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5，验证n=1时成立，故a_n=6n-5。该数列的公差为d=a_{n+1}-a_n=6(n+1)-5-(6n-5)=6，为常数，故该数列是等差数列。参考答案：正确2.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_4=16，则该数列的公比q等于4。解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_1=2，b_4=16，可得16=2q^3，解得q=2。选项为4，与计算结果不符。参考答案：错误3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+n^2，则该数列的前5项和为55。解：由递推关系c_{n+1}=c_n+n^2，可得c_2=c_1+1=2，c_3=c_2+4=6，c_4=c_3+9=15，c_5=c_4+16=31。前5项和为1+2+6+15+31=55。参考答案：正确4.在等差数列{d_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9=22。解：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，可得a_3+a_7=2a_1+10d=18。同理a_5+a_9=2a_1+14d=18+4d。设x=a_5+a_9，则x-18=4d，即x=18+4d。又由a_3+a_7=18可得2a_1+10d=18，即a_1+5d=9。故x=2(a_1+5d)=2×9=18。选项为22，与计算结果不符。参考答案：错误5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_n=2n-1。解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2。当n≥2时e_n=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n-1，验证n=1时成立，故e_n=2n-1。参考答案：正确6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=f_n+2n+1，则f_6=33。解：由递推关系f_{n+1}=f_n+2n+1，可得f_2=f_1+3=6，f_3=f_2+5=11，f_4=f_3+7=18，f_5=f_4+9=27，f_6=f_5+11=38。选项为33，与计算结果不符。参考答案：错误7.在等比数列{g_n}中，若g_2=6，g_4=54，则该数列的公比q等于3。解：由等比数列通项公式g_n=g_1q^{n-1}，代入g_2=g_1q=6，g_4=g_1q^3=54，两式相除得q^2=9，解得q=3。参考答案：正确8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=2^n-1，则h_n=2^{n-1}。解：由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=U_1=1。当n≥2时h_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时成立，故h_n=2^{n-1}。参考答案：正确9.若数列{i_n}满足i_1=2，i_{n+1}=i_n+3n，则i_5=35。解：由递推关系i_{n+1}=i_n+3n，可得i_2=i_1+3=5，i_3=i_2+6=11，i_4=i_3+9=20，i_5=i_4+12=32。选项为35，与计算结果不符。参考答案：错误10.在等差数列{j_n}中，若j_4+j_8=24，则j_5+j_9=28。解：由等差数列性质j_n=j_1+(n-1)d，可得j_4+j_8=2j_1+12d=24。同理j_5+j_9=2j_1+14d=24+2d。设x=j_5+j_9，则x-24=2d，即x=24+2d。又由j_4+j_8=24可得2j_1+12d=24，即j_1+6d=12。故x=2(j_1+6d)=2×12=24。选项为28，与计算结果不符。参考答案：错误四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知等差数列{a_n}的首项为4，公差为-3，求该数列的前n项和S_n的最小值。解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入a_1=4，d=-3，可得S_n=n/2[8-3(n-1)]=n/2(11-3n)=11n/2-3n^2/2。该函数为开口向下的抛物线，对称轴为n=11/6≈1.83。由于n为正整数，故当n=1或2时S_n取得最小值。当n=1时S_1=4，当n=2时S_2=4+1=5。故S_n的最小值为4。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_{n+1}=b_n+log_2(n+1)，求b_5的值。解：由递推关系b_{n+1}=b_n+log_2(n+1)，可得b_2=b_1+log_2(2)=2，b_3=b_2+log_2(3)=2+log_2(3)，b_4=b_3+log_2(4)=2+log_2(3)+2，b_5=b_4+log_2(5)=2+log_2(3)+2+log_2(5)。观察发现b_n=b_{n-1}+log_2(n)，累加可得b_n=b_1+∑_{k=2}^{n}log_2(k)=1+log_2(2×3×4×...×n)=1+log_2(n!)，验证n=5时成立，故b_5=1+log_2(5!)。计算5!=120，log_2(120)≈6.9069，b_5≈7.9069。3.在等比数列{c_n}中，若c_3=8，c_5=32，求该数列的通项公式c_n。解：由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_3=c_1q^2=8，c_5=c_1q^4=32，两式相除得q^2=4，解得q=±2。若q=2，则c_1=8/4=2，c_n=2×2^{n-1}=2^n；若q=-2，则c_1=-8/4=-2，c_n=-2×(-2)^{n-1}=(-2)^n。故该数列的通项公式为c_n=2^n或c_n=(-2)^n。4.已知数列{d_n}的前n项和T_n=n^2+n，求d_4的值。解：由数列前n项和与通项关系d_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时d_1=T_1=2。当n≥2时d_n=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，验证n=1时成立，故d_n=2n，d_4=2×4=8。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年的产量比前一年增加500件，求第10年的产量。解：由题意可知该问题构成等差数列，首项a_1=1000，公差d=500。第n年的产量a_n=a_1+(n-1)d=1000+500(n-1)。当n=10时，a_{10}=1000+500×9=5500件。2.某城市人口增长速度为每年递增5%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：由题意可知该问题构成等比数列，首项b_1=100万，公比q=1+5%=1.05。第n年的人口b_n=b_1q^{n-1}。当n=5时，b_5=100×1.05^4≈127.63万。3.某人投资一种基金，第一年收益为1万元，以后每年的收益比前一年增加0.2万元，求第8年的收益。解：由题意可知该问题构成等差数列，首项c_1=1万元，公差d=0.2万元。第n年的收益c_n=c_1+(n-1)d=1+0.2(n-1)。当n=8时，c_8=1+0.2×7=2.4万元。4.某公司员工工资每年上涨10%，若2020年工资为5000元，求2025年的工资。解：由题意可知该问题构成等比数列，首项d_1=5000元，公比q=1+10%=1.1。第n年的工资d_n=d_1q^{n-1}。当n=5时，d_5=5000×1.1^4≈7320.5元。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.A3.D4.A5.B6.B7.A8.D9.D10.A二、填空题1.-4012.1113.1714.415.716.3317.2018.50019.4920.2三、判断题1.正确22.错误23.正确24.错误25.正确26.错误27.正确28.正确29.错误30.错误四、简答题1.解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入a_1=4，d=-3，可得S_n=n/2[8-3(n-1)]=n/2(11-3n)=11n/2-3n^2/2。该函数为开口向下的抛物线，对称轴为n=11/6≈1.83。由于n为正整数，故当n=1或2时S_n取得最小值。当n=1时S_1=4，当n=2时S_2=4+1=5。故S_n的最小值为4。2.解：由递推关系b_{n+1}=b_n+log_2(n+1)，可得b_2=b_1+l