2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版微专题14　概率中递推关系的应用-马尔科夫链

第十章微专题14

概率中递推关系的应用——马尔科夫链计数原理、概率及其分布马尔科夫链(MarkovChain)：状态空间中，从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆性”，即下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．模型1一阶递推关系

(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮，若未命中，则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．(1)求第2次投篮的人是乙的概率；1【解答】

记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，所以P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6．

(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮，若未命中，则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．(2)求第i次投篮的人是甲的概率；1【解答】

设P(Ai)＝pi，依题可知P(Bi)＝1－pi，则P(Ai＋1)＝P(AiAi＋1)＋P(BiAi＋1)＝P(Ai)·P(Ai＋1|Ai)＋P(Bi)·P(Ai＋1|Bi)，即pi＋1＝0.6pi＋(1－0.8)×(1－pi)＝0.4pi＋0.2．

(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮，若未命中，则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．1【解答】连续两项的递推特征(当前状态只与上个状态有关)解题的关键在于利用全概率公式构建数列的递推关系式：Pi＝aPi－1＋b(1－Pi－1)，再利用构造法求出通项公式．变式1

(2025·蚌埠二模节选)在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．记n次传球后球在乙手中的概率为pn，n＝1，2，3，…．(1)求pn；【解答】变式1

(2025·蚌埠二模节选)在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．记n次传球后球在乙手中的概率为pn，n＝1，2，3，…．【解答】模型2二阶递推关系(1)求小明答4道题后积分小于5的概率．2【解答】(2)设小明答5道题后积分为X，求E(X)．2【解答】(3)若小明一直答题，直到积分为0或10时停止，记小明的积分为i(i＝0，1，2，…，10)时最终积分为10的概率为Pi，则P0＝0，P10＝1．①证明：{Pi＋1－Pi}(i＝0，1，2，…，9)为等比数列；②求P5的值．2【解答】连续三项的递推特征(当前状态只与上两个状态有关)(注：图中a表示从上个状态转移到下个状态的概率)解题的关键在于利用全概率公式构建数列的递推关系式：Pi＋1＝aPi＋(1－a)Pi－1，再利用构造法求出通项公式．变式2一种掷硬币跳棋的游戏：在棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第100站，共100站，设棋子跳到第n站的概率为Pn，一枚棋子开始在第1站，棋手每掷一次硬币，若硬币的正面向上，棋子向前跳一站，若硬币的反面向上，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(失败)或者第100站(获胜)时，游戏结束．(1)求P1，P2，P3；【解答】

棋子开始在第1站是必然事件，所以P1＝1．变式2一种掷硬币跳棋的游戏：在棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第100站，共100站，设棋子跳到第n站的概率为Pn，一枚棋子开始在第1站，棋手每掷一次硬币，若硬币的正面向上，棋子向前跳一站，若硬币的反面向上，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(失败)或者第100站(获胜)时，游戏结束．(2)证明：数列{Pn＋1－Pn}(n＝1，2，3，…，98)为等比数列；【解答】变式2一种掷硬币跳棋的游戏：在棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第100站，共100站，设棋子跳到第n站的概率为Pn，一枚棋子开始在第1站，棋手每掷一次硬币，若硬币的正面向上，棋子向前跳一站，若硬币的反面向上，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(失败)或者第100站(获胜)时，游戏结束．(3)求玩该游戏获胜的概率．【解答】配套精练1．甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，…，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球(5个球除颜色外其他都相同)．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n格的概率为Pn(n＝1，2，3，…，25)．(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X，求X的分布列和数学期望；【解答】1．甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，…，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球(5个球除颜色外其他都相同)．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n格的概率为Pn(n＝1，2，3，…，25)．(2)证明数列{Pn－Pn－1}(n＝2，3，…，24)为等比数列．【解答】2．(2025·镇江期初)口袋中有大小相同、质地均匀的3个白球和3个黄球．甲、乙两人进行摸球游戏，规则如下：每次摸2个球，观察颜色后放回．若颜色相同，则摸球人继续摸球；否则由对方摸球．第一次由甲开始摸球，记第n次由甲摸的概率是Pn．(1)求P2，P3；【解答】2．(2025·镇江期初)口袋中有大小相同、质地均匀的3个白球和3个黄球．甲、乙两人进行摸球游戏，规则如下：每次摸2个球，观察颜色后放回．若颜色相同，则摸球人继续摸球；否则由对方摸球．第一次由甲开始摸球，记第n次由甲摸的概率是Pn．【解答】3．(2025·佛山一模)ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及球而使发球方直接得分的发球．甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权．设甲、乙发出ACE球的概率均为p0，记An＝“第n次发球的人是甲”．【解答】3．(2025·佛山一模)ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及球而使发球方直接得分的发球．甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权．设甲、乙发出ACE球的概率均为p0，记An＝“第n次发球的人是甲”．【解答】(1)求P2，P3；【解答】(2)求数列{Pn}的通项公式；【解答】(3)记前n次借阅中按时归还的次数为Xn，求随机变量Xn的数学期望E(Xn)．参考公