2026年统计学假设习题检验附答案

2026年统计学假设习题检验附答案某新能源汽车制造商2026年推出新型磷酸铁锂电池，宣称其常温环境下（25℃）单次充电续航里程均值不低于420公里。为验证该声明，质检部门随机抽取36块电池进行测试，测得样本平均续航里程为412公里，样本标准差为30公里。假设续航里程服从正态分布，显著性水平α=0.05。（1）建立原假设与备择假设；（2）计算检验统计量；（3）判断是否拒绝原假设，并给出结论。解答：（1）原假设H₀：μ≥420（制造商声明成立），备择假设H₁：μ<420（声明不成立，单侧检验）。（2）由于总体标准差未知但样本量n=36≥30，可用样本标准差s近似代替总体标准差σ，采用Z检验。检验统计量Z=(X̄-μ₀)/(s/√n)=(412-420)/(30/√36)=(-8)/(30/6)=-8/5=-1.6。（3）α=0.05，单侧检验临界值Zα=Z₀.₀₅=-1.645（左侧检验）。计算得Z=-1.6>-1.645，未落入拒绝域；或计算p值=P(Z<-1.6)=0.0548>0.05。因此不拒绝原假设，认为在α=0.05水平下，制造商关于续航里程均值不低于420公里的声明未被推翻。某高校2026年启用智能教育系统，为评估其对学生数学成绩的影响，随机选取25名学生进行实验，实验前（传统教学）和实验后（智能系统教学）的数学测试成绩如下（单位：分）：学生：12345678910111213141516171819202122232425实验前：78826591738570688876807269907583776689748179679271实验后：81856893768874719079837572927886806991778482709474假设成绩差值服从正态分布，α=0.01，检验智能教育系统是否显著提升了学生数学成绩。解答：设差值d=实验后-实验前，计算各学生差值：3,3,3,2,3,3,4,3,2,3,3,3,3,2,3,3,3,3,2,3,3,3,3,2,3。计算差值的均值d̄=(3×20+2×5)/25=(60+10)/25=70/25=2.8；差值的样本标准差s_d=√[Σ(di-d̄)²/(n-1)]。计算各di-d̄：0.2（20个），-0.8（5个），Σ(di-d̄)²=20×(0.2)²+5×(-0.8)²=20×0.04+5×0.64=0.8+3.2=4，s_d=√(4/24)=√(1/6)≈0.4082。原假设H₀：μ_d≤0（无提升），备择假设H₁：μ_d>0（有提升，单侧检验）。检验统计量t=(d̄-0)/(s_d/√n)=2.8/(0.4082/5)=2.8/(0.08164)≈34.29。自由度df=n-1=24，α=0.01，单侧临界值t₀.₀₁(24)=2.492。计算得t=34.29>2.492，落入拒绝域；p值≈0<0.01。因此拒绝H₀，认为智能教育系统在α=0.01水平下显著提升了学生数学成绩。2026年某城市环保部门为研究不同社区垃圾分类执行率（%）与居民受教育程度（本科及以上/本科以下）是否相关，随机调查了3个社区，数据如下：社区本科及以上（A）本科以下（B）合计社区145（执行）30（执行）7515（未执行）25（未执行）40社区250（执行）35（执行）8510（未执行）20（未执行）30社区338（执行）28（执行）6612（未执行）18（未执行）30合计13393226注：表格中括号内为执行/未执行状态，第一行为执行数，第二行为未执行数。α=0.05，检验垃圾分类执行率与居民受教育程度是否独立。解答：这是2×2×3列联表（3个社区，每个社区按教育程度分为两类，每类有执行/未执行两种状态），但通常检验独立性时合并社区维度，形成教育程度（A/B）×执行状态（执行/未执行）的2×2列联表。合并后数据：执行未执行合计本科及以上（A）45+50+38=13315+10+12=37170本科以下（B）30+35+28=9325+20+18=63156合计226100326原假设H₀：垃圾分类执行率与受教育程度独立；H₁：不独立。计算期望频数E_ij=(行合计×列合计)/总样本量：E_11=(170×226)/326≈(38420)/326≈117.85；E_12=(170×100)/326≈52.15；E_21=(156×226)/326≈(35256)/326≈108.15；E_22=(156×100)/326≈47.85。卡方统计量χ²=Σ[(O_ij-E_ij)²/E_ij]=(133-117.85)²/117.85+(37-52.15)²/52.15+(93-108.15)²/108.15+(63-47.85)²/47.85=(15.15)²/117.85+(-15.15)²/52.15+(-15.15)²/108.15+(15.15)²/47.85=229.52/117.85+229.52/52.15+229.52/108.15+229.52/47.85≈1.947+4.401+2.122+4.797≈13.267。自由度df=(r-1)(c-1)=(2-1)(2-1)=1，α=0.05，临界值χ²₀.₀₅(1)=3.841。计算得χ²=13.267>3.841，拒绝H₀，认为垃圾分类执行率与居民受教育程度在α=0.05水平下不独立。某电商平台2026年测试三种新广告策略（A、B、C）对商品点击率的影响，随机选取15个同类商品页面，每种策略分配5个页面，记录一周内的点击率（%）如下：策略A：2.8,3.1,2.5,2.9,3.3策略B：3.5,3.8,3.2,3.6,3.4策略C：4.1,3.9,4.3,4.0,3.7假设点击率服从正态分布且方差齐性，α=0.05，检验三种广告策略的平均点击率是否有显著差异。解答：原假设H₀：μ_A=μ_B=μ_C（无差异）；H₁：至少有一对均值不等（有差异）。计算各策略样本均值：X̄_A=(2.8+3.1+2.5+2.9+3.3)/5=14.6/5=2.92；X̄_B=(3.5+3.8+3.2+3.6+3.4)/5=17.5/5=3.5；X̄_C=(4.1+3.9+4.3+4.0+3.7)/5=19.0/5=3.8；总均值X̄=(14.6+17.5+19.0)/15=51.1/15≈3.407。计算组间平方和SSB=Σn_i(X̄_i-X̄)²=5×(2.92-3.407)²+5×(3.5-3.407)²+5×(3.8-3.407)²=5×(-0.487)²+5×(0.093)²+5×(0.393)²=5×0.237+5×0.0086+5×0.154≈1.185+0.043+0.77≈2.0。计算组内平方和SSW=ΣΣ(X_ij-X̄_i)²：策略A：(2.8-2.92)²+(3.1-2.92)²+(2.5-2.92)²+(2.9-2.92)²+(3.3-2.92)²=(-0.12)²+(0.18)²+(-0.42)²+(-0.02)²+(0.38)²=0.0144+0.0324+0.1764+0.0004+0.1444=0.368；策略B：(3.5-3.5)²+(3.8-3.5)²+(3.2-3.5)²+(3.6-3.5)²+(3.4-3.5)²=0+0.09+0.09+0.01+0.01=0.20；策略C：(4.1-3.8)²+(3.9-3.8)²+(4.3-3.8)²+(4.0-3.8)²+(3.7-3.8)²=0.09+0.01+0.25+0.04+0.01=0.40；SSW=0.368+0.20+0.40=0.968。总平方和SST=SSB+SSW=2.0+0.968=2.968（验证：ΣΣ(X_ij-X̄)²≈(2.8-3.407)²+...+(3.7-3.407)²≈0.368+0.20+0.40+2.0=2.968，正确）。自由度：组间df_b=k-1=3-1=2；组内df_w=n-k=15-3=12；总df=14。均方MSB=SSB/df_b=2.0/2=1.0；MSW=SSW/df_w=0.968/12≈0.0807。F统计量=F=MSB/MSW=1.0/0.0807≈12.39。α=0.05，F临界值F₀.₀₅(2,12)=3.89。计算得F=12.39>3.89，拒绝H₀，认为三种广告策略的平均点击率在α=0.05水平下有显著差异。某生物制药公司2026年研发一种新型降血糖药物，为比较其与现有药物（对照药）的疗效，选取40名II型糖尿病患者，随机分为两组，每组20人，分别服用新药和对照药，治疗8周后测量空腹血糖下降值（mmol/L）。新药组样本均值为2.1，样本标准差为0.6；对照药组样本均值为1.5，样本标准差为0.5。假设两组血糖下降值均服从正态分布且方差不等，α=0.05，检验新药的平均降糖效果是否显著优于对照药。解答：原假设H₀：μ₁≤μ₂（新药无优势），备择假设H₁：μ₁>μ₂（新药更优，单侧检验）。由于方差不等，采用Welch-Satterthwaite近似t检验。检验统计量t=(X̄₁-X̄₂)/√(s₁²/n₁+s₂²/n₂)=(2.1-1.5)/√(0.6²/20+0.5²/20)=0.6/√(0.36/20+0.25/20)=0.6/√(0.61/20)=0.6/√(0.0305)=0.6/0.1746≈3.437。计算近似自由度df=(s₁²/n₁+s₂²/n₂)²/[(s₁²/n₁)²/(n₁-1)+(s₂²/n₂)²/(n₂-1)]=(0.36/20+0.25/20)²/[(0.36/20)²/19+(0.25/20)²/19]=(0.61/20)²/[(0.1296/400)/19+(0.0625/400)/19]=(0.0305)²/[(0.000324+0.00015625)/19]=0.00093025/(0.00048025/19)≈0.00093025/0.00002528≈36.8，取整df=36。α=0.05，单侧临界值t₀.₀₅(36)≈1.688（查t表或用近似值）。计算得t=3.437>1.688，落入拒绝域；p值≈P(t>3.437)<0.001<0.05。因此拒绝H₀，认为新药的平均降糖效果在α=0.05水平下显著优于对照药。某城市交通管理部门2026年调查早高峰时段（7:00-9:00）不同类型车辆（私家车、公交车、出租车）的平均等待红灯时间（秒），随机抽取私家车45辆、公交车30辆、出租车35辆，测得样本均值分别为68秒、52秒、60秒，样本方差分别为144、121、169。假设总体方差相等，α=0.01，检验三种车辆的平均等待红灯时间是否有显著差异。解答：原假设H₀：μ_私家车=μ_公交车=μ_出租车（无差异）；H₁：至少有一对均值不等（有差异）。总样本量n=45+30+35=110，各组样本量n₁=45,n₂=30,n₃=35。总均值X̄=(n₁X̄₁+n₂X̄₂+n₃X̄₃)/n=(45×68+30×52+35×60)/110=(3060+1560+2100)/110=6720/110≈61.09。组间平方和SSB=Σn_i(X̄_i-X̄)²=45×(68-61.09)²+30×(52-61.09)²+35×(60-61.09)²=45×(6.91)²+30×(-9.09)²+35×(-1.09)²=45×47.75+30×82.63+35×1.19≈2148.75+2478.9+41.65≈4669.3。组内平方和SSW=Σ(n_i-1)s_i²=(45-1)×144+(30-1)×121+(35-1)×169=44×144+29×121+34×169=6336+3509+5746=15591。总平方和SST=SSB+SSW=4669.3+15591=20260.3（验证：Σ(n_i-1)s_i²+Σn_i(X̄_i-X̄)²=15591+4669.3=20260.3，正确）。自由度：组间df_b=k-1=3-1=2；组内df_w=n-k=110-3=107；总df=109。均方MSB=SSB/df_b=4669.3/2≈2334.65；MSW=SSW/df_w=15591/107≈145.71。F统计量=F=MSB/MSW=2334.65/145.71≈16.02。α=0.01，F临界值F₀.₀₁(2,107)≈4.82（查F表，df1=2,df2=120时临界值为4.79，近似取4.82）。计算得F=16.02>4.82，拒绝H₀，认为三种车辆的平均等待红灯时间在α=0.01水平下有显著差异。某市场调研公司2026年分析消费者对某智能手表的满意度（1-5分，5分为非常满意），随机调查200名用户，其中男性120人，女性80人，满意度分布如下：满意度男性（人）女性（人）115822210340254302251315α=0.05，检验消费者性别与智能手表满意度是否相关。解答：这是2×5列联表，原假设H₀：性别与满意度独立；H₁：相关。计算期望频数E_ij=(行合计×列合计)/总样本量。男性行合计=120，女性行合计=80；满意度各列合计：1列=15+8=23，2列=22+10=32，3列=40+25=65，4列=30+22=52，5列=13+15=28，总样本量=200。E_11=(120×23)/200=13.8；E_12=(120×32)/200=19.2；E_13=(120×65)/200=39；E_14=(120×52)/200=31.2；E_15=(120×28)/200=16.8；E_21=(80×23)/200=9.2；E_22=(80×32)/200=12.8；E_23=(80×65)/200=26；E_24=(80×52)/200=20.8；E_2