考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷9

考研数学三(概率论与数理统计)模拟

试卷9

一、选择题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)

1、已知随机变量X与Y的相关系数为pflp#0,Z=aX+b,则Y与Z的相关系数

仍为p的充要条件是()

A、a=l,b为任意实数.

B、a>0,b为任意实数.

C、a<0,b为任意实数.

D、a#),b为任意实数.

标准答案：B

知识点解析：直接计算Y与Z的相关系数来确定正确选项.由于Cov(Y，

Z)=Coy(Y>aX+b)=aCov(X»Y),D(Z)=D(aX+b)=a'D(x),所以

Cov(r,Z)aCov(\,r)°a

Y)，0(Z)/DOTV〃〃(X)周la।.

择B.

2、设X是一随机变量，E(X)=g,D(X)=O2(|J,J>0常数)，则对任意常数C必有

()

A、E[(X—C)2]=E(X)2-C2.

B、E[(X—C)2]=E[(X-|i)2].

C、E[(X—C)2]<E[(X-p)2].

22

D、E[(X-C)]>E[(X-M)].

标准答案：D

知识点解析：因为E[(X-C)2]=E[(X-p+n-cn=E[(X—P)-]+2(M—C)E(X-

H)+(|1—C)2,又E(X-R尸E(X)—N=0,所以得E[(X—C陕]=E[(X—赤]+(|1—

C)%E[(X—故选项D正确.

3、假设随机变量X与Y的相关系数为p,则p=l的充要条件是()

A、Y=aX+b(a>0).

B、Coy(X,Y)=l,D(X)=D(Y)=1.

c<w(x,y)=7D(XT/D(Y)=

r44

DD（X^Y）=®75T.

标准答案：D

知识点解析：显然选项A、B、C是p=l的充分条件但不是必要条件，因此选

D.事实上，

p=i=Cov（*,y）=/D（I），D（y）oD（x+y）=D（X）+D（Y）+2Cov（x,y）=o（x）+p（Y）

+2/D（X）/D（Y）^D（X+r）=[yow+youT]2.

4、设随机变量X和Y的方差存在且不等于0,则D（X+Y）=D（X）+D（Y）是X和Y（）

A、不相关的充分条件，但不是必要条件.

B、独立的充分条件，但不是必要条件.

C、不相关的充分必要条件.

D、独立的充分必要条件.

标准答案：C

o（x+y）=D（X）+o（y）=E（xy）=E（X）・£（y）

知识点解析：oc°v（x,y）=与y不相关.

£=广

5、假设二维随机变量（Xi，X》的协方差矩阵为。媪其中

Qij=Cov（Xi，Xj）（i,j=l,2）,如果X1与X2的相关系数为p，那么行列式IZI=0的充

分必要条件是（）

A、p=0.

D、|p|=l.

标准答案：D

2

I£I=0^11^=al2<721^D(X,)D(X2)=Cov(J,,^)

2一端(")

=Pnzy\Y\一।।PI—1,

知识点解析：D(X),O(%)选择

D.

6、设二维正态随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则随机变量/X+Y与n=x一

Y,不相关的充分必要条件为()

A、E(X)=E(Y).

B、E(X2)-E2(X)=E(Y2)—E2(Y).

C、E(X2)=E(Y2).

D、E(X2)+E2(X)=E(Y2)+E2(Y).

标准答案：B

知识点解析：根据随机变量匕与n不相关的充分必要条件为CovR,m=。，有

Cov&n)=Coy(X+Y,X—Y)=Coy(X,X)—Coy(Y,Y),注意到D(X)=Cov(X,

X),D(Y)=Coy(Y,Y),可得D(X)=D(Y),即E(X2)—[E(X)-二E(Y2)—[E(Y)F，故

选B.

7、已知随机变量X与Y有相同的不为零的方差，则X与Y的相关系数等于1的

充分必要条件是()

A、Coy(X+Y,X)=0.

B、Cov(X+Y,Y)=0.

C、Cov(X+Y,X—Y)=0.

D、Coy(X—Y,X)=0.

标准答案：D

知识点解析：直接根据定义通过计算确定正确选项，己知D(X)=D(Y),故

_Cov(x,y)=Cov(x,y)=}

PJD”)COV(X,X)因为Coy(X,Y)=Coy(X,X)T

Cov(X,X—Y)=0>e=><Cov(X—Y,X)=0,选择D.其余选项均不正确，这是因为当

D(X)=D(Y)时,必有Cov(X+Y,X—Y)=Cov(X,X)~Cov(X,Y)+Cov(Y,X)-

Coy(Y,Y)=D(X)—D(Y)=0,选项C成立，不能推出p=l.选项A、B可推出

Cov(X,Y)=-Cov(X,X)=-D(X)或Cov(X,Y)=-Cov(Y,Y)=-D(Y),

山,曰cov(X.r)-D(X).

由此得P=___L

7tD(Xr)^=低=-F=TD〈X)=~

8、已知随机变量X与Y的相关系数大于零，则()

A、D(X+Y)>D(X)+D(Y).

R、D(X+Y)<D(X)+D(Y).

C、D(X—Y)>D(X)+D(Y).

D、D(X—Y)<D(X)+D(Y).

标准答案：D

知识点解析：根据公式D(X土Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)确定正确选

项.

由于x与丫的相关系数,=)里任2三，故0>o=c°v(x,y)>o.所以

/D(X)7D(Y)

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)>D(X)+D(Y).D(X—Y)=D(X)+D(Y)--

2Cov(X,Y)<D(X)+D(Y).应选D.

i*1X1，X2,…，Xn(n>l)独立同分布，且其方差02>o,令

(A)Cov(x,,r)=(B)Cov(x,,y)=」.

(c)o(x+y)=(D)D(x,-y)=3/

nn

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析：因为

COV(M,Y)=Cov(>i)=，Cov(X[,X])+工£Cov(x,x,).

71-n餐而由

X1，X2，…，Xn相互独立，可得Cov(X],Xi尸0,i=2,3,

所以Cov(M，Y)=—CovC^.X.)=—D(X,)二二故选A.

nnnn

10、己知(X,Y)服从二维正态分布，E(X尸E(Y尸2D(X)=D(Y)=o2,X与Y的相

关系数pHO,则X与Y()

A、独立且有相同的分布。

B、独立且有不同的分布.

C、不独立且有相同的分布.

D、不独立且有不同的分布.

标准答案：C

知识点解析：因为(X,Y)服从二维正态分布，故X〜N仙/)，Y〜N(wa2),即

X与Y有相同的分布，但是讨0,所以X与Y不独立，选C.

11、设随机变量X与Y相互独立，且方差D(X)>0,D(Y)>0,则()

A、X与X+Y一定相关.

B、X与X+Y一定不相关.

C、X与XY一定相关.

D、X与XY一定不相关.

标准答案：A

知识点解析：直接根据计算协方差来判断，已知X与Y独立，故Cov(X,Y)=0,

Cov(X,X+Y)=Cov(X,X)+Cov(X,Y)=D(X)>0.所以X与X+Y一定相关，应选

A.又由于Coy(X,XY)=E(X2Y)—E(X).E(XY)=E(X2).E(Y)—(EX)2.E(Y)=|E(X2)

-E2(X)]E(Y)L"°，若爪丫)故选项C、D有时成立，有时不

成立.

12、已知随机变量X服从标准正态分布,Y=2X?+X+3,则X与Y()

A、不相关且相互独立.

B、不相关且相互不独立.

C、相关且相互独立.

D、相关且相互不独立.

标准答案：D

知识点解析：通过计算Cov(X,Y)来判定.由于X—N(0,1),所以E(X)=O,

D(X)=E(X2)=1,E(X3)=0,E(XY)=E(X)(2X2+X+3)=2E(X3)+E(X2)+3E(X)=1,

Cov(X,Y尸E(XY)—E(X)E(Y尸与Y相关=火与Y不独立，应选D.

13、随机变量X-N(O,1),Y〜N(L4),且相关系数pxY=l，则O

A、P{Y=-2X—1)=1.

B、P(Y=2X—1)=1.

C、P{Y=一2X+1}=1.

D、P{Y=2X+1)=1.

标准答案：D

知识点解析：设丫=2乂+>因为PXY=1，得x,Y正相关，得a>0,排除选项A、

C.由X〜N(0,1),Y—N(l,4),可得E(X)=O,E(Y)=1,所以

E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=axO+b=i,所以b=l.排除选项B.故选择D.

二、填空题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)

1g-i»i

14、已知随机变量X的概率密度为f(x)=2'—8Vx<+oo,则

D(x2)=.

标准答案：20

知识点解析：由于D(X?)=E(X4)一

£(片)-x2/(x)dx=2(x2,-^-e1,1dx=1,dx=2!,

E(X*)=fx*f(x)dx=2(x•==(x4e-*dx=4!,

E2(X2).-h2h所以

D(X2)=4!-(2!)2=24-4=20

15、设随机变量X的密度函数为f(x尸石，-8VxV+8.则EX=

DX=.

1

标准答案：2

因为/(%)=2r=——-~~

6后-12)

故£(X)=I.O(X)=不

知识点解析：2

16、设随机变量X和Y相互独立，且X〜N(0，1),Y〜N(0,2),则

E(X2+Y)=.

标准答案：1

知识点解析：因为X和Y相互独立，所以X2与Y相互独立，

E(X2+Y)=E(X2)+E(Y),由于X—N(0,1),所以E(X)=0,D(X)=1.因此

E(X2)=D(X)+(EX)2=1,Y〜N(0,2),故E(Y)=0,所以E(X2+Y)=L

17、设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度为f(x尸

fix,Ow“Wl,fe"”,v>5,

l。，其他，I0,其他，贝ijE(XY尸.

标准答案：4

知识点解析：本题是考查数字特征计算的基础题，所以

E(X)=Jxf(x)Ax=卜•2xdx=y,

(

£(y)=[：yg(y)dy=[y.e=6,

又曰于X和Y相互独立，故

E(XY)=E(X)E(Y)=4.

18、将10双不同的鞋随意分成10堆，每堆2只，以X表示10堆中恰好配成一双

鞋的堆数，贝UEX=.

10

标准答案：历

(1.第i堆两只鞋恰成一双，(1八2,…/。).

V),其他，

10

XVx.

知识点解析：=占将第i堆的

第一只鞋固定，第二只鞋要与第一只鞋配对，只有在不同于第一只鞋剩下的19只

中唯一的一只才有可能,故P{Xi=l}=".也就有E(Xi尸

1磊+。喟咻,E(X)=甘凤%)=*

19、设随机变量X],X2,X3相互独立，其中X]服从区间[0,6|上的均匀分布,

X2服从正态分布N(0,2"X3服从参数为3的泊松分布，则D(X]一

2X2+3X3)=.

标准答案：46

(6-0)2=3

122

知识点解析：根据题设可知，D(X|)=.D(X2)=2=4,D(X3)=3,于是

D(Xi—2X2+3X3)=D(X!)+4D(X3)+9D(X3)=3+4X4+9X3=46.

20、设随机变量X与Y相互独立，方差分别为4和2,则随机变量3X—2Y的方

差是.

标准答案：44

知识点解析：因X与Y独立，故3X与一2Y也独立，所以D(3X—

2Y)=D(3X)+D(—2Y)=9D(X)+4D(Y)=36+8=44.

21、设随机变量X和Y的联合概率分布为

则X和Y的相关系数p=.

标准答案：0

知识点解析：根据题意X与Y的边缘分布分别为

-10

10.40.6/10.150.500.351E(X)=O.6,D(X)=O.24,

E(Y)=O.2,E(Y2)=O.5,D(Y)=O.46,E(XY)=-0.08+0.20=0.12,Cov(X,

Y)=0.12—0.6x0.2=0,p=0.

22、设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若Z=2X—1,则Y与Z的相关系数

为.

标准答案：0.9

知识点解析：Cov(Y,Z)=Coy(Y,2X—l)=2Cov(X,Y),D(Z)=D(2X—

1)=4D(X).Y与Z的相关系数PYZ为

Cov(a1r,I-z)->二2Cov(x-,"y)—Cov(x,r)—"yy―

/D(Y)/D(Z)/D(Y)AD(X)/D(X)/D(Y)

23、设随机变量X和Y的联合概率分布为

X-101

00.070.180.15

0.080.320.20

1则X2和Y2的协方差Cov(X2,

Y2)=.

标准答案：一0.02

知识点解析：由X和Y的联合概率分布得

X(二。05。幻=(：4。3"~(。二；

丁是有

E(X2)=12X0.5=0.5,E(Y2)=12X0.6=0.6,E(X2Y2)=12X0.28=0.28,所以

Cov(X2,Y2)=E(X2Y2)-E(X2)E(Y2)=0.28—0.30=—0.02.

24、已知随机变量X在(1,2)上服从均匀分布，在X=x条件下Y服从参数为x的

指数分布，则E(XY尸.

标准答案：1

产一，y>0

知识点解析：根据题设知fYix(y|x)=।°，^这①所以强，Y)的联合密度函数

xe

/(x,y)=A(x)/MX(y|x)=['^y>0.

I0,其他.

E(XY)=[./.xyf(xy)dxdy=fdx]xyxe^dj=--^-dx=1.

25、已知随机变量Xi与X2相互独立且分别服从参数为Q,九2的泊松分布，

-12

P{X1+X2>0)=l—e,则E(X|+X2)=.

标准答案：2

知识点解析：已知Xi〜PQi)且相互独立，所以E(XgD(Xi尸入i，i=l,

22222

2.E(Xi+X2)=E(X1+2XIX2+X2)=E(XI)+2E(XI)E(X2)+E(X2)

222

=Xi+Xi+2XIX2+X2+X2=ZI+X2+(Xi+X2).因为P{XI+X2>O}=1-P{Xi+X2<0}=I

P(X1+X2=O)=1一P{X1=O,X2=O)=I_P{X1=O}P|X2=O)=

1一『'・「？:1=1-e\所以Q+上=1,故E(X1+X2)2=1+1=2.

26、某车间生产的圆盘其直径在区间（a，b）上服从均匀分布，则圆盘面积的数学期

望为.

宣（〃+ab+a2）

标准答案：12

/(z)=,b-a''

知识点解析：设圆盘直径为x,其概率密度为°,其他.设

圆盘面积为Y,所以

[X\2irX2

丫v二代)=丁，

那么有

E(Y)=f亨・白~也

1•46-a

=T7T"一rfx2dx=17产~I

4(6-a)J®4(6-a)\3*I•

TT(*++a2)

=12.

三、解答题（本题共8题，每题分，共8分。）

27、设二维离散型随机变量（X,Y）的联合概率分布为

1234

11/4000

21/8i/800

31/121/121/120

41/161/161/161/16

求：⑴X与Y的边缘分布律，并判断X与Y是否相互独立；（D）P（X=Y}.

标准答案：⑴因为边缘分布律就是联合分布律表格中行或列中诸元素之和，所以

1I11125

九=九=P一不。…了+守+法+正=时

P-A*卷4；=12+16=^；P"/•（匕=P4=i",=科丫=0）.

假如随机变量X与Y相互独立，就应该对任意的i，j都有pij=pi.pj，而本题中

pl4=0,但是pi与P4均不为零，所以P|4#P1P4故X与Y不是相互独立

（n）p|x=Y\

的4o12io4o

知识点解析：暂无解析

--1o1•01'

X~112，y~3

彳彳」且P{|X|#|Y|}=1.⑴求

28、设随机变量L¥T

X与Y的联合分布律，并讨论X与Y的独立性;(H)^U=X+Y,V=X—Y,讨论

U与V的独立性.

标准答案：（I）由P{|X用Y|}=1知,P{|X|=|Y|）=0.由此可得X与Y的联合分布律为

-101

33

-100

88

131

00

882

11

100

8X

1131

828因

为P{X=-1,Y=-1}^P{X=-1}P{Y=-1),所以X与Y不独立.(11)由(*,Y)

p\u=v=-i|=p\x=-=o|=』,

O

p\v=-=i|==o.y=-i|=

o

p\u=i.v=-1(=p\x=o.r=i|=4-,

o

p\u=v=i|=p\x=i,r=o|=

的联合分布律知8所以U与V

的联合分布律与边缘分布律为

独立.

知识点解析：暂无解析

29、已知随机变量X,Y的概率分布分别为P{X=-1)二

7，P|XxO|=|,p|x=i|==oi=^-,Pir=i|=十/|丫=2|二+,

并且P{X+Y=1}=1,求：⑴(X,Y)的联合分布；(U)X与Y是否独立?为什么？

标准答案：⑴根据题设P{X+Y=1}=1,即P{X=-LY=2}+P{X=0,

Y=1}+P{X=1,Y=0)=l,故其余分布值均为零，即P{X=-1,Y=0}=P{X=­1,

Y=I}=P{X=0,Y=0)=P|X=0,Y=2)=P{X=1,Y=1)=P{X=1,y=2)=0,由此可求得

联合分布为

一

012p\x=i|

11

-100.TT

1

000T

1

100

1T了

111

p|y="

4T~4（D）因为

一IX1・—1

P{X=-1,Y=0}=0/P{X=-1}P{Y=O|=4416'故x与Y不独立.

知识点解析：暂无解析

1

30、已知随机变量X与Y相互独立且都服从参数为2的0—1分布，即

1X

P（X=0）=P{X=l）=2.P{Y=0}=P{Y=l}=2定义随机变量Z=

z_ri,当x+y为偶数，

当x+y为奇数，求z的分布；（X,Z）的联合分布；并问x与z是否独

立

标准答案：由于(X,Y)是二维离散随机变量，故由边缘分布及相互独立可求得联

合分布；应用解题一般模式，即可求得Z及(X,Z)的分布，进而判断X、Z是否独

(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)、

(x,y)~1111

立.由题设知、彳444将其改写成矩阵形

式，求Z、(X,Z)的分布：

1111

TTTZ

(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1J)

Z1001

(X.Z)(0.1)(0,0)(1,0)(1/)小山―

由此可得Z

1

111

x—

422

31、已知(X,Y)在以点［0,0),(1,一1),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀

分布.⑴求(X,Y)的联合密度函数f(x,y)；(II)求边缘密度函数fx(x)fY(y)及条件

密度函数fx|Y(x|y),fY|X(y|x)；并问X与Y是否独立；(HI)计算概率P{X>0,Y>

标准答案：⑴由于以(0,0),(1,-1),(1,1)为顶点的三角形面积为1,如图4-

2所示，故

p.ow4w1,1”<大,

f（x，y）

io,其他.

(D)

C,、\』［fdy=2x.0W*W1

fxM=JB/(x,y)dy=

0,其他，

-1Wy<0,

0<1,

其他

fxiY(*\y)=凫笊s"6，lyI<4w1,

其他.

lyI<xw1,

4x(”*)=售叶

Jl\xf

其他.

由于fx(x)fY(y),f(x,y)所以X与Y不独

(ni)P|X>O,y>0(=//(x.y)ckcly=j^ck£dy=jxdx=y,

*>0,y>0

(Iif/(x.y)dxdy

I叩>»>04。

PU>fy>oi=-帚汴—=V--------

2P\Y>0\J/(2)ck打

y>o

「伞飙13

f可dyi'xdzf4

=

P{八扑=T}£―小3,#S54r7Tdx=T

立.一了

知识点解析：暂无解析

…,,…・-一-、，*¥〈为

/(X。)=r"•A,xN0,ym0,

0,其他,

⑴试求(X,Y)的边缘概率密度

fx(x),fY(y)，并问X与Y是否独立；(口)令2=*—丫，求Z的分布函数Fz(z)与概

率密度fZ(Z).

标准答案：画出f(x,y)非零定义域，应用定义、公式进行计

(1)

红』・9:5x<0,

/式无)==

e'x•e'dy=ye-1,

同理

爹r<o.

A(y)=

4-e\义才0,

算.2因为

fx(x)fY(y)Wf(x,y),所以X与Y不独

立.

(n)分布函数法.z=x-y的分布函数为

尸z(z)=P\X-Y^z\=J/(x,y)dzdy.

»-y<t

(1)当z£0时，如图4-3所示，有

尸z(z)=,e'e'dy+dx•e^e'cly

=乂』(1-门族

T(。七十H-")I：

(2)当z>0时，如图4-4所示，有

y

心(z)=/£而£广5.//吼二一".’&

=-e…)dx++「>，[1-e5)]dy

=i('-r")+^1-y6-*)=1-Te，-

练上得，