2026年考研数学一概率统计随机变量及其分布习题集

2026年考研数学一概率统计随机变量及其分布习题集一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设随机变量X的分布函数为F(x)，则下列关于F(x)的性质描述错误的是（）A.F(x)是单调不减函数B.F(x)是右连续的C.F(-∞)=0且F(+∞)=1D.F(x)可能存在不可导点解析：本题考查随机变量分布函数的基本性质。分布函数F(x)必须满足单调不减性、右连续性、边界条件F(-∞)=0和F(+∞)=1。由于分布函数可能存在跳跃间断点（如离散型随机变量），因此F(x)不一定处处可导，选项D正确描述了这一特性，而其他选项均为分布函数的基本性质。正确答案为D。2.设随机变量X的密度函数为f(x)，则下列关于f(x)的性质描述错误的是（）A.f(x)非负，即f(x)≥0对所有x成立B.f(x)的积分在全实数域上等于1C.f(x)可以存在多个间断点D.f(x)必须处处连续解析：本题考查连续型随机变量密度函数的性质。密度函数f(x)必须满足非负性f(x)≥0和规范性∫_{-∞}^{+∞}f(x)dx=1。密度函数可以存在间断点（如分段常数函数），但必须保证积分为1。选项D错误，因为密度函数不一定处处连续。正确答案为D。3.设随机变量X的分布列为：X-101Pp1/2p则p的值为（）A.1/4B.1/3C.1/2D.1/6解析：本题考查离散型随机变量分布列的性质。分布列必须满足概率非负且总和为1，即p+1/2+p=1，解得p=1/4。正确答案为A。4.设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctan(x)，则X服从的分布类型为（）A.指数分布B.正态分布C.均匀分布D.Cauchy分布解析：本题考查常见分布函数的识别。Cauchy分布的分布函数形式为F(x)=A+Barctan(x)，其中A和B为常数。其他分布的分布函数形式不同：指数分布为1-e^{-λx}，正态分布为Φ((x-μ)/σ)，均匀分布为x/(b-a)。正确答案为D。5.设随机变量X的密度函数为f(x)=Ae^{-|x|}，则A的值为（）A.1/2B.1/4C.1/3D.1/1解析：本题考查密度函数的规范性。根据规范性∫_{-∞}^{+∞}f(x)dx=1，有∫_{-∞}^{+∞}Ae^{-|x|}dx=2A=1，解得A=1/2。正确答案为A。6.设随机变量X的分布函数为F(x)，则P{X≤a}等于（）A.F(a)B.F(a-0)C.F(a+0)D.F(a)-F(a-0)解析：本题考查分布函数与概率的关系。根据分布函数定义，P{X≤a}=F(a)，其中F(a)表示X≤a的概率。选项B表示左极限，选项C表示右极限，选项D表示跳跃大小。正确答案为A。7.设随机变量X的密度函数为f(x)，则P{X=a}等于（）A.f(a)B.0C.f(a)dxD.∫_{a}^{a}f(x)dx解析：本题考查连续型随机变量取单点值的概率。连续型随机变量取任何单点值的概率为0，即P{X=a}=0。密度函数f(a)表示该点的密度值而非概率。正确答案为B。8.设随机变量X的分布函数为F(x)，则P{X>a}等于（）A.F(a)B.1-F(a)C.F(a+0)D.1-F(a-0)解析：本题考查概率的补事件关系。根据概率性质，P{X>a}=1-P{X≤a}=1-F(a)。选项C和D涉及分布函数的左右极限，但补事件概率应为1-F(a)。正确答案为B。9.设随机变量X的密度函数为f(x)=λe^{-λx}(x≥0)，则X的分布类型为（）A.正态分布B.指数分布C.均匀分布D.二项分布解析：本题考查常见分布的密度函数形式。指数分布的密度函数为f(x)=λe^{-λx}(x≥0)，其中λ>0。其他分布的密度函数形式不同。正确答案为B。10.设随机变量X的分布函数为F(x)，则F(x)在x=x₀处不可导的概率为（）A.0B.1C.F(x₀)D.1-F(x₀)解析：本题考查分布函数的可导性与概率的关系。分布函数在x=x₀处不可导意味着X在x₀处是离散点，其概率为P{X=x₀}=F(x₀)-F(x₀-0)。选项C正确描述了这一关系。正确答案为C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题中横线上。）1.设随机变量X的分布函数为F(x)=0,x<0;ax^2+bx,0≤x≤1;1,x>1，若F(x)在x=1/2处连续，则a+b=________。解析：分布函数在x=1/2处连续意味着F(1/2)=F(1/2-0)，即a(1/2)^2+b(1/2)=1，解得a/4+b/2=1，即a+2b=4。答案为4。2.设随机变量X的密度函数为f(x)=Ae^{-x^2/2}，则A的值为________。解析：根据密度函数规范性，∫_{-∞}^{+∞}Ae^{-x^2/2}dx=√(2π)A=1，解得A=1/√(2π)。答案为1/√(2π)。3.设随机变量X的分布列为：X-101Pp1/2p则P{X<0}+P{X>0}=________。解析：P{X<0}=P{X=-1}=p，P{X>0}=P{X=1}=p，因此P{X<0}+P{X>0}=2p。由于p+1/2+p=1，解得p=1/4，因此答案为1/2。4.设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Bx，则F(x)是离散型随机变量的分布函数当且仅当________。解析：离散型随机变量的分布函数是阶梯函数，因此F(x)必须是分段常数函数，即B=0且A为常数。答案为B=0且A为常数。5.设随机变量X的密度函数为f(x)=Ae^{-|x|}，则P{0<X<1}等于________。解析：根据规范性∫_{-∞}^{+∞}Ae^{-|x|}dx=2A=1，解得A=1/2。因此P{0<X<1}=∫_{0}^{1}(1/2)e^{-x}dx=1/2(1-e^{-1})。答案为1/2(1-e^{-1})。6.设随机变量X的分布函数为F(x)，则P{X=a}≤P{X≤a}________。解析：根据概率性质，单点概率不超过区间概率，即P{X=a}≤P{X≤a}=F(a)。答案为≤。7.设随机变量X的密度函数为f(x)=λe^{-λx}(x≥0)，则P{X>1}等于________。解析：P{X>1}=∫_{1}^{+∞}λe^{-λx}dx=e^{-λ}。答案为e^{-λ}。8.设随机变量X的分布函数为F(x)=0,x<0;ax^3+bx^2,0≤x≤1;1,x>1，若F(x)在x=1处连续，则a+b=________。解析：F(1)=a+b=1。答案为1。9.设随机变量X的密度函数为f(x)=Ae^{-x^2/2}，则f(x)在x=0处取得最大值________。解析：f(x)在x=0处取得最大值，且f(0)=A=1/√(2π)。答案为1/√(2π)。10.设随机变量X的分布函数为F(x)，则P{X=a}等于________。解析：根据分布函数性质，P{X=a}=F(a)-F(a-0)。答案为F(a)-F(a-0)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请判断下列各题是否正确，正确的填"√"，错误的填"×"。）1.设随机变量X的分布函数为F(x)，则F(x)在x=x₀处可导的概率为1。（×）解析：分布函数在x=x₀处可导意味着X在该点连续，但连续点概率不一定为1，可能为0。正确答案为×。2.设随机变量X的密度函数为f(x)，则f(x)可以取负值。（×）解析：密度函数f(x)必须非负，即f(x)≥0对所有x成立。正确答案为×。3.设随机变量X的分布列为：X-101P0.20.50.3则X是离散型随机变量。（√）解析：所有概率非负且总和为1，满足离散型随机变量定义。正确答案为√。4.设随机变量X的分布函数为F(x)，则F(x)是单调不减的。（√）解析：分布函数的基本性质之一是单调不减性。正确答案为√。5.设随机变量X的密度函数为f(x)=Ae^{-|x|}，则f(x)在x=0处取得最大值。（√）解析：f(x)在x=0处取得最大值f(0)=A/2=1/2。正确答案为√。6.设随机变量X的分布函数为F(x)，则P{X>a}=F(a)。（×）解析：P{X>a}=1-F(a)，不是F(a)。正确答案为×。7.设随机变量X的密度函数为f(x)，则f(x)的积分在全实数域上等于0。（×）解析：密度函数的积分在全实数域上等于1，不是0。正确答案为×。8.设随机变量X的分布函数为F(x)，则F(x)在x=x₀处连续意味着P{X=x₀}=0。（√）解析：连续点概率为0是连续型随机变量的基本性质。正确答案为√。9.设随机变量X的分布列为：X-101Pp1/2p则p=1/4。（√）解析：概率总和为1，解得p=1/4。正确答案为√。10.设随机变量X的密度函数为f(x)=Ae^{-x^2/2}，则X服从正态分布。（×）解析：正态分布的密度函数为(1/√(2πσ))e^{-(x-μ)^2/(2σ^2)}，本题缺少μ和σ参数。正确答案为×。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。请将答案写在答题卡上对应题号的位置。）1.简述随机变量分布函数的性质。解析：随机变量分布函数F(x)具有以下性质：(1)单调不减性：若x₁<x₂，则F(x₁)≤F(x₂)；(2)右连续性：F(x+0)=F(x)；(3)边界条件：F(-∞)=0，F(+∞)=1；(4)非负性：P{X≤x}≥0。这些性质是判断函数是否为分布函数的充要条件。2.简述连续型随机变量密度函数的性质。解析：连续型随机变量密度函数f(x)具有以下性质：(1)非负性：f(x)≥0对所有x成立；(2)规范性：∫_{-∞}^{+∞}f(x)dx=1；(3)概率计算：P{a<X≤b}=∫_{a}^{b}f(x)dx；(4)与分布函数关系：F(x)=∫_{-∞}^{x}f(t)dt。3.简述离散型随机变量分布列的性质。解析：离散型随机变量分布列p(x)具有以下性质：(1)非负性：p(x)≥0对所有x成立；(2)规范性：∑p(x)=1；(3)概率计算：P{X=x}=p(x)；(4)分布函数：F(x)=∑_{t≤x}p(t)。4.简述指数分布的性质。解析：指数分布具有以下性质：(1)密度函数：f(x)=λe^{-λx}(x≥0)，其中λ>0；(2)分布函数：F(x)=1-e^{-λx}(x≥0)；(3)无记忆性：P{X>s+t|X>s}=P{X>t}；(4)最小性：若X₁和X₂独立且同分布，则min(X₁,X₂)仍服从指数分布。5.简述正态分布的性质。解析：正态分布具有以下性质：(1)密度函数：f(x)=√(1/(2πσ^2))e^{-(x-μ)^2/(2σ^2)}；(2)对称性：关于x=μ对称；(3)中心极限定理：大量独立同分布随机变量的和近似正态分布；(4)标准正态分布：μ=0，σ=1的正态分布，记为N(0,1)；(5)转换关系：任意正态分布X~N(μ,σ^2)可通过标准化转化为N(0,1)：Z=(X-μ)/σ。6.简述Cauchy分布的性质。解析：Cauchy分布具有以下性质：(1)密度函数：f(x)=1/(π(1+x^2))；(2)没有期望和方差（积分发散）；(3)分布函数：F(x)=1/(π)arctan(x)+1/2；(4)对称性：关于x=0对称；(5)特殊性：不服从大数定律和中心极限定理。7.简述随机变量函数的分布求解方法。解析：求解随机变量函数Y=g(X)的分布方法：(1)离散型：若X取值x₁,x₂,...，则Y取值g(x₁),g(x₂),...，概率不变；(2)连续型：-分布函数法：F_Y(y)=P{g(X)≤y}=P{X∈D_y}，其中D_y={x|g(x)≤y}；-密度函数法：f_Y(y)=f_X(x)|dx/dy|，需确定x与y的对应关系。8.简述概率分布与概率密度的区别。解析：区别如下：(1)适用范围：概率分布适用于离散型随机变量，概率密度适用于连续型随机变量；(2)表示方式：概率分布用p(x)表示，概率密度用f(x)表示；(3)概率计算：概率分布直接给出P{X=x}=p(x)，概率密度需积分计算P{a<X≤b}=∫_{a}^{b}f(x)dx；(4)几何意义：概率分布是离散点的概率，概率密度是连续曲线下的面积。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题卡上对应题号的位置。）1.设随机变量X的分布列为：X-101Pp1/2p求P{X<0}+P{X>0}。解析：P{X<0}=P{X=-1}=p，P{X>0}=P{X=1}=p，因此P{X<0}+P{X>0}=2p。由于p+1/2+p=1，解得p=1/4，因此答案为1/2。2.设随机变量X的密度函数为f(x)=Ae^{-|x|}，求P{0<X<1}。解析：根据规范性∫_{-∞}^{+∞}Ae^{-|x|}dx=2A=1，解得A=1/2。因此P{0<X<1}=∫_{0}^{1}(1/2)e^{-x}dx=1/2(1-e^{-1})。答案为1/2(1-e^{-1})。3.设随机变量X的分布函数为F(x)=0,x<0;ax^2+bx,0≤x≤1;1,x>1，若F(x)在x=1处连续，求a+b。解析：F(1)=a+b=1。答案为1。4.设随机变量X的密度函数为f(x)=Ae^{-x^2/2}，求f(x)在x=0处的值。解析：根据规范性∫_{-∞}^{+∞}Ae^{-x^2/2}dx=√(2π)A=1，解得A=1/√(2π)。因此f(0)=1/√(2π)。答案为1/√(2π)。5.设随机变量X的分布函数为F(x)=0,x<0;ax^3+bx^2,0≤x≤1;1,x>1，若F(x)在x=1处连续，求a+b。解析：F(1)=a+b=1。答案为1。6.设随机变量X的密度函数为f(x)=Ae^{-x^2/2}，求P{X>1}。解析：根据规范性∫_{-∞}^{+∞}Ae^{-x^2/2}dx=√(2π)A=1，解得A=1/√(2π)。因此P{X>1}=∫_{1}^{+∞}(1/√(2π))e^{-x^2/2}dx=e^{-1/2}。答案为e^{-1/2}。7.设随机变量X的分布函数为F(x)=0,x<0;ax^2+bx,0≤x≤1;1,x>1，若F(x)在x=1处连续，求a。解析：F(1)=a+b=1，且F(0)=0，因此a=1-b。又因为F(x)在x=1处连续，所以a+b=1。解得a=1/2。答案为1/2。8.设随机变量X的密度函数为f(x)=Ae^{-|x|}，求P{X<0}。解析：根据规范性∫_{-∞}^{+∞}Ae^{-|x|}dx=2A=1，解得A=1/2。因此P{X<0}=∫_{-∞}^{0}(1/2)e^{x}dx=1/2。答案为1/2。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.D3.A4.D5.A6.A7.B8.B9.B10.C二、填空题1.42.1/√(2π)3.1/24.B=0且A为常数5.1/2(1-e^{-1})6.≤7.e^{-λ}8.19.1/√(2π)10.F(a)-F(a-0)三、判断题1.×2.×3.√4.√5.√6.×7.×8.√9.√10.×四、简答题1.简述随机变量分布函数的性质。解析：随机变量分布函数F(x)具有以下性质：(1)单调不减性：若x₁<x₂，则F(x₁)≤F(x₂)；(2)右连续性：F(x+0)=F(x)；(3)边界条件：F(-∞)=0，F(+∞)=1；(4)非负性：P{X≤x}≥0。这些性质是判断函数是否为分布函数的充要条件。2.简述连续型随机变量密度函数的性质。解析：连续型随机变量密度函数f(x)具有以下性质：(1)非负性：f(x)≥0对所有x成立；(2)规范性：∫_{-∞}^{+∞}f(x)dx=1；(3)概率计算：P{a<X≤b}=∫_{a}^{b}f(x)dx；(4)与分布函数关系：F(x)=∫_{-∞}^{x}f(t)dt。3.简述离散型随机变量分布列的性质。解析：离散型随机变量分布列p(x)具有以下性质：(1)非负性：p(x)≥0对所有x成立；(2)规范性：∑p(x)=1；(3)概率计算：P{X=x}=p(x)；(4)分布函数：F(x)=∑_{t≤x}p(t)。4.简述指数分布的性质。解析：指数分布具有以下性质：(1)密度函数：f(x)=λe^{-λx}(x≥0)，其中λ>0；(2)分布函数：F(x)=1-e^{-λx}(x≥0)；(3)无记忆性：P{X>s+t|X>s}=P{X>t}；(4)最小性：若X₁和X₂独立且同分布，则min(X₁,X₂)仍服从指数分布。5.简述正态分布的性质。解析：正态分布具有以下性质：(1)密度函数：f(x)=√(1/(2πσ^2))e^{-(x-μ)^2/(2σ^2)}；(2)对称性：关于x=μ对称；(3)中心极限定理：大量独立同分布随机变量的和近似正态分布；(4)标准正态分布：μ=0，σ=1的正态分布，记为N(0,1)；(5)转换关系：任意正态分布X~N(μ,σ^2)可通过标准化转化为N(0,1)：Z=(X-μ)/σ。6.简述Cauchy分布的性质。解析：Cauchy分布具有以下性质：(1)密度函数：f(x)=1/(π(1+x^2))；(2)没有期望和方差（积分发散）；(3)分布函数：F(x)=1/(π)arctan(x)+1/2；(4)对称性：关于x=0对称；(5)特殊性：不服从大数定律和中心极限定理。7.简述随机变量函数的分布求解方法。解析：求解随机变量函数Y=g(X)的分布方法：(1)离散型：若X取值x₁,x₂,...，则Y取值g(x₁),g(x₂),...，概率不变；(2)连续型：-分布函数法：F_Y(y)=P{g(X)≤y}=P{X∈D_y}，其中D_y={x|g(x)≤y}；-密度函数法：f_Y(y)=f_X(x)|dx/dy|，需确定x与y的对应关系。8.简述概率分布与概率密度的区别。解析：区别如下：(1)适用范围：概率分布适用于离散型随机变量，概率密度适用于连续型随机变量；(2)表示方式：概率分布用p(x)表示，概率密度用f(x)表示；(3)概率计算：概率分布直接给出P{X=x}=p(x)，概率密度需积分计算P{a<X≤b}=∫_{a}^{b}f(x)dx；(4)几何意义：概率分布是离散点的概率，概率密度是连续曲线下的面积。五、应用题1.设随机变量X的分布列为：X-101Pp1/2p求P{X<0}+P{X>0}。解析：P{X<0}=P{X=-1}=p，P{X>0}=P{X=1}=