人教版九年级上册数学 26.4 实际问题与二次函数-面积问题 专项训练（含答案）

人教版九年级上册数学26.4实际问题与二次函数---面积问题专项训练一．选择题（共10小题）1．用12m长的木条围成如图所示的“日”字形窗框，则窗户的最大透光面积（木条宽度和损耗忽略不计）为（）A．6m2B．16m2C．24m2D．36m22．用一根长60cm的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积为（）A．125cm2B．225cm2C．200cm2D．250cm23．如图，用长10m的铝合金条制成下部为矩形、上部为半圆的窗框．若使此窗户的透光面积最大，则最大透光面积为（）A．50πm2B．504+πmC．508+πmD．5016+πm4．如图，利用一面墙，用40米长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25米，那么围成矩形场地的最大面积是（）A．150m2B．200m2C．250m2D．400m25．用总长为a米的材料做成如图1所示的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（）A．16B．12C．8D．46．某农场拟建两间矩形饲养室，其中一面靠现有墙（墙的长度为16米），另外三面及中间用围栏隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的门，已知计划中的围栏材料（不包括门）总长为33米，则能建成的饲养室面积最大为（）平方米．A．54B．160C．108D．3207．（2024春•同步）如图，虚线部分为围墙材料，其长度为20m,要使所围的矩形面积最大，长和宽分别为（）A．10m,10mB．15m,5mC．16m,4mD．17m,3m8．如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m,其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m,有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．39．如图，要用篱笆围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AB是墙，且AB的长不超过21m,E，F分别为边AB，CD的中点，EF将其分成面积相等的两部分，在DF，FC上分别留出两个宽为1m的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是43m,有下列结论：

①AD的长可以是10m；

②当矩形菜园ABCD的面积为150m2时，BC的长为5m；

③当矩形菜园ABCD的面积最大时，BC的长为8m.

其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．310．为了节省材料，某工厂利用岸堤MN（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的长方形ABCD区域（如图），若BC=x米，则下列4个结论：①AB=（40−52x）米；②BC=2CF；③AE=2BE；④长方形ABCDA．①②B．①③C．②③D．③④二．填空题（共7小题）11．将一条长为16米绳子截成两条绳子，分别用这两条围成两个正方形，求这两个正方形面积和的最小值______．12．数学兴趣小组的同学在“综合与实践”活动中，用总长为60m的栅栏围一个一边靠墙的矩形花圃．设与墙垂直的边的长为xm,花圃的面积为Sm2．则S关于x的函数表达式为______，当x=______时，S可以取得最大值．13．如图所示，是一个长16m、宽9m的矩形花园，根据需要将它的长缩短xm、宽增加xm,要想使修改后的花园面积达到最大，则x=______m.14．如图，要建一个矩形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），如果用60m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设养鸡场平行于墙的一边长为xm,当x=______时，养鸡场的面积最大．15．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD．当AB=5时，花圃面积为______m2，花圃ABCD面积的最大值为______m2．16．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4cm,BC=8cm,动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果点P、Q分别从点A、B同时出发，那么经过______s四边形APQC的面积最小．17．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为21m,则能建成的饲养室总占地面积最大为______m2．三．解答题（共8小题）18．在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用28m长的篱笆围成一个矩形花园．设AB=xm.

（1）若围成花园的面积为192m2，求x的值；

（2）已知在点O处一棵树，且与墙体AD的距离为6m,与墙体CD的距离为15m.如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？19．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m.设矩形菜园的边AB的长为xm,面积为Sm2．

（I）写出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围；

（Ⅱ）当该矩形菜园的面积为72m2时，求边AB的长；

（Ⅲ）当边AB的长为多少时，该矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？20．为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地．为充分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙（墙的长度为8m），另外三面用棚栏围成．已知栅栏的总长度为18m,设矩形场地中垂直于墙的一边长为xm（如图）．

（1）若矩形种植场地的总面积为36m2，求此时x的值；

（2）当x为多少时，矩形种植场地的面积最大？最大面积为多少？21．（数学与生活融合）[问题情境]如图①，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=10，矩形DEFG的顶点分别在△ABC的边上，设DG的长为x,矩形DEFG的面积为y.

（1）【分析及解决问题】①填空：FG=______（用含x的代数式表示）；②当x的值为多少时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？

【拓展应用】

（2）如图②，某酒店后面有一块梯形空地ABCD，其中AB=110m,CD=200m,∠C=∠D=45°，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场EFGH，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边GH和空地的最长边CD重合，E、F分别在边AD、BC上，求修建的矩形停车场的面积的最大值．22．为在学生中弘扬劳动精神，教育引导学生崇尚劳动、尊重劳动．某校租了一块菜地用作劳动实践基地，六（1）班分到了一块长方形菜地．已知菜地有一面足够长的墙可以利用，班级准备用长度为am的篱笆围起来．为方便同学们进出劳作，设计了以下两种方案：

方案一：如图1，利用墙体作为菜地的一条长边，左右两侧各用5m长的篱笆围成宽，在平行于墙的另一边开一个2m宽的小门（门不需要篱笆）．此方案围成的长方形菜地面积为S1；

方案二：如图2，利用墙体作为菜地的一条长边，在左右两侧各开一个1m宽的小门（门不需要篱笆），左右两侧各用5m长的篱笆围成宽，用剩余篱笆围成平行于墙的另一边．此方案围成的长方形菜地面积为S2．

（1）图1中长方形的边BC长度为______m；图2中长方形的边FG长度为______m；（用含a的代数式表示）

（2）小华同学在计算过程中发现，6S1-5S2的值与a无关．请判断这个发现是否正确，并说明理由．23．现有一块长方形菜地，长12米、宽10米．菜地中间欲铺设纵横两条路（图中空白部分），如图（一）所示，横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍，设纵向道路的宽是x米（x＞0）．

（1）填空：在图（一）中，横向道路的宽是______米（用含x的代数式表示）．

（2）试求图（一）中菜地道路的面积；

（3）若把纵向道路的宽改为原来的2.2倍、横向道路的宽改为原来的一半，如图（二）所示，设图（一）与图（二）中菜地的面积（阴影部分）分别为S1、S2，试比较S1与S2的大小．

24．把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子．

（1）要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？

（2）折成的长方形盒子的侧面积为600cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？

（3）折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形边长；如果没有，说明理由．25．问题背景为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形ABCD花坛内种植红、蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉，正方形IJKL内种植蓝色花卉，剩下四个全等三角形内种植黄色花卉．AB的长为8m,AE=LI．红、蓝、黄三种花卉的单价分别为40元/m2，100元/m2，60元/m2.

建立模型设AE的长为xm,购买花卉的总费用为W元．

（1）用含x的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积；

（2）求W与x之间的函数表达式；

方案决策

（3）当购买花卉的总费用最少时，求EI的长．人教版九年级上册数学26.4实际问题与二次函数---面积问题专项训练

(参考答案)一．选择题（共10小题）1、A 2、B 3、C 4、B 5、B 6、D 7、A 8、C 9、C 10、D 二．填空题（共7小题）11、8平方米； 12、S=-2x2+60x；15； 13、3.5； 14、30； 15、45；1403； 16、2； 17、48；三．解答题（共8小题）18、解：（1）由题意可得，

x（28-x）=192，

解得，x1=12，x2=16，

即x的值是12或16；

（2）设矩形花园的面积为S，

S=x（28-x）=-x2+28x=-（x-14）2+196，

∵-1＜0，

∴当x＜14时，S随x的增大而增大，当x＞14时，S随x的增大而减小，

又∵{x≥628−x≥15，得6≤x≤13，

∴当x=13时，S取得最大值，此时S=195，

即能围成的花园的最大面积是195m19、解：（Ⅰ）∵AB=CD=xm,

∴BC=（30-2x）m,

由题意得S=x（30-2x）=-2x2+30x（6≤x＜15）；

（Ⅱ）令s=72得：-2x2+30x=72，

解得：x=3或x=12，

当x=3时，30-2x=24＞18，

∴x取12，

答：AB的长为12米．

（Ⅲ）∵S=-2x2+30x=-2（x-7.5）2+112.5，

∴当x=7.5时，S有最大值，S最大=112.5，20、解：（1）由题意得：x（18-2x）=36，

整理得：x2-9x+18=0，

解得x1=3，x2=6，

∵18-2x≤8，

∴x≥5．

∴x=6．

（2）设矩形种植场地的面积为ym2，

由题意得：y=x（18-2x）=-2x2+18x=-2（x-92）2+812，

∵-2＜0，5≤x＜9，

∴当x=5时，y最大，最大值为40．

答：当x为5米时，矩形种植场地的面积最大，最大值是40m21、解：（1）①在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=10，矩形DEFG的顶点分别在△ABC的边上，则：

∵在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=10，

∴∠B=∠C=45°，AB=AC=10，BC=2AB=102，

∵矩形DEFG的顶点分别在△ABC的边上，DG=x,

∴EF=DG=x,FG=DE，∠BDG=∠CEF=90°，

∴△BDG和△CEF均为等腰直角三角形，

∴BD=DG=x,CE=EF=x,

∴DE=BC−BD−EC=102−2x=FG；

故答案为：102−2x；

②由①可知：矩形DEFG的面积为y=x（102−2x）=−2x2+102x=−2（x−522）2+25，

∴当x=522时，y有最大值，最大值为25；

（2）如图，延长DA，CB交于点M，

∵AB=110m,CD=200m,

∴DM=CM=22DC=1002m，MA=22AB=552m，

∴AD=MD−MA=452m，

设EH=tm,则DE=2EH=2tm，

∴EM=（1002−2t）m，

当点A、E重合时，则DE的长为最大，此时2t=452，

∴t=45，

即0＜t≤45，

∴EF=2EM=（200−2t）m22、解：（1）图1中边BC的长度为a-5×2+2=（a-8）m,图2中边FG的长度为a-5×2=（a-10）m,

故答案为：（a-8）；（a-10）；

（2）正确，理由如下：

根据题意得，S1=5（a-8），S2=（5+1）（a-10）=6（a-10），

∵6S1-5S2=6×5（a-8）-5×6（a-10）=30a-240-30a+300=60，

即6S1-5S2的值与a无关．23、解：（1）设纵向道路的宽是x米，

∵横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍，

∴横向道路的宽为2x米；

（2）菜地道路的面积=12×2x+10x-x•2x=34x-2x2（平方米）．

答：在图（一）中菜地的道路的面积为（34x-2x2）平方米；

（3）在图（一）中，菜地的面积为：S1=12×10-（34x-2x2）=120-34x+2x2（平方米），

在图（二）中，菜地的面积为：S2=12×10-（12x+10×2.2x-x•2.2x）=120-34x+2.2x2（平方米），

∵x＞0，∴x2＞0，

∵S1-S2=（120-34x+2x2）-（120-34x+2.2x2）=-0.2x2＜0，

∴S1＜S2．

故答案为2x.24、解：（1）若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子．则：

设剪掉的正方形的边长为xcm,根据题意得，

（40-2x）2=484，

解得x=9或x=31（不符合题意，舍去）

∴剪掉的正方形的边长为9cm；

（2）设剪掉的正方形的边长为ycm,根据题意得，

4×（40-2y）•y=600，

解得y=5或y=15，

∴剪掉的正方形的边长为5cm或15cm；

（3）侧面积有最大值，最大值为800cm2，此