天津市津衡高级中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试卷（含答案）

天津市津衡高级中学2025-2026学年高二年级下学期5月期中考试数学试题一、单选题1．一个集合有5个元素，这个集合的含有3个元素的子集有（

）个A．10 B．20 C．30 D．402．下列选项正确的是（

）A． B．C． D．3．函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．4．设，则的值为（

）A． B． C． D．5．已知随机变量，且，则（

）A． B． C． D．6．已知数列首项为2，且满足，数列满足，且数列前项和为，则（

）A．5050 B．200 C．100 D．7．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中不放回地抽取两次，每次抽取1张，则在第一次抽到的卡片所标数字为奇数的条件下，第二次抽到的卡片所标数字仍为奇数的概率为（

）A． B． C． D．8．已知双曲线的右焦点为F，焦距为2c，过F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A，FA的延长线与直线交于点B，的面积为，O为原点，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．9．若定义在上的函数，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称是上的“三角形函数”．已知函数是定义在区间上的“三角形函数”，则的取值范围是（

）A． B．C． D．二、填空题10．如图，直线是曲线在点（5，6）处的切线，则________11．从，等5名学生中随机选3名参加数学、物理、化学三项竞赛，被选中的同学每人仅参加三项竞赛中的一项，且每项竞赛均有人参加，则和至多有一名入选的方法有______种．（请用数字作答）12．若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则_______；展开式中的系数是_______．13．已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件B，则________．14．大学生甲去某企业应聘，需要进行英语和专业技能两个项目的考核，先进行英语考核．每个项目有一次补考机会，补考不合格者被淘汰，不能进入下一个项目的考核．若每个学生英语考核合格和补考合格的概率都是，专业技能考核合格和补考合格的概率都是，每一次考试是否合格互不影响．则大学生甲不被淘汰的概率是____________；若大学生甲不放弃每次考试的机会，表示他参加补考的次数，则的数学期望是____________．15．已知恒成立，则正数的取值范围为______．三、解答题16．已知函数.(1)求函数的单调区间以及极值；(2)求函数在上的最小值.17．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；(2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？18．已知椭圆的左、右顶点分别为、，上顶点为B，离心率，．(1)求椭圆的标准方程；(2)点D是椭圆C上非顶点的一动点，直线交x轴于点P，直线交直线于点Q，是否是定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由．19．已知数列是等差数列，，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列．(1)求和的通项公式；(2)设，求数列的前项和．(3)若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列：，，，，，，，，，，，…，与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前211项的和．20．已知函数的导函数为.(1)当时，求的图象在处的切线方程；(2)若有两个不同的零点，求实数的取值范围；(3)已知，若在定义域内有三个不同的极值点，且满足，求实数的取值范围.参考答案1．A2．A3．B4．B5．D6．C7．C8．C9．A10．/11．12．13．/0.714．/15．16．（1）函数的定义域是.又，令，得，令，得，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所以函数的极大值为，无极小值.（2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，所以在上的最小值为.因为，所以，所以函数在上的最小值为1.17．(1)的分布列为：，的分布列为：；（2）由（1）得，，因为，所以甲得成绩更稳定，所以甲面试通过的可能性大.18（1）因为离心率所以，，，因为，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）因为，，因为点D是椭圆C上非顶点的一动点，所以直线的斜率一定存在且不为0，设为k所以直线的方程为，交x轴于点,所以联立得,因为，所以，所以，直线的斜率,直线的方程为,因为直线的方程为,联立得,所以,所以为定值12.19．（1）由得公差，又因为，得，化简得，解得，所以.由，，成等差数列，得由是等比数列，设代入，得，消去，得，化简并解得，.（2）由（1）得，，第一部分为，令，，两式相减：，，，第二部分利用裂项求和：，合并：；（3）由题可知新数列中，前有项，令，得前有项，令，得前有项，恰好位于与之间，所以前项中包含的前八项，剩下的全是中的项，，即的前项，.20．（1）当时，，则，所以，，所以的图象在点处的切线方程为，即；（2）由题知，，因为有两个不同的零点，所以方程有两个不等实根化简可得方程有两个不等实根，可看成直线与曲线有两个不同的交点，所以，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，有极大值也是最大值为当时，，且当时，，要使有两个不同的零点，需，即；（3）由题知，，其定义域为则，令，得或，设，则，当时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减又当时，；当时，，且，所以的大致图象如图所示