2027届上海市十年高考数学专题分类训练 专题04 幂指对函（10年汇编）（解析版）

专题04幂指对函10年真题1年模拟考点分类上海考情（2017-2026）命题规律考点01指数函数2017-2026年连续考查，题型覆盖单选题、填空题、解答题；2020、2023、2026年均有解答题，2025年考查逻辑推理型单选基础题聚焦指数函数单调性、基本运算与方程求解，难度较低；近年变化显著：大量结合分段函数、不等式、二次函数综合考查，解答题侧重分类讨论与最值求解，2025年创新考查指数单调性的逻辑反向推导，对推理能力要求提升考点02对数函数2017-2026年高频考查，题型以填空题、解答题为主；2022、2024、2025年均有解答题，2025年出现3问压轴解答题基础题考查定义域、单调性与不等式求解；核心变化为2025年首次结合新定义“对称集”，融合偶函数、充要条件、导数单调性综合考查，解答题从基础计算转向逻辑证明与多知识点融合，压轴题难度大幅提升考点03反函数2017-2021年连续考查，题型以单选题、填空题为主；2017-2020年年年有填空，2021年考查单选判断题型稳定，难度偏低，核心考查反函数的定义、存在性判断、解析式求解与反函数性质应用，无复杂综合考查，命题规律无显著变化，为基础送分类考点考点04幂函数2018、2022、2025年均有考查，题型为单选题、填空题；2025年考查单选，2022年考查定义域判断，2018年考查性质应用题型稳定，难度极低，核心考查幂函数的定义、单调性、奇偶性与定义域求解，无综合拓展考查，命题规律无显著变化，为基础必拿分考点考点01指数函数1．（2026·上海·高考真题）为不为1的任意实数，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【详解】由，则.2．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】D【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项.【详解】∵，∴，当时，定义域上严格单调递减，此时若，则一定有成立，故D正确，C错误；当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误.故选：D3．（2018·上海·高考真题）已知常数，函数的图像经过点、，若，则________【答案】【分析】将点代入函数并相加可得，化简后可得，从而可求解.【详解】根据题意，，即，去分母化简得，所以，因为，所以.故答案位：.4．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是______；【答案】【分析】分段讨论的范围即可.【详解】当时,根据指数函数的图象与性质知，当时,.综上:的值域为.故答案为：.5．（2023·上海·高考真题）已知函数，且，则方程的解为______________．【答案】【分析】分类讨论和，解方程的解，即可得出答案.【详解】当时，，解得：，当时，，解得：（舍去），所以方程的解为.故答案为：.6．（2020·上海·高考真题）已知：，，且，（1）若，求的取值范围；（2）已知时，，求为多少时，可以取得最大值，并求出该最大值.【答案】（1）；（2）时，.【分析】（1）当时根据函数的解析表达式，利用指数函数的单调性得到，进而解得；当时，利用不等式的基本性质可得,此时无解.（2）根据已知条件，结合函数的解析式，求得的值，进而分段讨论，当时可利用不等式的基本性质得到,当时利用二次函数的性质求得>400，从而得到答案.【详解】（1）当时，,即,；当时，,此时无解.综上所述，；（2）当时，,解得,当时，当时，,当时取得最大值.综上所述当时取得最大值，.【点睛】本题考查分段函数模型的应用，涉及不等式的基本性质，函数的最大值，指数函数的单调性，指数不等式和不等式的求解，属中档难度试题，关键在于分段讨论.难点在于（2）中的求最值部分，当时，关于的函数的单调性比较复杂，先探求范围，求出当时的最值，这样可以避免对复杂函数的单调性的分析.考点02对数函数1．（2024·上海·高考真题）函数的定义域为_______.【答案】【分析】由对数函数性质即可得.【详解】由题意可得，即的定义域为.故答案为：.2．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合．(1)，求；(2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”；(3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有．【答案】(1)(2)证明见详解(3)【分析】（1）根据对数函数的单调性即可求解；（2）根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性；（3）根据定义判断出函数单调不减，得到导函数大于等于0恒成立即可求解.【详解】（1）由定义得，.（2）证明：必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，，对任意，若，即，则，所以，所以对任意，是对称集.充分性：若对任意，是对称集，因为对任意，，所以，即①，又，所以，即②.由①②得，对任意，，所以函数是偶函数.综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证.（3）因为对于任意，都有，所以若，则，即若，则，所以，所以在上单调不减，所以对任意，恒成立.当时，显然成立，；当时，恒成立，令，，所以在单调递减，单调递增，所以；当时，恒成立，此时因为在上单调递减，当时，，时，，所以；综上，.【点睛】关键点点睛：函数在区间上单调不减等价于导函数在区间上大于等于0恒成立.3．（2024·上海·高考真题）已知函数．(1)若函数的图象经过点，求解不等式；(2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）代入点坐标计算求出，根据定义域和单调性即可求出的解集；（2）根据的定义域将问题转化为时，得出有解，再结合分离常数法和换元，最后借助一元二次函数的性质进行求解即可.【详解】（1），则，，，，，定义域为，要解不等式，则，．又在定义域内是严格增函数，由，则，解得．综上所述，不等式的解集为．（2）的定义域为，存在，使得、、依次成等差数列，则在方程中，应满足，由，解得，问题转化为时，方程有实数解．又，则，即．为严格单调函数，，，两边同除以得，．令，由，则，在有解．又在上是严格增函数，，即，又，则.4．（2022·上海·高考真题）(1)若将函数图像向下移后，图像经过，求实数a，m的值.(2)若且，求解不等式.【答案】(1)(2)答案见解析.【分析】（1）由题知，再根据题意得，解方程即可得答案；（2）根据题意，结合对数函数的单调性将不等式转化为的解集，再分类讨论求解即可.【详解】（1）解：函数的定义域满足，即，所以，要使函数的定义域非空，则，即.若将函数图像向下移后得到的解析式为：，.所以在函数的图像上，即，解得：，所以，（2）解：由题知，,,因为函数在上单调递增，所以等价于，展开整理得：，所以，不等式的解集为的解，所以，当时，不等式的解为；当时，不等式的解为.综上，当时，不等式的解为；当时，不等式的解为.5．（2022·上海·高考真题）已知函数，甲变化：；乙变化：，.(1)若，，经甲变化得到，求方程的解；(2)若，经乙变化得到，求不等式的解集；(3)若在上单调递增，将先进行甲变化得到，再将进行乙变化得到；将先进行乙变化得到，再将进行甲变化得到，若对任意，总存在成立，求证：在R上单调递增.【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.【分析】（1）由题设可得，求解即可.（2）由题设有，讨论、分别求解即可.（3）将题设化为对于任意存在，即可证结论.【详解】（1）由题设，甲变化为，则，∴，解得.（2）由题设，，又，∴，当，即时，则，恒成立；当，即时，则，解得：或.综上，不等式解集为.（3）由题设，，则，，则，∵当成立，在上单调递增，∴，∴对于任意总存在成立，∴在R上单调递增，得证.【点睛】关键点点睛：第三问，利用绝对值的几何意义及区间单调性，结合任意存在，判断函数在实数域上单调性.考点03反函数1．（2021·上海·高考真题）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据反函数的定义判断．【详解】在定义域内，中可能有两个不同的对应同一个，不存在反函数；是周期函数，多个对应同一个，不存在反函数；对值域内每一个值在定义域内都只有唯一的与之对应，存在反函数，是所有对应同一个，它不存在反函数．故选：C．2．（2022·上海·高考真题）已知函数的反函数为，则________【答案】【分析】求出函数的反函数的解析式，进而可求得结果.【详解】由可得，故，因此，.故答案为：.3．（2020·上海·高考真题）已知，则_______【答案】【分析】先反解出x，再交换x，y的位置即可得到.【详解】，即其反函数是.故答案为：【点晴】本题考查求已知函数的反函数问题，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.4．（2019·上海·高考真题）函数的反函数为___________【答案】【分析】求解出原函数的值域，得到反函数的定义域，再求解出反函数的解析式，得到结果.【详解】当时，，即又

反函数为：，【点睛】本题考查反函数的求解，易错点为忽略反函数的定义域.5．（2018·上海·高考真题）设常数R，函数，若的反函数的图像经过点，则________【答案】【分析】根据反函数的概念，代值计算即可.【详解】根据题意，，即，∴.故答案为：76．（2017·上海·高考真题）定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为________.【答案】【分析】由反函数与原函数的互逆关系知，的解就是求原函数的值，根据分段函数的解析式，结合奇偶性求出，从而可得结果.【详解】由反函数与原函数的互逆关系知，的解就是求原函数的值，又,且为奇函数，,,即为的解,故答案为.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、反函数的性质与应用以及分段函数的解析式，考查了转化思想的应用，意在考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于中档题.考点04幂函数1．（2025·上海·高考真题）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（

）．A． B． C． D．3【答案】B【分析】根据幂函数的单调性可排除C和D；根据幂函数过点，可排除A.【详解】因为幂函数在上是严格减函数，所以，故C错误，D错误；对于A，若，则，当时，，所以幂函数过点，故A错误；对于B，若，则，当时，，所以幂函数过点，故B正确.故选：B.2．（2022·上海·高考真题）下列函数定义域为的是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案．【解答】，定义域为，，定义域为，，定义域为，，定义域为．故选：C．3．（2018·上海·高考真题）已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则______【答案】【分析】由幂函数在上递减得，又由幂函数为奇函数，验证即可求解.【详解】因为幂函数在上递减，所以，又幂函数为奇函数，所以.故答案为：一、单选题1．（2026·上海·三模）已知，则等比数列的公比为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，进而根据等比中项，结合对数的运算性质得，再代入计算公比即可.【详解】因为为等比数列，所以，因为，，令，则，整理得，所以，，，所以，该数列的公比为.2．（2026·上海徐汇·二模）已知，则“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【详解】等价于，等价于，可以推出，但无法推出，因为还存在这种可能性，所以“”是“”的充分不必要条件.3．（2026·上海·三模）已知，则下列结论中不正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【详解】对于A，因为，由不等式的性质，不等式两边同时加上一个数，不等式方向不变，，故A错.对于B，因为函数在上单调递增，，所以，故B正确对于C，已知且，说明，那么，不等式两边同除以，不等式方向不变，所以，故C正确.对于D，已知，所以，因为函数在上单调递增，所以，故D正确.二、填空题4．（2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________【答案】【详解】由题意得，，得，则函数的图象过定点.5．（2026·上海杨浦·二模）若幂函数的图像经过点，则实数______.【答案】3【详解】代入，即，解得.6．（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______.【答案】【分析】先根据幂函数的定义求出参数，再利用已知函数值求出幂指数得到完整解析式，最后代入计算得到的值.【详解】已知，且是幂函数：根据幂函数的定义，可得，解得；将条件代入得，解得，即函数解析式为；将代入解析式得.7．（2026·上海金山·二模）将化成有理数指数幂的形式为___________．【答案】【分析】由根式与指数幂换算求解．【详解】．故答案为：8．（2026·上海徐汇·二模）若幂函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是________.【答案】【分析】由幂函数的性质进行求解即可.【详解】因为幂函数在区间上是严格减函数，所以，故答案为：三、解答题9．（2026·上海虹口·三模）设．(1)解不等式：；(2)若恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求定义域和单调性，再根据单调性解不等式.（2）先对不等式进行化简，然后分离参数，将问题转化为求函数的最值问题.【详解】（1）的定义域为且在单调递增.，，解得.故不等式的解集为.（2）.恒成立等价于恒成立，，.令，.令，则，在单调递减.又，时，，即，在单调递增，时，，即，在单调递减.，，即的取值范围是10．（2026·上海·三模）已知.(1)当时，求不等式的解集；(2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据对数函数的单调性可求不等式的解；（2）将对数型方程转化为只有一个正根，就结合判别式的符号分类讨论后可得实数的取值范围.【详解】（1）当时，，因为，所以，即，解得，所以所求解集为；（2）因为，由，得只有一个正根，若，满足题意；当时，若，解是，此时方程仅有一个实根为，满足题意；若，即，此时方程的两根之积为，所以方程两根只能异号，所以，可得，此时方程只有一个正根，满足题意；综上，或，所以实数的取值范围是：.11．（2026·上海长宁·二模）已知（其中，）.(1)若函数的图象过点，求不等式的解集；(2)若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）代入点坐标后求得函数的解析式，根据其单调性和定义域解不等式即可；（2）先根据等差数列得方程有两个不同的实数根，且两根都大于，进而对讨论，结合二次函数根的分布理论可得.【详解】（1）将代入，可得，得，故，该对数函数为定义在上的减函数，故由可得，解得，故不等式的解集为（2）由已知可得，即，故，整理可得，故，得，由题意可知方程有两个不同的实数根，且两根都大于，设，当时，，即函数在区间上有两个零点，故，解得，当时，，即函数在区间上有两个零点，故，不等式无解，综上可得实数的取值范围为12．（2026·上海杨浦·二模）设函数的定义域为D，值域.若且满足，则称与构成“函数的线性对”.(1)若，判断与π是否构成函数的线性对，并说明理由；(2)若，.若对于任意（常数），都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围；(3)函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对.求证：对任意，.【答案】(1)是，理由：因为，，所以，满足值域且，即与π是构成函数的线性对；(2)；(3)由是上的奇函数，可得，；则，即是线性对，由是线性对，则也是线性对，可得也是线性对，所以有，因为定义在上，所以通过迭代可得：，又由题设大前提，的值域，若值域内存在正数，必存在，使得，此时，而，显然，即值域内不存在正数；若值域内存在负数，必存在，使得，此时，而，显然，即值域不存在负数，因此对任意，，问题得证.【分析】利用赋值即可求证；利用分离变量求值域，即可求得参数范围；利用恒等式变形，结合值域分析，即可得证.【详解】（1）略（2）由题意，，需满足，代入​整理得：，因为，所以要求，又，故，由等式可得：，对任意都存在满足条件的，故，所以的取值范围；（3）略13．（2026·上海金山·二模）已知函数，其中．(1)若，求实数的取值范围；(2)若，其中，若存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据函数的单调性及函数的定义域列出不等式组求解即可；（2）求出函数导数，分类讨论，利用导数可得函数的单调性及极值，结合单调性及极值即可得解.【详解】（1）由可得，又为严格单调递增函数，且，所以，解得，所以实数的取值范围为.（2）因为，所以，，由可得，，当时，，在上单调递增，不合题意；当时，，故当或时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值，此时，不存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点；当时，，故当或时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值，故的极小值，又当时，，所以存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点.