2027届上海市十年高考数学专题分类训练 专题05 三角函数（10年汇编）（解析版）

专题05三角函数10年真题1年模拟考点分类上海考情（2017-2026）命题规律考点01二倍角公式2017-2026年连续考查，题型覆盖单选题、填空题、解答题；2018、2024、2026年均有解答题，2022-2026年每年均有填空/单选基础题基础题核心考查二倍角公式的化简应用、三角函数周期求解、给值求值，难度较低；近年变化显著：大量结合函数奇偶性定义、三角方程求解、分段函数综合考查，解答题侧重分类讨论与方程解集求解，对公式灵活应用能力要求提升考点02辅助角公式2020、2023、2025年均有考查，题型以填空题、解答题为主；2020、2023年有解答题，2025年出现填空压轴题基础题考查辅助角公式的化简、函数值域与周期求解；核心变化为2025年首次结合平面单位向量、数量积综合考查，2023年结合实际应用场景建模，题型从基础计算转向多知识点融合的综合推理，难度大幅提升考点03两角和与差公式2017、2022、2023、2024、2025年均有考查，题型覆盖单选题、填空题、解答题；2017年出现单选压轴题，2023年有解三角形解答题基础题考查给值求值、三角形内角计算；题型稳定，核心命题方向为融合解三角形、椭圆解析几何、平面向量综合考查，2017年结合椭圆最值问题压轴，侧重公式在综合场景中的灵活应用，无大幅题型变化考点04三角函数的基本性质2017-2026年年年必考，全题型覆盖，为解答题压轴高频考点；2023、2025、2026年均有压轴解答题，2026年同时考查单选与解答压轴基础题考查函数奇偶性、单调性、值域与周期判断；近年变化极为显著：大量结合导数切线方程、函数零点、不等式整数解、新定义概念综合考查，解答题从基础性质应用转向逻辑证明与多知识点融合的压轴题，2026年两道核心题均围绕本考点，对综合推理与应用能力要求大幅提高考点01二倍角公式1．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.【详解】对A，，周期，故A正确；对B，，周期，故B错误；对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；对于选项D，，周期，故D错误，故选：A．2．（2026·上海·高考真题）已知，则__________．【答案】【详解】．3．（2023·上海·高考真题）已知，则=__________.【答案】/【分析】由正切的倍角公式求解【详解】已知，则.故答案为：4．（2022·上海·高考真题）函数的周期为___________；【答案】【分析】利用降幂公式化简，即可求出答案.【详解】,所以的周期为：故答案为：.5．（2018·上海·高考真题）设常数R，函数.(1)若为偶函数，求的值；(2)若，求方程在区间上的解.【答案】(1)(2)，，，【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出；（2）先求出的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【详解】（1）∵为偶函数，∴恒成立，即恒成立，所以恒成立∴；（2）∵，∴，即，∴，∴，由，得，∵，∴∴或或或，所以，，，.考点02辅助角公式1．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______．【答案】【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.【详解】若，则，又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立；故.不妨设，则，不妨设，，则，则，则，由，，则，故.故答案为：.2．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则______．【答案】【分析】方法1，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，利用导数求解作答.方法2，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，借助辅助角公式求解作答.【详解】方法1：依题意，斜坡长度，因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力，求导得，由，得，当时，，当时，，于是函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，人上坡消耗的总体力最小.方法2：依题意，斜坡长度，因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力，由，得，即，其中锐角由确定，显然，而，则，当且仅当，即时取等号，此时，即，所以当时，人上坡消耗的总体力最小.故答案为：3．（2020·上海·高考真题）已知.(1)函数的最小正周期是，求，并求此时的解集；(2)已知，，求函数，的值域.【答案】(1)，或；(2).【分析】（1）利用正弦函数的周期公式求出，再求出方程的解集即得.（2）利用二倍角公式及辅助角公式求出，再利用正弦函数性质求出值域即可.【详解】（1）依题意，，解得，则，由，得，解得或，即或所以的解集为或.（2）依题意，，，当时，，则有，，所以函数，的值域为.考点03两角和与差公式1．（2017·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知椭圆和.为上的动点，为上的动点，是的最大值.记在上，在上，且，则中元素个数为A．2个 B．4个 C．8个 D．无穷个【答案】D【详解】椭圆和，为上动点，为上动点，可设，，则，当时，取得最大值，则在上，在上，且中的元素有无穷对，故选D.2．（2025·上海·高考真题）已知，则__________．【答案】【分析】利用同角三角函数关系和余弦的两角和公式求解即可.【详解】由可得，所以，故答案为：3．（2024·上海·高考真题）三角形中，，则______【答案】【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．【详解】三角形中，，，由正弦定理，，，得．故答案为：．4．（2022·上海·高考真题）已知，则_________.【答案】【分析】由两角和的正切公式求解即可．【详解】，故答案为：5．（2023·上海·高考真题）在中，内角、、所对的边为、、，其中(1)若，且，求边长的值；(2)若，，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出B根据余弦定理求解；（2）根据正弦定理求出C及c，再由求面积即可.【详解】（1）因为，所以，由余弦定理得，解得.（2）因为，所以，所以因为，所以，，所以，，所以.考点04三角函数的基本性质1．（2025·上海·高考真题）已知，不等式在中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（

）．A．0 B．338 C．674 D．1012【答案】D【分析】由题设可得，结合正切函数的周期分或时，和两种情况讨论求解即可.【详解】由，即，对于，周期为，且，，当或时，不等式在中无整数解；当时，若不等式有在内只有1个整数解，比如时，此时在内的整数解为，而，则在中可能有个整数解；若不等式有在内只有2个整数解，比如时，此时在内的整数解为或，则在中可能有个整数解；由于，则在内最多只有2个整数解，因此在中不可能有1012个整数解.故选：D.2．（2023·上海·高考真题）下列函数是偶函数的是（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】直接运用常见函数的奇偶性判断即可.【详解】根据所学知识，知道为奇函数，为偶函数，为非奇非偶函数.故选：B.3．（2023·上海·高考真题）已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（

）A．且 B．且 C．且 D．且【答案】C【分析】根据给定条件，举例说明，结合正弦函数的性质排除不可能的选项作答.【详解】因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可，当时，，，而，，因此在上的最小值，在上的最小值，A可能；当时，，，因此在上的最小值，在上的最小值，B可能；当时，，，因此在上的最小值，在上的最小值，D可能；对于C，若，则，若，则区间的长度，并且且，即且与矛盾，所以C不可能.故选：C【点睛】结论点睛：闭区间上的连续函数既有最大值，又有最小值.4．（2026·上海·高考真题）已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________．【答案】【分析】利用已知条件结合三角函数的性质构造方程组求出，结合初速度为0，求出，结合第一次达到最大值的时间构造方程求出，进而求出解析式．【详解】由题意知，和时，导数为0，即的最小值为0，最大值为4，又，所以，解得，故；已知初速度为0，则，解得，已知，则，速度第一次达到4时用时秒，则，即，此时．5．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为_________．【答案】【分析】利用余弦函数的单调性可得.【详解】由函数在上单调递增，在单调递减，且，故函数在上的值域为.故答案为：.6．（2018·上海·高考真题）已知常数、、、满足：，，，则的最大值为______【答案】/【分析】设点，，可得，，根据向量的数量积可得三角形OAB为等边三角形，的几何意义为点A，B两点到直线的距离之和，设，则，进而根据点到直线的距离公式以及正弦函数的性质求解即可.【详解】设点，，，，由，，，可得A，B两点在圆上，且，即有，即三角形OAB为等边三角形，，所求的的几何意义即A、B两点到直线的距离之和，故设，则，所以，其中，所以最大值为，当且仅当时，可取最大值.故答案为：7．（2017·上海·高考真题）设、，且，则的最小值等于________【答案】【详解】由三角函数的性质可知，，所以，即，所以，所以.8．（2026·上海·高考真题）已知函数.(1)当，，求函数在处的切线方程；(2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围.【答案】(1)(2)或，【分析】（1）根据以及可得，即可求导以及点斜式求解直线方程，（2）利用整体法，结合正弦函数的性质即可分类讨论求解.【详解】（1）当时，则，根据可得，故，故，由于，故，故，，则，故函数在处的切线方程为，故，（2）函数的最小正周期为，故，所以，令，当，则，令，则或，当时，要使得有1351个实数根，则，解得，当时，要使得有1351个实数根，则，解得，当时，要使得有1351个实数根，则，无解，综上可得或.9．（2024·上海·高考真题）已知，(1)设，求解:的值域;(2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围.【答案】(1);(2)【分析】（1）利用三角函数的性质结合换元法求出单调性，再求解值域即可.（2）利用三角函数的性质求解参数即可.【详解】（1）因为，所以，因为，所以令，由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减，所以，故，（2）由题意得，所以，可得，当时，，，即，，当时，，不符合题意，当时，，符合题意，当时，，符合题意，当时，，符合题意，所以，即，故.10．（2017·上海·高考真题）设，.(1)求函数的单调增区间；(2)设为锐角三角形，角所对的边，角所对的边.若，求的面积.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由，，令求解；（2）由可得，再利用余弦定理求得c，再利用求解.【详解】（1）解：，，令，解得，所以其单调增区间为.（2）由即，因为是锐角，所以，得，即.由余弦定理，，整理得，解得或.当时，，最大角是钝角，为钝角三角形，舍去；当时，，最大角是锐角，为锐角三角形，符合题意..一、单选题1．（2026·上海徐汇·二模）设，函数在区间上没有最大值和最小值，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，由，.因为函数在上没有最大值和最小值，所以函数的半个周期的区间长度不小于，即.结合正弦函数性质，则有或，解得或.即的取值范围为：.2．（2026·上海虹口·三模）若对于任意的，总存在，使得，则实数可以是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得在内的值域包含，只需，即可，进而将选项中的角，依次代入验证，即可求解.【详解】因为对任意，都存在，使得成立，所以，因为，所以，，若对任意，都存在，使得成立，可知在内的值域包含，只需，即可，因为，则，对于A：当时，，则，因为，所以的取值不符合条件，故A错误；对于B：当时，，则，因为，所以的取值不符合条件，故B错误；对于C：当时，，则，因为，，取值符合条件，故C正确；对于D：当时，，则，因为，所以的取值不符合条件，故D错误；3．（2026·上海·三模）若对于任意的，总存在．使得，则满足条件的的一个充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得在内的值域包含，只需，即可，进而将选项中的角，依次代入验证，即可判断.【详解】因为对任意，都存在，使得成立，所以，因为，所以，，若对任意，都存在，使得成立，可知在内的值域包含，只需，即可，因为，则，对于A：当时，，则，因为，所以的取值不符合条件，故A错误；对于B：当时，，则，因为，所以的取值不符合条件，故B错误；对于C：当时，，则，因为，，取值符合条件，故C正确；对于D：当时，，则，因为，所以的取值不符合条件，故D错误；4．（2026·上海·三模）已知某圆锥的侧面展开图为周长为，圆心角为的扇形是面积最大的扇形，则圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出扇形的半径和圆心角，当扇形面积最大的时候求出圆心角，然后求出圆锥的底面半径和高，最后利用体积公式计算体积即可.【详解】设扇形半径（即圆锥母线长）为，扇形的圆心角为.由题意，，.扇形的面积.，当且仅当，即时取等号.故扇形面积最大时，，.由，可得圆锥的底面半径.所以圆锥的高.圆锥的体积.5．（2026·上海金山·二模）函数是（

）A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数【答案】A【详解】，，故最小正周期为，设，，故为奇函数，故选项A正确.6．（2026·上海·三模）已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（

）A．且 B．且 C．且 D．且【答案】C【分析】根据给定条件，举例说明，结合正弦函数的性质排除不可能的选项作答.【详解】因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可，当时，，，而，，因此在上的最小值，在上的最小值，A可能；当时，，，因此在上的最小值，在上的最小值，B可能；当时，，，因此在上的最小值，在上的最小值，D可能；对于C，若，则，若，则区间的长度，并且且，即且与矛盾，所以C不可能.故选：C【点睛】结论点睛：闭区间上的连续函数既有最大值，又有最小值.7．（2026·上海奉贤·二模）音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，年法国数学家傅里叶发现代表任何周期性声音的公式是形如的简单正弦型函数之和，而且这些正弦型函数的频率都是其中一个最小频率的整数倍，比如用小提琴演奏的某音叉的声音图象是由下图三个函数图象组成的，则小提琴演奏的该音叉的声音函数可以为（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由图1求出、、的值，写出对应函数的解析式，再结合选项得出函数的解析式．【详解】解：由图1知，，，所以，所以；结合题意知，函数．故选：．8．（2026·上海虹口·三模）若函数满足：在定义域内存在互不相同的三个数，，，当，，成等差数列，有，，成等比数列，则称满足“性质”．对于以下两个结论，说法正确的是（

）．①函数不满足“性质”；②对于任意的正实数，都满足“性质”．A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确【答案】D【分析】对于①，取特殊值，结合，，成等差数列可得，假设，，成等比数列，可得，进而解方程求解判断即可；对于②，取特殊值，结合，，成等差数列可得，进而验证即可判断.【详解】对于①，由，，成等差数列，则，取，即，则，，若，，成等比数列，则，即，则，即或，则或（舍去），当时，，当时，，所以函数满足“性质”，故①错误；对于②，由，，成等差数列，则，取，则，，所以，而，则，所以对于任意的正实数，都满足“性质”，故②正确.二、填空题9．（2026·上海黄浦·三模）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的横坐标为________．【答案】【详解】设，则以为终边的角为，又，，所以，所以点的横坐标为

10．（2026·上海·三模）函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为______【答案】【分析】利用辅助角公式化简函数，得出振幅和周期，设点，利用正弦型函数的性质结合图象求出坐标，进而求出，利用构造方程求出，进而求出值．【详解】，振幅为，周期，设点，则，，，，解得，解得或（舍去），，解得．11．（2026·上海黄浦·三模）设，，，满足．若的值与、无关，则的取值范围为________．【答案】【分析】根据实数x，y满足,设,求出的取值范围，再结合的值与x，y均无关，得到相应不等式恒成立，确定a的取值范围.【详解】实数x，y满足,可设,则,,令，则，则原问题变为的值与t无关，由于，故，则，要使得的值与t无关，需满足对所有的恒成立，即，即对所有的恒成立，故当时，，符合题意，实数a的取值范围是.12．（2026·上海徐汇·二模）若，则______.【答案】5【详解】由，则.13．（2026·上海黄浦·三模）已知，则________.【答案】/0.6【分析】根据诱导公式，化简整理，即可得答案.【详解】因为，所以.14．（2026·上海静安·二模）若，则______．【答案】【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可求解.【详解】，故.15．（2026·上海静安·二模）双曲线的两条渐近线夹角大小为______．（结果用反三角函数值表示）【答案】【分析】首先得到双曲线的两条渐近线，再利用正切两角和差公式求解即可.【详解】由题可得，，因此渐近线方程为，两条渐近线斜率为，.两直线夹角，夹角公式为，代入得，由于且，因此夹角大小为.16．（2026·上海闵行·二模）定义：平面内图形上的所有点在直线上的射影所组成的图形称为在上的射影.若存在边长为的正三角形在正方形的四条边所在直线上的射影长度之和为4，则的取值范围为______.【答案】【分析】根据题意，转化为正三角形在轴、轴上投影之和的两倍，设与轴正半轴的夹角为，正三角形在正方形的四条边所在直线上的射影长度之和为，分、、三种情况分别计算的最值，再列不等式求解即可．【详解】解：根据题意，正三角形在正方形的四条边所在直线上的射影长度之和，等价于正三角形在轴、轴上投影之和的两倍，设与轴正半轴的夹角为，正三角形在正方形的四条边所在直线上的射影长度之和为，则，，当时，正三角形在轴、轴上投影分别为、，则，或时，取得最小值，时，取得最大值为；当时，正三角形在轴、轴上投影分别为、，，当时，取得最小值，当时，取得最大值为；时，正三角形在轴、轴上投影分别为、，当时，取得最小值，当时，取得最大值为；由对称性可证，其它象限最值情况一样，综上，的最小值为，最大值为，，解得，则的取值范围为．17．（2026·上海嘉定·二模）已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________【答案】【分析】代入数量投影公式，转化为三角函数值域问题求解.【详解】在方向上的数量投影为，，，.18．（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系xOy中，点，，．若点满足：，，则xy的最大值是________．【答案】【分析】通过条件建立关于与的二元一次方程组，解出，并使用辅助角公式变形求解.【详解】，，，由题意得解得，，，当时，取最大值为，所以y的最大值是.19．（2026·上海崇明·二模）已知，则的值为__________.【答案】【分析】利用二倍角的余弦公式，即可求得结果．【详解】由，则故答案为：20．（2026·上海·三模）若，则______．【答案】【分析】直接根据二倍角公式求解.【详解】根据二倍角公式，.故答案为：21．（2026·上海虹口·三模）已知，则等于_______．【答案】【分析】由二倍角的余弦公式，得到，代入即可求解．【详解】由二倍角的余弦公式，可得．【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，其中解答中熟记二倍角的余弦公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．22．（2026·上海·三模）已知角的终边经过点，则______．【答案】/【详解】因角的终边经过点，则该点到原点的距离，于是得，所以．23．（2026·上海·三模）已知双曲线：，则双曲线的渐近线夹角是______．（用反余弦表示）【答案】【分析】先根据双曲线标准方程求出渐近线方程，再利用三角恒等变换计算夹角的余弦值，最终用反余弦表示夹角.【详解】由题意可得双曲线的两条渐近线方程为，设渐近线的倾斜角为，则，则，故双曲线的渐近线夹角为，有，故双曲线的渐近线夹角是.24．（2026·上海长宁·二模）函数，的值域为________.【答案】【分析】直接根据正弦函数的单调性判断函数的最大值及最小值，进而可得函数值域.【详解】因为，由正弦函数的性质得：函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数有最小值，当时，函数有最大值.所以函数在上值域为.25．（2026·上海黄浦·二模）已知，且，则的值为______．【答案】【分析】利用诱导公式可得，结合同角三角函数关系运算求解，注意根据符号判断角所在象限.【详解】因为，即，且，可知角为第四象限角，所以.26．（2026·上海黄浦·二模）底面半径为1、母线长为3的圆锥的侧面展开图中扇形的中心角为______．【答案】【分析】根据圆锥的侧面展开图结合扇形的弧长公式运算求解.【详解】设侧面展开图中扇形的中心角为，由题意可得：，解得，所以侧面展开图中扇形的中心角为.27．（2026·上海崇明·二模）设，．若对任意，存在使得函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是________．【答案】【分析】先找出两个函数的单调区间的分界点，再进行排序，找到相邻两分界点的最小间距即可【详解】，由正弦函数的性质得到单调区间的分界点，相邻分界点间隔为，因此每个单调区间的长度为；，令，则，故单调区间的分界点，相邻分界点间隔为，因此每个单调区间的长度为.两类分界点合并排序，可发现它们交替排列，相邻两个不同类型的分界点的间隔交替为和，所以两类分界点之间的最小距离为，所以，又，所以a的取值范围是.28．（2026·上海金山·二模）已知角为第四象限角，且，则__________．【答案】【详解】，，，，为第四象限角，，.29．（2026·上海奉贤·二模）已知复数，，i是虚数单位，则的取值范围是________．【答案】【详解】，，，设，则，当，，即，时，，此时取最大值，当，，即，时，，此时取最小值，．30．（2026·上海崇明·二模）如图，已知圆柱的一个截面边界是椭圆Γ，其中Γ的长轴为该圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱底面直径的长．将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆在展开图中恰好为一个周期的三角函数图像．若该段曲线是函数的图像的一部分，则椭圆的离心率为_____．【答案】【分析】由正弦函数的最值和周期求得圆柱的高和底面半径，进而求得椭圆的长轴和短轴，即可得离心率.【详解】函数的值域为，最小正周期，依题意，圆柱的高，设圆柱的底面半径为，则，解得，椭圆短轴长，即，长轴长，即，所以椭圆的离心率.31．（2026·上海·三模）如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）.点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为.则的最小值为_______________.

【答案】【分析】采用化曲为直的方法，将曲面展成与平面共面的扇形，再有两点之间线段最短求出飞行路径的最短值，适当采取建系的方法可以大幅度减少计算量.【详解】由题可知，故该圆锥侧面展开图的圆心角，则连接可得，又由题知，如图建立平面直角坐标系

则，由两点之间线段最短可得，所以，故答案为：32．（2026·上海黄浦·三模）已知圆心角为的扇形面积等于，则该扇形的弧长为______.【答案】【分析】利用扇形的弧长及面积公式带入即可.【详解】扇形面积，解得.再通过弧长公式.故答案为：33．（2026·上海嘉定·二模）已知角的终边经过点，则__________．【答案】【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得的值．【详解】设坐标原点为，由题意可得：，故.故答案为：.34．（2026·上海嘉定·二模）函数的最小正周期是______．【答案】【分析】根据和正弦、余弦的二倍角公式化简即可求解.【详解】∵∴的最小正周期是.【点睛】本题考查三角函数的性质.三角函数的性质问题，先化简为的形式再求解.三、解答题35．（2026·上海·三模）已知点是函数的一个对称中心．(1)求的值；(2)若函数的最大值为，求的最小值和单调递增区间．【答案】(1)(2)的最小值为，单调递增区间为【分析】(1)利用余弦函数的对称中心性质即可求出的值.(2)先利用二倍角公式和辅助角公式化简,即可求解最值和单调性.【详解】（1）已知点是对称中心，则有，解得，又因为，所以当时，.（2）由(1)知，则即因为，所以的最大值为由题意可知.所以，所以的最小值是.解得，所以单调递增区间为36．（2026·上海黄浦·二模）如图，在直三棱柱中，点、分别是棱、上的点（点异于点），且．(1)求证：平面平面；(2)若是正三角形，，且三棱柱的体积是三棱锥的体积的倍，求与平面所成的角的大小．【答案】(1)证明如下：因为三棱柱是直三棱柱，所以平面，又平面，所以，又，，、平面，所以平面，又平面，所以平面平面．(2)【分析】（1）证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）解法一：设，由可求出的长，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与平面所成的角的大小；解法二：连接，过作平面，垂足为，连接，则就是直线与平面所成的角，取的中点，连接，取的中点，连接，证明出平面，利用等体积法求出的长，结合线面角的定义求解即可；解法三：设是的中点，连接、、，证明出平面，可知点与到平面的距离相等，证