第二章必刷小题4函数与方程

必刷小题4函数与方程[分值：73分]一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.(2025·盐城模拟)函数f(x)=3x+2x-3的零点所在的区间是()A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)答案A解析因为函数f(x)=3x+2x-3在R上单调递增，又f(0)=1-3=-2<0，f(1)=3+2-3=2>0，所以f(0)f(1)<0，故函数f(x)=3x+2x-3仅有一个零点，其所在的区间是(0，1).2.若函数f(x)=x2-4x+m存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则m的取值范围是()A.(-∞，4] B.(-∞，4)C.(4，+∞) D.{4}答案D解析因为函数f(x)=x2-4x+m存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，所以该零点两侧函数值的符号相同，则x2-4x+m=0有两个相同的根，则Δ=(-4)2-4m=0，解得m=4.3.(2025·北京西城区期末)将函数y=ex-1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数f(x)的图象，则 ()A.f(x)=ex-1 B.f(x)=ex+1C.f(x)=ex-2-1 D.f(x)=ex-2+1答案A解析将函数y=ex-1的图象向左平移1个单位长度，得到y=ex+1-1=ex的图象，再向下平移1个单位长度，得到y=ex-1的图象，所以f(x)=ex-1.4.(2026·天津模拟)函数f(x)=sinx答案A解析由题意，函数f(x)=sinx+4x且f(-x)=sin(−x)+4(−x)e|−x=-sinx+4xex当x=1时，可得f(1)=sin1+4e∈(1，2)，且当x→+∞时，f(x)→0排除B，A选项符合题意.5.(2025·哈尔滨期中)“相约哈尔滨，逐梦亚冬会”.哈尔滨地铁3号线通车后，列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当10≤t≤20时，列车为满载状态，载客量为500人，当2≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与10-t的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，则当发车时间间隔t=5时，列车的载客量为()A.410人 B.420人C.450人 D.480人答案C解析当2≤t<10时，设载客量为f(t)=500-k(10-t)2，由题意可知，f(2)=500-64k=372，解得k=2，当t=5时，f(5)=500-2×25=450，此时载客量为450人.6.(2026·北京朝阳区检测)在声学中，人们用分贝(dB)来描述声音的强弱等级.分贝数y由声音强度I(单位：W/m2)与基准声强I0(通常取10-12W/m2，是人耳能听到的最弱声音)的比值共同决定，计算公式为y=10×lgII0.一场热闹的演唱会正在进行，其声音强度Ic是基准声强I0的109倍，而普通交谈时的声音分贝约为60dB.记普通交谈时的声音强度为It，则IcA.102 B.10-2 C.103 D.10-3答案C解析由题可得60=10×lgItI0⇒lgItI0=6⇒ItI0=106，且I7.若函数f(x)=2x−mA.13，1 B.(-∞，0)∪[1，+C.[1，2) D.13，1∪[2，+答案C解析当x<1时，函数f(x)=2x-m单调递增，则函数f(x)在(-∞，1)上至多有一个零点，当x≥1时，函数f(x)=x2-4mx+3m2=(x-m)(x-3m)至多有两个零点，因为函数f(x)有三个零点，则函数f(x)在(-∞，1)上有一个零点，在[1，+∞)上有两个零点，当x<1时，令f(x)=2x-m=0，可得m=2x，必有m>0，解得x=log2m，所以log2m<1，解得0<m<2；当x≥1时，由f(x)=(x-m)(x-3m)=0，可得x=m或x=3m，所以m≥1,3m综上所述，实数m的取值范围为[1，2).8.(2025·昆明模拟)关于x的方程x2-3xsinπx2+1=0的实数解的个数为A.0 B.4 C.8 D.12答案B解析x2-3xsinπx2+1=0⇒x2+1=3xsinπx2，注意到则x+1x=3sinπx2，则方程实数解的个数即为函数y=x+1x，如图，在同一平面直角坐标系中作出两函数图象，则由图可得原方程实数解有4个.二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.在同一坐标系中，关于函数f(x)=x2与g(x)=2x的图象，下列说法错误的是()A.f(x)与g(x)有两个交点B.f(x)与g(x)有三个交点C.∃x0>0，当x>x0时，f(x)恒在g(x)的上方D.∃x0>0，当x>x0时，g(x)恒在f(x)的上方答案AC解析f(1)=1，g(1)=2，f(2)=g(2)=4，f(3)=9，g(3)=8，f(4)=g(4)=16，f(5)=25，g(5)=32，则可在同一坐标系内作出两函数的图象如图所示，显然两函数有三个交点A，B，C，故A错误，B正确，由于指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，所以当x>4时，g(x)恒在f(x)的上方，故C错误，D正确.10.血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，当血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间时药物发挥作用.某种药物服用1单位后，体内血药浓度变化情况与相关阈值如图所示(服用药物时间对应0时)，则下列说法中正确的有 ()A.服药1单位后12分钟到5.5小时之间药物发挥疗效B.若每次服药1单位，首次服药后，2.5小时之内不能再次服药C.若每次服药1单位，首次服药后，3小时之后可以再次服药D.每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用答案ABD解析对于A，从题图的持续期可以得出，服用药物后12分钟到5.5小时之间，血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间，药物发挥作用，A正确；对于B，服药1单位后，若2.5小时后再次服药，则在首次服药3.5小时后，即第2次服药1小时后，体内血药浓度将会超过最低中毒浓度，会引起中毒，因此若每次服药1单位，首次服药后，2.5小时之内不能再次服药，B正确；对于C，服药1单位后，若3小时后再次服药，则在首次服药4小时后，即第2次服药1小时后，血药浓度将会超过最低中毒浓度，引起中毒，C错误；对于D，第一次服药12分钟到5.5小时之内，药物会持续发挥治疗作用，第1次服药5.5小时后第2次服药，由于第2次服药对应的血药浓度增长速度大于第1次服药对应的血药浓度降低速度，从而体内的血药浓度会超过最低有效浓度，同时观察两次累计的最大值，不会超过最低中毒浓度，D正确.11.已知函数f(x)=x2+x+14,x≤0,|lnx−1|,x>0,若关于x的方程f(x)=A.0<k≤1B.e34≤xC.0<x1x2x3x4<eD.函数g(x)=f(f(x))-14答案ABD解析作出函数f(x)=x2+对于A，关于x的方程f(x)=k(k∈R)有四个不同的解，即函数y=f(x)的图象与直线y=k有4个交点，由图象可得0<k≤14，A对于B，由图可知0<1-lnx3≤14，解得e34≤x3<e对于C，由图象知x1+x所以x1+x2=-1，且x2∈−1所以x1x2=(-1-x2)x2=-x22-=-x2+122又由|lnx3-1|=|lnx4-1|⇒lnx3-1+lnx4-1=0⇒ln(x3x4)=2⇒x3x4=e2，所以0≤x1x2x3x4<e24，对于D，对于函数g(x)=f(f(x))-14令f(x)=t，g(x)=0，则f(t)-14=0可得t1=-1，t2=0，t3=e34，t4=当f(x)=t1=-1时，由图可得，无解，当f(x)=t2=0时，由图可得，有2个解，当f(x)=t3=e34>1时，由图可得，有当f(x)=t4=e54>1时，由图可得，有综上，函数g(x)=f(f(x))-14有8个零点，D正确三、填空题(每小题5分，共15分)12.已知x0是函数f(x)=lnx-x+2的零点，则ex0−2-x0+3=答案3解析由题意可得f(x0)=lnx0-x0+2=0，即lnx0=x0-2，则ex0−2=x0，故ex0−2-x0+3=13.若函数f(x)=12x,x≤0,−x2+2x+1,x>0,当答案(-∞，0)解析由指数函数和二次函数图象可得f(x)在(-∞，1)上的图象如图所示，显然当a<0时，f(x)≥f(0)=1，此时f(x)有最小值；当0≤a<1时，f(x)>f(a)，没有最小值，所以实数a的取值范围为(-∞，0).14.已知函数f(x)=log3(x+2)-e1-x与g(x)=a·2x-4x-2的零点分别为m和n，若存在m，n使得|m-n|<1，则实数a的取值范围是.

答案2解析对于函数f(x)=log3(x+2)-e1-x，因为函数y=log3(x+2)在定义域上为增函数，y=e1-x在定义域上为减函数，所以函数f(x)=log3(x+2)-e1-x在定义域上为增函数，又f(1)=log3(1+2)-e1-1=0，所以m=1，所以|n-1|<1，即n∈(0，2)，即函数g(x)=a·2x-4x-2在(0，2)上存在零点，令a·2x-4x-2=0，得a=2x+22令t=2x，