第二章§2.8指、对、幂的大小比较

§2.8指、对、幂的大小比较重点解读函数“比大小”是非常经典的题型，难度不定，方法无常，很受命题者的青睐.每年高考基本都会出现，难度逐年上升.高考命题中，常常在选择题中出现，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法可以从代数和几何方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答.题型一直接法比较大小命题点1利用函数的性质例1(2026·湘东教学联盟高三联考)若a=log772，b=70.1，c=27−0.1，则a，bA.c<a<b B.a<b<cC.a<c<b D.c<b<a答案C解析因为函数y=log7x在(0，+∞)上单调递增，所以log71<log772<log77，即0<a<1因为b=70.1，c=27−0.1=函数y=x0.1在(0，+∞)上单调递增，所以70.1>720.1>720，即b故b>c>a.命题点2找中间值例2(2020·全国Ⅲ卷)设a=log32，b=log53，c=23A.a<c<b B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b答案A解析∵3log32=log38<2，∴log32<23，即a<c∵3log53=log527>2，∴log53>23，即b>c∴a<c<b.命题点3特殊值法例3已知a>b>1，0<c<12A.ac<bc B.abc<bacC.alogbc<blogac D.logac<logbc答案C解析取特殊值，令a=4，b=2，c=14则ac=414，bc=214，∴ac>babc=4×214=294，bac=2×∴abc>bac，故B错误；logac=log414=-1，logbc=log214alogbc=-8，blogac=-2，∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误.思维升华利用特殊值作“中间量”在指数、对数中通常可优先选择“-1，0，12，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1=log22<log23<log24=2，进而可估计log23是一个1~2之间的小数，从而便于比较跟踪训练1(1)已知a=2334，b=342A.a>b>c B.b>c>aC.b>a>c D.c>b>a答案D解析∵y=23x在R上单调递减，且23∴2323又y=x23在(0，+∞)上单调递增，且23∴2323∴2334<又log2e>1，∴a<b<c.(2)设a=0.20.5，b=log53，c=50.2，则a，b，c的大小关系是()A.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.c<a<b答案A解析0<a=0.20.5=55<2.521>b=log53>log5512=c=50.2>50=1，所以a<b<c.题型二利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小命题点1作差法例4已知a=log62，b=log404，c=log455，则()A.a>b>c B.b>c>aC.c>a>b D.a>c>b答案C解析1a=log26=1+log23=1+ln31b=log440=1+log410=1+ln10ln4=1+1c=log545=1+log59=1+2ln3∵1a-1b=ln3−ln∴1a<1∵1a-1c=ln3=ln3×(ln5−2ln2)ln2×∴1a>1综上有1b>1a>1∴c>a>b.命题点2作商法例5(2025·成都模拟)若a=3−14，b=32−13，c=logA.a>b>c B.b>c>aC.c>a>b D.c>b>a答案D解析因为0<a=3−14<30<b=32−13令ab=3−1432−13而3112×2−13=3×2-4=316<1即3112×2−13<1又因为c=log1225=log12410>log12命题点3乘方法例6已知a=log35，b=log57，c=43A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.a>c>b答案D解析因为53=125>(343)3所以log35>log3343=43，即a因为73=343<(543)3所以log57<log5543=43，即b<c.所以a>c思维升华求同存异法比较大小如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数的公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式.跟踪训练2(1)(2025·天津河西区模拟)设a=13−0.3，b=20.4，c=ln32，则a，bA.b<c<a B.a<c<bC.c<a<b D.c<b<a答案D解析a=13−0.3=30.3>1，b=20.4a10=33=27，b10=24=16，故a10>b10，所以a>b>1，又c=ln32<lne=1，所以c<b<a(2)(2025·柳州模拟)已知137<216，346<217，设a=log3421，b=log2113，c=log138，则()A.a<b<c B.b<a<cC.c<a<b D.c<b<a答案D解析由137<216，得log21137<log21216，即7log2113<6，则log2113<67由346<217，得log34346<log34217，即6<7log3421，则log3421>67，则log2113<log3421，即b<a又log2113>0，log138>0，则log138log2113=log138×log1321<log13因此log138<log2113，即c<b，所以c<b<a.课时精练[分值：52分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.(2025·保定模拟)设a=50.4，b=15−0.6，c=log32，则a，b，A.a<b<c B.c<a<bC.b<c<a D.b<a<c答案B解析由指数函数y=5x的单调性可知，b=15−0.6=50.6>a=50.4又c=log32<log33=1，所以c<a<b.2.(2025·海南省直辖县级单位模拟)已知a=14log23，b=12，c=logA.a<b<c B.a<c<bC.b<c<a D.b<a<c答案A解析因为a=14log23=12log23<12，c=log53>log55=12，所以a<3.(2025·天津北辰区模拟)设a=2312，b=2sinπ6，c=3−A.c<b<a B.a<c<bC.a<b<c D.c<a<b答案D解析因为0<2312<230，则0<a<1，而b=2sinπ6=2又0<3−14<30，即0<a=2312=491故c<a<b.4.已知a=log32，b=log43，c=tanπ3，则a，b，cA.c>a>b B.a>c>bC.b>c>a D.c>b>a答案D解析c=tanπ3=3>1，a=log32<log33=1b=log43<log44=1.方法一a-b=ln2ln3-ln3ln4=因为ln2>0，ln4>0，则ln2+ln4>2ln2×ln4⇒ln2×ln4<14×(ln8)2<14×(ln9)2=(ln又ln3>0，ln4>0，则a-b<0，故a<b.方法二因为3a=3log32=log38<log39=2，所以a<23同理3b=3log43=log427>log416=2，则b>23，故a<b综上，c>b>a.5.(2026·德州模拟)设2024a=2025，b=log20232026，2022c=2026，则()A.a>c>b B.a>b>cC.b>c>a D.c>b>a答案D解析依题意，c=log20222026，b=log20222026log20222023<log2022a=log20242025=log20232025log20232024<log20232025log20232023=log所以c>b>a.6.(2025·广州模拟)已知57>310，410>77.设a=log47，b=2log72+log73，c=log925，则()A.a<b<c B.c<a<bC.b<c<a D.b<a<c答案D解析由题意可得b=log712，c=log35，因为57>310，410>77，所以两边取对数并整理得log35>107，log47<107，所以a<又a=log47=ln7ln4>1，b=log712=ln12ln7>1，ab且ln4×ln12<ln4+ln122=ln482<ln492=ln7，即ln4×ln12<(ln所以ab>1，即a>b，所以b<a<c二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.(2025·保定模拟)下列不等式成立的有()A.log0.30.2>log0.20.3 B.0.30.2>0.20.3C.log30.2<log20.2 D.30.2<20.3答案AB解析对于A，log0.30.2>log0.30.3=1，log0.20.3<log0.20.2=1，故log0.30.2>log0.20.3，A正确；对于B，0.30.2>0.30.3>0.20.3，故0.30.2>0.20.3对于C，由于log30.2<0，log20.2<0，故log20.2log30.2=1log0.221log对于D，因为(30.2)10=32=9，(20.3)10=23=8，所以(30.2)10>(20.3)10，故30.2>20.3，D错误.8.(2025·萍乡模拟)已知实数a，b，c满足0<c<1<b<a，则()A.ca<cb B.aacC.log12b<b D.tanc答案AC解析对于A，因为0<c<1，所以y=cx在R上单调递减，又a>b，所以ca<cb，故A正确；对于B，令a=4，b=2，c=12，所以aac=418=214，bbc对于C，因为b>1，所以log12b<0，b所以log12b<b，故对于D，取c=π4，b=3π4，可得tanc=1，tanb则tanc>tanb，故D错误.三、填空题(每小题5分，共10分)9.(2026·天津模拟)已知a=log333，b=log53，c=1515，则a，b，c的大小关系为答案b>c>a解析a=log333=log33−1b=log53=2log53=log59>log55=10<c=1515<所以b>c>a.10.(2025·沈阳模拟)设a=e1033，b=ln1110，c=ln2.210，则a，b，c的大小关系为.(用答案a>b>c解析a=e1033>e0=1，b=ln1110<1，c=故a>b，a>c，要比较ln1110与ln2.2即比