湖北省襄阳市部分学校2025-2026学年高一下学期7月期末测试数学试卷-附解析

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z满足，则z的虚部为（）A.1 B.C. D.2.已知向量，向量在上的投影向量，则（）A. B. C.0 D.23.某中学高一年级有280人，高二年级有320人，为了解该校高一高二学生对暑假生活的规划情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为60的样本，则高一年级应抽取的人数为（）A.14 B.16 C.28 D.324.在中，角的对边分别是．若，则（）A. B. C. D.5.如图，在四棱台中，底面是平行四边形，过点的平面与棱，，分别交于，，（三点均不在棱的端点处），则直线与平面的位置关系一定是（）A.与平面相交 B.平面C.平面 D.平面6.在复平面内，已知平行四边形的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，，，则点B对应的复数为（）A. B. C. D.7.如图，在正方体中，M是的中点．若点P满足：平面与平面交于直线l，且平面，则点可以位于（）A. B. C. D.8.在中，，，且的面积为，则（）．A.3 B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知一组样本数据，，的标准差为3，则（）A.，，不可能都相等B.，，的标准差也为3C.，，的平均数有最小值D.，，的平均数有最小值10.已知复数和在复平面内对应点和，且满足，，则（）A. B. C. D.11.的三个内角所对边的长分别为，其外接圆半径为R，内切圆半径为r，满足，的面积为6，则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，与共线，则_____________.13.当太阳光线与水平面的倾斜角为时，将一根竹竿斜插在水平地面上，竹竿露出地面的部分长为2米，则竹竿的影子最长为______米．14.在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，为等边三角形，平面平面，E为的中点，则三棱锥的体积为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.设复数，，.（1）若是纯虚数，为实数，求；（2）若，设，求的值.16.在平行四边形ABCD中，，，，E是AB的中点，，，设，．（1）用，表示、；（2）求与的夹角．17.某地区举办“机器人创新大赛”，现从参加该比赛的所有参赛者中随机抽取200名参赛者，将这200名参赛者的比赛成绩（单位：分）按，，，，，分成6组，并绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值；（2）用样本估计总体，估计该地区参加该比赛的所有参赛者比赛成绩的平均数：（每组数据用该区间的中间值作代表）（3）已知落在内比赛成绩的平均数为64.5，方差是14；落在内比赛成绩的平均数是70.5；落在内比赛成绩的方差是4．求落在内比赛成绩的平均数与落在内比赛成绩的方差．18.如图，三棱锥满足面，，点F为棱中点，点A在直线，，上的投影分别为D，E，H．（1）证明：面；（2）当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积；（3）在第（2）问的条件下，是否存在点T使得点T到A，B，D，H，F的距离均相等，若存在，求出二面角余弦值；若不存在，请说明理由．19.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，h为边上的高．（1）求证：；（2）求证：；（3）若为锐角三角形，求的取值范围；（4）设，若对给定的正实数k，当a，b，c变化时，始终是锐角三角形，试求满足条件的k的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z满足，则z的虚部为（）A.1 B.C. D.答案：A解析：思路：先根据复数的四则运算得出；再根据复数的虚部定义即可求解.解答过程：因为复数z满足，所以.即z的虚部为1.2.已知向量，向量在上的投影向量，则（）A. B. C.0 D.2答案：A解析：思路：利用投影向量的定义，结合数乘向量、向量的模的坐标运算，计算即可得结果.解答过程：由题意，，，则，所以向量在上的投影向量，所以，即.故选：A.3.某中学高一年级有280人，高二年级有320人，为了解该校高一高二学生对暑假生活的规划情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为60的样本，则高一年级应抽取的人数为（）A.14 B.16 C.28 D.32答案：C解析：思路：根据抽样比即可按比例求解.解答过程：高一年级应抽取人，故选：C4.在中，角的对边分别是．若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先根据余弦定理求出边，再利用余弦定理求出角的余弦值，最后结合三角形角的取值范围得出角的值．解答过程：由余弦定理可得：，，，，．故选：C．5.如图，在四棱台中，底面是平行四边形，过点的平面与棱，，分别交于，，（三点均不在棱的端点处），则直线与平面的位置关系一定是（）A.与平面相交 B.平面C.平面 D.平面答案：A解析：思路：利用线面平行的性质定理并结合点、线、面基本性质即可判断.解答过程：因为四棱台侧棱交于一点，可设平面与平面交线为，因为底面是平行四边形，所以，因为平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以.在梯形中，显然直线与直线既不垂直也不平行，因为平面，且，则直线与既不平行也不垂直，则直线与有交点，因为平面，则直线不垂直平面，故B错误；因为直线与有交点，平面，所以直线与平面有公共点，又因为点平面，所以与平面相交，故A正确；则平面，不平行平面，故CD错误.故选：A.6.在复平面内，已知平行四边形的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，，，则点B对应的复数为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据求解即可.解答过程：由平行四边形OABC知，，得点B对应的复数为.故选：A7.如图，在正方体中，M是的中点．若点P满足：平面与平面交于直线l，且平面，则点可以位于（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：延长交延长线于点，则直线l为过点平行于的直线，即可确定平面，可得解.解答过程：根据题意，延长交延长线于点，因为平面与平面交于直线l，且平面，则直线l为过点平行于的直线，又因为，则，所以与共面，即平面，所以点P可以位于，而点、和都不在平面上，故C正确.8.在中，，，且的面积为，则（）．A.3 B. C. D.答案：D解析：思路：延长到，使得，可得，由可得，进而求得，，在中，由余弦定理求得答案.解答过程：如图，延长到，使得，由，可得，即，所以，因为，所以，即，得，由勾股定理可得，则，在中，，则，在中，由余弦定理得，所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知一组样本数据，，的标准差为3，则（）A.，，不可能都相等B.，，的标准差也为3C.，，的平均数有最小值D.，，的平均数有最小值答案：AD解析：思路：根据样本数据的平均数、方差和标准差的公式逐一分析选项即可求解.解答过程：已知原样本标准差，因此原样本方差，对于选项A，若所有数据都相等，方差为，标准差为，与已知标准差为矛盾，因此这三个数不可能都相等，A正确；对于选项B，根据方差性质：若新数据为，则新方差为，新标准差为；因此本题中新标准差为，B错误；对于选项C，设样本平均数为，举例：令，可算得方差为，满足标准差为，此时平均数，可以无限小，因此平均数没有最小值，C错误；对于选项D，由方差公式展开：，整理得：，当时取到最小值，因此平方的平均数存在最小值，D正确.10.已知复数和在复平面内对应点和，且满足，，则（）A. B. C. D.答案：ABD解析：思路：根据复数模长的运算公式判断A正确；然后设，则，则，，然后根据根据复数的运算和向量的模长与坐标运算即可判断CBD的正误.解答过程：对于A，，所以A正确；设，则，则，对于B，因为，所以B正确；对于C，因为，，所以，所以C错误；对于D，因为，所以，所以D正确；故选：ABD．11.的三个内角所对边的长分别为，其外接圆半径为R，内切圆半径为r，满足，的面积为6，则（）A. B.C. D.答案：ABC解析：思路：A选项，对已知条件结合正弦定理可说明其正确；B选项，通过内切圆半径和面积法推出；C选项，由A先等价推出，由三角形的面积公式可算出；D选项，根据的取值结合和正弦定理可计算.解答过程：如图，设内切圆圆心为，则到三边的距离均为，于是，即，则，得到，B选项正确；由可得，结合正弦定理可得，，即，A选项正确；根据诱导公式，，，，按照整体展开得到，，而，于是，即，故，由三角形面积公式，，解得，C选项正确；由正弦定理结合B选项，，即，D选项错误.故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，与共线，则_____________.答案：解析：思路：先通过向量加法的坐标运算求出坐标，依据向量共线的坐标表示列出方程，求得的值，利用向量减法的坐标运算求出的坐标，即可求出的模长.解答过程：，与共线，可得，解得，所以，所以.故答案为：.13.当太阳光线与水平面的倾斜角为时，将一根竹竿斜插在水平地面上，竹竿露出地面的部分长为2米，则竹竿的影子最长为______米．答案：解析：思路：作出示意图，设竹竿与地面所成的角为，影子长为，依据正弦定理可得，再根据正弦函数性质求解即可.解答过程：作出示意图如下图，设竹竿与地面所成的角为，影子长为，依据正弦定理可得，所以，因为，所以要使最大，只需，即，所以时，影子最长为．14.在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，为等边三角形，平面平面，E为的中点，则三棱锥的体积为________．答案：##0.5解析：思路：取AD中点作PO垂直底面，利用E为PC中点的性质，所求三棱锥P-BDE的体积等于三棱锥P-BCD体积的一半.解答过程：取的中点，连接,因为是边长为的等边三角形，所以，且等边三角形的高又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，即是点到平面的高,因为底面是边长为的菱形，，因此，且，即是边长为的等边三角形，其面积所以因为为的中点，所以点、点到平面的距离相等，因此三棱锥与三棱锥同底等高，体积相等，即，又，因此四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.设复数，，.（1）若是纯虚数，为实数，求；（2）若，设，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据复数的概念及复数的模求解即可.（2）根据复数的乘法及复数相等求解即可.（1）因为是纯虚数，为实数，所以，，解得，，所以.所以.（2）若，则，，所以.又，所以，所以，解得，所以.16.在平行四边形ABCD中，，，，E是AB的中点，，，设，．（1）用，表示、；（2）求与的夹角．答案：（1）,.（2）解析：思路：（1）利用向量的线性运算可求、的表示形式；（2）利用向量的夹角公式可求与的夹角．（1），.（2），，，故，而，故.17.某地区举办“机器人创新大赛”，现从参加该比赛的所有参赛者中随机抽取200名参赛者，将这200名参赛者的比赛成绩（单位：分）按，，，，，分成6组，并绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值；（2）用样本估计总体，估计该地区参加该比赛的所有参赛者比赛成绩的平均数：（每组数据用该区间的中间值作代表）（3）已知落在内比赛成绩的平均数为64.5，方差是14；落在内比赛成绩的平均数是70.5；落在内比赛成绩的方差是4．求落在内比赛成绩的平均数与落在内比赛成绩的方差．答案：（1）（2）72.5（3）落在内比赛成绩的平均数为74.5，落在内比赛成绩的方差为32解析：思路：（1）利用频率分布直方图小长方形面积和为即可.（2）利用频率分布直方图中平均数计算公式即可.（3）利用分层抽样平均数和方差的计算公式即可.（1）由，得．（2）估计该地区参加该比赛的所有参赛者比赛成绩的平均数为．（3）由图可得的频率与的频率之比为，的频率与的频率之比为．设落在内比赛成绩的平均数为，则，解得，落在内比赛成绩的方差，所以落在内比赛成绩的平均数为74.5，落在内比赛成绩的方差为32．18.如图，三棱锥满足面，，点F为棱中点，点A在直线，，上的投影分别为D，E，H．（1）证明：面；（2）当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积；（3）在第（2）问的条件下，是否存在点T使得点T到A，B，D，H，F的距离均相等，若存在，求出二面角余弦值；若不存在，请说明理由．答案：（1）连接，因是等腰三角形底边上的中线，所以.因为平面，平面，所以.因为平面，平面，且与相交于点A，所以平面.因为平面，所以，因点A在直线上的投影是点H，所以.因为平面，平面，且与相交于点F，所以平面.因为平面，所以，因点A在直线上的投影是点D，所以.因为平面，平面，且与相交于点A，所以平面.（2）（3）存在，解析：思路：（1）利用线面垂直的判定定理，先证明平面，再证平面，从而可证平面.（2）先找出二面角的平面角，利用及线段关系可证明是等边三角形，即可求三棱锥的体积.（3）先找出满足条件的点T，且T为的中点，设线段中点为P，线段中点为Q，则是二面角的平面角，再利用已知条件计算出长度，在中，即可计算.（1）略（2）同（1），可证得平面，因为平面，所以.由（1）的过程可知，平面，因为平面，所以，.所以是二面角的平面角，则.在四边形中，，所以.所以，解得.因为平面，平面，所以，.因为，所以.所以，可得，故，所以是等边三角形，其面积为.所以三棱锥的体积为.（3）由（1）的过程可知平面，平面，所以，所以，，是共斜边的三个直角三角形，当T为的中点时，，即满足条件的T点存在，T为的中点．设线段中点为P，线段中点为Q，连接，，，中，，因此，过F作，与延长线交