湖南省怀化市2025-2026学年高一下学期期末测试数学试卷-附解析

数学满分150分.一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，为虚数单位，求（）A. B. C. D.2.已知，，与夹角为，则（）A. B. C. D.3.为了调查某校高一学生心理健康情况，计划采用分层随机抽样的方法抽取100名学生进行调查，已知该校高一学生中男生、女生人数分别为490，510名，则应抽取男生的人数为（）A.50 B.51 C.68 D.494.在中，设，，若，则（）A. B. C. D.5.将一个棱长为2的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（）A. B. C. D.6.已知向量，满足，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.7.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则8.棱长为2的正方体中，为正方体表面的动点，为正方体外接球的球心，满足，则点的运动轨迹的长度（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中，不正确的是（）A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥B.一个多面体至少有4个面C.有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱D.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台10.设，，是样本空间中三个概率都大于0的随机事件，则下列选项正确的是（）A.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件B.事件与事件中至少有一个发生的概率不小于与中恰有一个发生的概率C.事件，相互独立与，互斥不能同时成立D.若成立，则事件，，一定两两独立11.复数（，为虚数单位）的三角形式为，我们把这个结论：（，是复数的模，是复数的辐角），叫做棣莫弗定理.根据以上信息判断下列选项正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，，则D.若，，存在满足，这样的共有507个三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知两个非零向量，，且，，若，则________.13.有一组样本数据：6，，，，，，6，已知它的平均数为6，方差为10，则新数据，，，，的方差为________.14.已知一个圆锥的底面半径为6，侧面积为.若在该圆锥内能放入一个可以任意方向自由旋转的正方体（圆锥表面厚度忽略不计），则该正方体体积的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），分别观察底面上的数字（各面分别印有“1”“2”“3”“4”四个数字）.设事件“两个数字之和是5”，“两个数字之积不小于6”.（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；（2）求事件及事件的概率，判断这两个事件是否独立，并说明理由.16.记的内角，，的对边分别为，，，已知，.（1）求角；（2）点在的延长线上，若是斜边为2的直角三角形，求的面积.17.某市政府为了鼓励居民节约用水，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一户居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.通过抽样，获得了100户居民的月均用水量（单位：吨），将数据分成5组制成了下方所示的频率分布表.分组频率0.100.250.400.200.05（1）若该市有140万户居民，请估计全市月均用水量不低于19吨的户数；（2）若该市政府希望使80%的居民的月均用水量不超过标准（吨），请估计的值；（3）现拟定收费标准如下：月用水量不超过吨的部分按3元/吨收费，超出吨的部分按4元/吨收费.若取，试利用该样本数据估计该市每户居民月均水费的平均值（每组数据用区间中点值作为该组居民的月均用水量）.18.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，分别是，的中点.（1）求证：；（2）设面面.（i）求证：；（ii）若直线与直线所成角为，求直线与平面所成角的正弦值.19.已知，，定义运算.设为坐标原点，，为平面直角坐标系中的两点，且，.（1）求证；（2）若，.设，求证是一个仅与有关的量；（3）（i）设，，利用（1）的结论证明的面积为.（ii）已知，，.设的面积为，若，恒成立，求的取值范围.

数学满分150分.一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，为虚数单位，求（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由复数乘法可得，然后由复数模计算公式可得答案.解答过程：，则2.已知，，与夹角为，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：已知，，与夹角，且​，计算得.3.为了调查某校高一学生心理健康情况，计划采用分层随机抽样的方法抽取100名学生进行调查，已知该校高一学生中男生、女生人数分别为490，510名，则应抽取男生的人数为（）A.50 B.51 C.68 D.49答案：D解析：思路：由题设可得抽样比，据此即可得答案.解答过程：由题设可得男生，女生的抽样比为，结合一共抽取100人，则应抽取男生人数为.4.在中，设，，若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：应用向量加法及减法计算求解.解答过程：在中，设，，若，则，则.5.将一个棱长为2的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由题设可得满足题意体积最大球体为正方体的内切球，据此可得答案.解答过程：当该球体为正方体内切球时，体积最大，因为正方体棱长为2，则内切球半径为1，则对应体积为.6.已知向量，满足，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由投影向量计算公式结合题设可得答案.解答过程：由题设可得在上的投影向量为.7.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：B解析：思路：由空间中线面知识结合题设可得答案.解答过程：对于A，当，时，可能相交，平行，异面，故A错误；对于B，因，，则在内存在直线，使得，又，则，故B正确；对于C，当，时，可能在内，故C错误；对于D，当，时，可能在内，故D错误.8.棱长为2的正方体中，为正方体表面的动点，为正方体外接球的球心，满足，则点的运动轨迹的长度（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：取正方体一表面的中心为，正方体中心为，由题设可得，据此可得答案；解答过程：取正方体一表面的中心为，正方体中心为，由题设可得，平面，当Q在平面上时，结合，可得，则在平面上的轨迹为以为圆心，半径为1的圆，从而在正方体表面的运动轨迹为在正方体6个表面上以各表面中心为圆心，半径为1的圆.则的轨迹长.二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中，不正确的是（）A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥B.一个多面体至少有4个面C.有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱D.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台答案：ACD解析：解答过程：A选项，正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点在底面的射影落在底面正多边形的中心，A错误；B选项，多面体中面数最少的为三棱锥，有4个面，B正确；C选项，有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，还需要满足各个侧面的交线互相平行，C错误；D选项，用一个平面去截棱锥，必须是平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，D错误.10.设，，是样本空间中三个概率都大于0的随机事件，则下列选项正确的是（）A.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件B.事件与事件中至少有一个发生的概率不小于与中恰有一个发生的概率C.事件，相互独立与，互斥不能同时成立D.若成立，则事件，，一定两两独立答案：ABC解析：解答过程：互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A正确；由知，B正确；若A与C相互独立，则，若A与C互斥，则，故C正确；对于选项D，假设一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，事件，事件，事件.显然，事件，显然，满足，而此时，而，，不能推出A，B相互独立，故D错误.11.复数（，为虚数单位）的三角形式为，我们把这个结论：（，是复数的模，是复数的辐角），叫做棣莫弗定理.根据以上信息判断下列选项正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，，则D.若，，存在满足，这样的共有507个答案：ABD解析：思路：A.由棣莫弗定理得

，因

，故满足二次方程；B.代入模为1，比较两边复数，条件成立；C.计算模长时需取绝对值，半角余弦为负，符号错误；D.将

化为三角形式，由棣莫弗定理得，计数得结果.解答过程：已知

，由棣莫弗定理，因此，，故

，A正确；已知，，由模的性质知，，B正确；由得，所以，C错误；由棣莫弗定理得，又，∴，即，，∵，，∴，，∴，，故这样的n共有507个，D正确.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知两个非零向量，，且，，若，则________.答案：2解析：思路：由向量平行坐标表示可得答案.解答过程：因，，则或，结合为非零向量，可得.13.有一组样本数据：6，，，，，，6，已知它的平均数为6，方差为10，则新数据，，，，的方差为________.答案：14解析：解答过程：有一组样本数据：6，，，，，，6，已知它的平均数为6，方差为，所以则新数据，，，，的平均为也为6，方差为14.已知一个圆锥的底面半径为6，侧面积为.若在该圆锥内能放入一个可以任意方向自由旋转的正方体（圆锥表面厚度忽略不计），则该正方体体积的最大值为________.答案：64解析：思路：求出圆锥的母线长，且最大正方体的外接球恰好与圆锥内切，轴截面切球得到图形为正三角形的内切圆，求出内切圆半径，进而得到正方体的棱长和体积.解答过程：一个圆锥的底面半径为6，侧面积为，设圆锥的母线长为，则，解得，圆锥的母线长为12，故轴截面为正三角形，边长为12，若在该圆锥内能放入一个可以任意方向自由旋转的正方体，即最大正方体的外接球恰好与圆锥内切，轴截面切球得到图形为正三角形的内切圆，该正三角形的高为，故该内切圆的半径为，即球的半径为.由正方体的体对角线长为其外接球的直径，故正方体的棱长为4，体积为.故该正方体体积的最大值为64.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），分别观察底面上的数字（各面分别印有“1”“2”“3”“4”四个数字）.设事件“两个数字之和是5”，“两个数字之积不小于6”.（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；（2）求事件及事件的概率，判断这两个事件是否独立，并说明理由.答案：（1），其中x为Ⅰ号骰子点数，y为Ⅱ号骰子点数...（2）相互独立，理由如下：，由古典概型公式可得：.因为，所以.所以事件A与事件B相互独立.解析：思路：（1）用表示两枚正四面体骰子上的点数，其中为Ⅰ号骰子点数，为Ⅱ号骰子点数，据此可得答案；（2）由两事件相互独立条件结合题设可得答案.（1）略（2）略16.记的内角，，的对边分别为，，，已知，.（1）求角；（2）点在的延长线上，若是斜边为2的直角三角形，求的面积.答案：（1）（2）解析：思路：（1）应用余弦定理求出，再结合正弦定理化简得出，即可求解；（2）应用正弦定理计算得出，再计算三角形面积即可.（1）由及余弦定理可得，因为A是三角形的内角，即，所以.由及正弦定理可得.因为，两边同时除以，所以，所以或（舍）.所以.（2）由题意知，.在中，，，∴，.在中，由正弦定理得.又sin∠BCD=∴.17.某市政府为了鼓励居民节约用水，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一户居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.通过抽样，获得了100户居民的月均用水量（单位：吨），将数据分成5组制成了下方所示的频率分布表.分组频率0.100.250.400.200.05（1）若该市有140万户居民，请估计全市月均用水量不低于19吨的户数；（2）若该市政府希望使80%的居民的月均用水量不超过标准（吨），请估计的值；（3）现拟定收费标准如下：月用水量不超过吨的部分按3元/吨收费，超出吨的部分按4元/吨收费.若取，试利用该样本数据估计该市每户居民月均水费的平均值（每组数据用区间中点值作为该组居民的月均用水量）.答案：（1）万户（2）（3）元解析：思路：（1）由表格可得月均用水量不低于19吨的频率，据此可得答案；（2）由表格数据可得x必定落在第四组，据此可得答案；（3）类比频率分布直方图估计平均数方式结合题设可得答案.（1）由频率分布表可知，月均用水量不低于19吨的频率为：.根据“频数＝总数×频率”，可得月均用水量不低于19吨的户数为万户.（2）设x，使得月均用水量不超过x的居民占比达到80%（即累积频率为0.80），因为，所以x必定落在第四组.假设数据在组内均匀分布，则x距离下限19的距离为：.因此，（吨）.（3）当用水量，平均水费为元；当用水量，平均水费为元；当用水量，平均水费为元；当用水量，平均水费为元；当用水量，平均水费为元.因此平均水费为：（元）18.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，分别是，的中点.（1）求证：；（2）设面面.（i）求证：；（ii）若直线与直线所成角为，求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）∵底面为正方形，∴.又底面，∴.而，∴面.∴.又分别是的中点，∴.∴.（2）（i）∵，面，面，∴面.而面面，面，∴.（ii）解析：思路：（1）由正方形性质及线面垂直得面，再结合中位线证得垂直；（2）（i）由得面，结合面面交线性质证；（ii）将