湖南省名校联合体2027届高三上学期入学检测数学试卷-附解析

数学本试卷共6页．时量120分钟．满分150分．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，，则（）A. B.C. D.2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知正实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系不可能的是（）A. B. C. D.4.已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.边长为1的等边三角形绕其一条边旋转一周，形成的几何体体积为（）A. B.C. D.6.在中，，在边上，平分．若，则的最小值是（）A.20 B.18 C.17 D.167.设函数的定义域为，且不恒为0，函数为奇函数，函数为偶函数，下列结论不正确的是（）A.若为奇函数，则满足的与存在无数对B.若为偶函数，则满足的与存在无数对C.若是奇函数或偶函数，且满足，则与中恰有一个成立D.存在，使满足的与不存在8.已知，是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为Q，且Q与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.数据的上四分位数为9B.若，，且，则C，D相互独立C.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则D.将两个具有相关关系的变量的一组数据调整为，，…，，决定系数不变（附：，，）10.在平面直角坐标系中，，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，下列选项中，圆的面积可以是（）A. B.C. D.11.在平面直角坐标系中，已知直线与函数的图象交于点，与轴交于点，其中，则（）A.为的极大值点B.C.D.设直线的斜率为，则三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.__________．13.已知递增等比数列满足，，则__________．14.高三1班54个人围成一圈做游戏，每人手中都有一个硬币．游戏开始时，每个人同时独立且等概率地选择将自己的硬币：保留或给左边的人或给右边的人，此后记手中没有硬币的人的个数为，则__________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.年月日，的正式版发布，该模型在全球范围内引发广泛关注．现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于分钟的用户称为“忠实粉丝”．（1）估计该产品用户每日的平均使用时长（同一组的数据用该组区间的中点值代替）；（2）现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在，的用户中随机抽取人，并从中随机抽取人作进一步分析，记为人中“忠实粉丝”的人数，求的分布列和期望．16.如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，点为线段的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值．17.已知点，，为曲线上三点（其中点为曲线上除,外任意一点），且满足．（1）求曲线的方程；（2）已知圆，曲线的上焦点为，作圆的切线交曲线于，（，），在上取点使，判断是否为定值．18.已知．（1）若，求的图象在处的切线方程．（2）若有三个极值点，，．（i）求的取值范围；（ii）证明：．19.对所有满足且的数列，记为满足的的最小值（若不存在，则记）．（1）若，求的可能取值；（2）证明：若，则；（3）求．

数学本试卷共6页．时量120分钟．满分150分．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据题意，分别求得和，结合集合交集的定义与运算，即可求解.解答过程：由不等式，可得，解得，可得集合，又由函数，可得，解得，可得集合，根据集合交集的定义与运算，可得2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：解答过程：，其共轭复数为，共轭复数对应的点坐标为，该点位于第一象限.3.已知正实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系不可能的是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：令，因为，所以，所以，所以，所以，选项与此矛盾.4.已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：思路：根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断.解答过程：若，则存在唯一的实数，使得，故，而，存在使得成立，所以“”是“存在，使得’的充分条件，若且，则与方向相同，故此时，所以“”是“存在存在，使得”的必要条件，故“”是“存在，使得”的充分必要条件.故选：C.5.边长为1的等边三角形绕其一条边旋转一周，形成的几何体体积为（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：边长为1的等边三角形，绕其中一条边旋转一周，所得几何体是两个底面重合的同底圆锥.等边三角形的高，即圆锥底面半径，每个圆锥的高为.几何体的体积为两个圆锥体积之和：.6.在中，，在边上，平分．若，则的最小值是（）A.20 B.18 C.17 D.16答案：B解析：思路：根据三角形的面积公式以及基本不等式求解即可.解答过程：已知AD是的角平分线，，因此.则.设，，则，化简得bc=2b+2c⟹1.由基本不等式，，当且仅当即时取等号.所以，此时，满足条件，故最小值为18.7.设函数的定义域为，且不恒为0，函数为奇函数，函数为偶函数，下列结论不正确的是（）A.若为奇函数，则满足的与存在无数对B.若为偶函数，则满足的与存在无数对C.若是奇函数或偶函数，且满足，则与中恰有一个成立D.存在，使满足的与不存在答案：D解析：思路：利用奇偶函数的定义与运算性质，结合定义域为的任意函数可唯一分解为一个奇函数与一个偶函数之和的结论，逐一分析四个选项判断正误．解答过程：对于A项，对任意非零常数，构造，（常数为偶函数），满足，可取任意非零实数，得到无数对不同的，，故A项正确；对于B项，对任意非零常数，构造（奇函数），，因为是偶函数，，是偶函数，满足，可取任意非零实数，得到无数对不同的，，故B项正确；对于C项，若为奇函数，，联立，得，不恒为0，仅成立；若为偶函数，，联立，得，不恒为0，仅成立；因此与恰有一个成立，故C项正确；对于D项，对任意定义域为的函数，都可以唯一分解为奇函数、偶函数的和，与是否为奇或偶函数无关，因此，一定存在，故D错误．8.已知，是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为Q，且Q与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据角平方分线及椭圆定义计算结合，最后计算得出离心率即可.解答过程：延长交的延长线于，连接，由题意知：，，所以，则的轨迹为以为圆心、为半径的圆，所以与短轴顶点的最短距离为，所以，所以，则.故选：C.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.数据的上四分位数为9B.若，，且，则C，D相互独立C.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则D.将两个具有相关关系的变量的一组数据调整为，，…，，决定系数不变（附：，，）答案：BD解析：思路：根据百分位数的计算方法，可判定A错误；根据条件概率和相互独立事件的概率公式，可判定B正确；根据回归直线方程的性质，可判定C错误；根据决定系数的公式，根据数据的变换前后分别相等，可判定D正确.解答过程：A，把数据从小到大排序，可得，共8个数据，其中，所以数据的上四分位数为，所以A错误；B，因为，且，所以，由条件概率的公式，可得，所以，所以相互独立，所以B正确；C，散点不一定在回归直线上，不能直接代入直线方程，所以C错误，D，由，将变成，则新均值为，新回归方程为，因此新预测值，从而残差和总偏差与变换前分别相等，所以决定系数，所以D正确.10.在平面直角坐标系中，，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，下列选项中，圆的面积可以是（）A. B.C. D.答案：CD解析：思路：设，根据题意求出圆的面积的最小值，再逐一判断即可.解答过程：设，则,且半径，所以圆必过坐标原点，又因为圆与直线相切，所以,又因为坐标原点到直线的距离，所以的最小值为，所以圆的面积的最小值为，对于A，因为，不满足题意；对于B，，不满足题意；对于C，，满足题意；对于D，，满足题意.11.在平面直角坐标系中，已知直线与函数的图象交于点，与轴交于点，其中，则（）A.为的极大值点B.C.D.设直线的斜率为，则答案：ACD解析：思路：对于A，求导验证即可；对于B，利用不等式，取特殊值验证即可；对于C，由题意，利用分析法证明即可；对于D，由题意，利用分析法证明即可.解答过程：对于A，由题意得，由，函数在上递减，在上递增，且当时，.所以当时，，故；当时，，故；由此是的极大值点，故A正确；对于B，令，则，所以在上单调递增，由题意得，由不等式，取，得，所以，由此，又单调递增，所以，则，故B错误；对于C，由题意，，要证，只需证，等价于，由，得，所以只需证，由于，则成立，故C正确；对于D，直线的斜率，要证，等价于，等价于，因为，所以，由于，由B已证，即，且，又，所以，所以，故D正确.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.__________．答案：##解析：思路：结合诱导公式及二倍角公式求解即可.解答过程：因为.13.已知递增等比数列满足，，则__________．答案：##解析：思路：令，可得，通过两式相乘和相除求得，，进一步求出公比为q，即可得解.解答过程：设递增等比数列的公比为q，已知，，令，则，两式相除，得，因为，递增等比数列各项为正，所以，两式相乘，得，所以，即，即，解得，因为数列递增，则，所以.14.高三1班54个人围成一圈做游戏，每人手中都有一个硬币．游戏开始时，每个人同时独立且等概率地选择将自己的硬币：保留或给左边的人或给右边的人，此后记手中没有硬币的人的个数为，则__________．答案：解析：思路：设为指示随机变量：，由进行求解．解答过程：54个人围成一圈，设为指示随机变量：，则手中没有硬币的人的个数，依题意，，由期望的线性性质：，每个人有3种等概率选择：保留，给左边，给右边，每种概率都是，要让第人手里没有硬币，则有三种情况：自己不保留硬币，即自己选择左或右，概率为；右边的人不给自己，即右边人不选向左，概率为；左边的人不给自己，即左边人不选向右，概率为，三个人独立，所以，所以，故。四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.年月日，的正式版发布，该模型在全球范围内引发广泛关注．现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于分钟的用户称为“忠实粉丝”．（1）估计该产品用户每日的平均使用时长（同一组的数据用该组区间的中点值代替）；（2）现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在，的用户中随机抽取人，并从中随机抽取人作进一步分析，记为人中“忠实粉丝”的人数，求的分布列和期望．答案：（1）（2）解析：思路：（1）直接由频率直方图的性质得，进而由频率直方图计算平均值，并用样本估计总体可得；（2）先由分层抽样确定两组所抽取的人数，进而可得服从超几何分布，从而可得的分布列及期望.（1）由，解得..所以样本中该产品用户每日的平均使用时长为分钟，由样本估计总体，因此估计该产品用户每日的平均使用时长（分钟）.（2）由频率分布直方图可知，频率，频率.所以两组频率之比为，所以用分层抽样抽取的人中，抽取人（非“忠实粉丝”），抽取人（“忠实粉丝”），从人中任取人，的可能取值为，，，所以服从超几何分布，.，，，所以的分布列为所以的期望.因此.16.如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，点为线段的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值．答案：（1）证明：因为平面平面，交线为，平面且，所以平面．又平面，所以.因为为等边三角形，且为的中点，所以，因为，且，平面，，，所以平面.（2）解析：思路：（1）先由面面垂直可得平面，进而可得，再由等边三角形的性质得，再由线面垂直的判定定理可得；（2）根据条件建立空间直角坐标系，用向量法求线面角的正弦值，再由同角三角函数关系式可得线面角的正切值.（1）略（2）取的中点，连接，，由等边三角形性质知，因为平面平面，由面面垂直性质可得平面．因为且，所以四边形为平行四边形，得，即．以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图：则各点坐标为：，，，，．因为为的中点，所以，，，．设平面的法向量为，由，得，，取，则.所以平面的法向量.设直线与平面所成角为，且，则，即，且，由同角三角函数关系式得.因此直线与平面所成角的正切值为．17.已知点，，为曲线上三点（其中点为曲线上除,外任意一点），且满足．（1）求曲线的方程；（2）已知圆，曲线的上焦点为，作圆的切线交曲线于，（，），在上取点使，判断是否为定值．答案：（1）（2）是定值，定值为.解析：思路：（1）设点．把已知用坐标表示后化简可得；（2）若切线斜率存在，设切线的方程为，由与圆相切得．设点，，由垂直得关系，从而用表示出点坐标，代入曲线的方程求出，切线斜率不存在时，同样求出，从而计算数量积可得.（1）设点．由题意，，，的斜率分别为，，代入，得，整理得．这是焦点在轴上的双曲线，其顶点为，即点，．因此曲线的方程为．（2）显然，法一：若切线斜率存在，设切线的方程为，由与圆相切得．设点，．由可得，解得，故．代入双曲线可得，展开化简得．若斜率不存在，此时易得或，与双曲线联立解得或，又由，点与点的横坐标相同，解得．所以为定值．法二：设点，因为，则可令点．因为切线与单位圆相切，故到直线的距离为，在中，面积，即，化简得．①又在双曲线上，可得，②①②，得，所以为定值．法三：设点，，若切线斜率存在，设直线的方程为，由与圆相切得．联立，得，由韦达定理，得，，由且点在直线上，设，代入垂直条件并结合，推导得，平方得，代入韦达定理及化简可得，若斜率不存在，此时易得或，与双曲线联立解得或，又由，点与点的横坐标相同，解得．所以为定值．法四：显然切线的斜率不为，设切线，由与圆相切得．设点，，由可得，解得，故．代入双曲线可得，展开化简得，解得（显然，负值舍去）．所以为定值．18.已知．（1）若，求的图象在处的切线方程．（2）若有三个极值点，，．（i）求的取值范围；（ii）证明：．答案：（1）（2）（i）（ii）由（i）知，，且，即.要证，即证，即证，即证，即．即证，即证．设，则．则单调递增，而，则，即，，即，即证毕．解析：思路：（1）根据导数的几何意义，通过求导得到切线斜率，结合切点坐标即可求得切线方程.（2）（i）先对原函数求导，将极值点问题转化为导函数零点问题，分离参数后通过研究新函数的单调性与值域确定参数范围；（ii）将待证不等式逐步等价转化，最终转化为极值点偏移问题，通过构造对称函数证明结论.（1）当时，，，故切点为．，故．切线斜率为2，得切线方程：，所以的图象在处的切线方程为．（2）（i），设，若，则单调递增，即其至多有一个零点，即至多有两个极值点，不可能有三个极值点，故．当时，恒成立，故时；当时，即为的一个极小值点．又，则在上单调递减，在上单调递增，即有最小值．有三个极值点，即有两个变号零点，，即，解得．（ii）略方法提示：方法归纳：1.已知极值点个数求参数范围，可将问题转化为导函数零点个数问题，通过分离参数、研究辅助函数的单调性与值域求解.2.双变量不等式证明可通过等价转化，转化为极值点偏移问题，构造对称函数结合单调性证明.19.对所有满足且的数列，记为满足的的最小值（若不存在，则记）．（1）若，求的可能取值；（2）证明：若，则；（3）求．答案：（1），，