湖南省邵阳市邵阳县石齐学校2025-2026学年高一下学期期末考试模拟卷数学试卷-附解析

数学一、单选题（每题5分，共40分）1.已知集合，，则（

）A. B.C. D.2.已知均值为10，方差为1，则的均值和方差分别为（）A.20，2 B.21，2 C.21，4 D.20，43.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（

）A. B.C. D.4.已知向量，，若，则（）A.1 B.2 C.-1 D.-25.如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段，C，O，D为线段AB的四等分点，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.6.已知，则的值为（）A. B. C.－ D.7.已知定义在上的偶函数满足且，则（）A. B. C. D.8.如果函数在区间上是凸函数，那么对于区间内的任意，，…，，都有，若在区间上是凸函数，那么在中，的最大值是（）A. B.3 C. D.二、多选题（每题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.在如图所示的网格中，每一个小正方形的边长均为1，则下列说法正确的是（）A. B.在方向上的投影向量为C.与的夹角为30° D.10.设正数满足，则下列说法正确的是（）A.的最大值为1B.的最小值为C.的最小值为D.的最小值为11.已知正方体的棱长为1，，其中，，且，则下列选项正确的是（）A.平面 B.异面直线与所成的角为C.的轨迹长度为 D.取最小值三、填空题（每题5分，共15分）12.已知复数，则复数的模为________．13.第十五届全国运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”一亮相，好评不断，这对吉祥物不仅在体育赛事中扮演着重要角色，还成为了文化自信与家国情怀的象征．现工厂决定从只“喜洋洋”，只“乐融融”和个全运会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本进行质量检测，若“喜洋洋”抽取了只，则______．14.在中，角、、所对的边分别是、、，已知，则的取值范围是________．四、解答题（共5大题，共77分）15.某学校举办了一场党史知识竞赛活动，共有名学生参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的得分情况，从中抽取了名学生的得分（得分均为整数，满分为分）进行统计，所有学生的得分都不低于分，将这名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组，得到如下的频率分布直方图.（1）求图中的值，并估计此次竞赛活动中学生得分的第百分位数；（2）根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动学生得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的名学生中有多少名学生获奖.16.如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的四等分点.设，.（1）用，表示，；（2）若，，，求与的夹角的余弦值.17.已知函数.（1）求函数在上的最小值；（2）已知，，分别为内角，，的对边，，，且，求边的长.18.在多面体ABCDEF中，，且，.（1）证明：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值；（3）在（2）的条件下，求该多面体的体积.19.若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”．定义在上的奇函数，当时，．（1）求的解析式；（2）求函数在内的“倒域区间”；（3）若函数在定义域内所有“倒域区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数m，使集合恰含有2个元素？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

数学一、单选题（每题5分，共40分）1.已知集合，，则（

）A. B.C. D.答案：A解析：思路：由交集概念即可求解.解答过程：由，，可得：.故选：A2.已知均值为10，方差为1，则的均值和方差分别为（）A.20，2 B.21，2 C.21，4 D.20，4答案：C解析：思路：利用均值和方差的性质可得结果.解答过程：因为均值为10，方差为1，所以的均值为，方差为.故选：C.3.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（

）A. B.C. D.答案：A解析：思路：先作出梯形的还原图，再计算对角线的长度.解答过程：由直观图知原几何图形是直角梯形，如图，由斜二测画法可知，，.4.已知向量，，若，则（）A.1 B.2 C.-1 D.-2答案：A解析：思路：利用公式将条件化简得到，再利用数量积的坐标运算求的值.解答过程：若，则，展开整理得.又向量，，所以，.故选：A.5.如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段，C，O，D为线段AB的四等分点，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由侧面展开图可确定圆台的上下底面半径和母线长，利用圆台的体积公式求解即可.解答过程：由圆台的侧面展开图可求得圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，从而圆台的高为，所以圆台的体积.6.已知，则的值为（）A. B. C.－ D.答案：B解析：思路：利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解.解答过程：，故选：B7.已知定义在上的偶函数满足且，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据函数的周期性与对称性可得解.解答过程：由，令，得，又令得，再令，，又，所以，又，，所以，为的一个周期，，即，故选：A．8.如果函数在区间上是凸函数，那么对于区间内的任意，，…，，都有，若在区间上是凸函数，那么在中，的最大值是（）A. B.3 C. D.答案：D解析：思路：利用“凸函数”的定义得到恒成立的不等式，利用三角形的内角和为，即可求出最大值．解答过程：因为在区间，上是“凸函数”，所以得即：的最大值是故选：D.方法提示：本题考查理解题中的新定义，并利用新定义求最值，还运用三角形的内角和．二、多选题（每题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.在如图所示的网格中，每一个小正方形的边长均为1，则下列说法正确的是（）A. B.在方向上的投影向量为C.与的夹角为30° D.答案：AD解析：思路：建立平面直角坐标系，求出，，，四点坐标，利用坐标进行向量的坐标运算即可求解.解答过程：以点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系下，，,，，所以,，，，由于，所以，A正确；根据投影向量的定义，结合图象，在方向上的投影向量为，B错误；，所以与的夹角不是为30°，C错误；，则，D正确．故选：AD10.设正数满足，则下列说法正确的是（）A.的最大值为1B.的最小值为C.的最小值为D.的最小值为答案：BCD解析：思路：A：先分析的范围，然后将平方再开方并结合基本不等式可求解出最大值；B：先分析出的取值范围，结合对数函数的单调性可知的最小值；C：将式中化为，然后化简并结合基本不等式求解出最小值，D：将原式乘以，然后化简并结合基本不等式求解出最小值.解答过程：对于A：因为，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为，故A错误；对于B：因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，由对数函数单调性可知，所以的最小值为，故B正确；对于C：因为，当且仅当，即时取等号，故C正确；对于D：因为，当且仅当，即时等号，故D正确；故选：BCD.11.已知正方体的棱长为1，，其中，，且，则下列选项正确的是（）A.平面 B.异面直线与所成的角为C.的轨迹长度为 D.取最小值答案：AC解析：思路：由题意可得在线段上，通过面面平行的判断定理可得平面平面，再由性质定理即可判断A；由异面直线所成角，可知直线与所成的角为，根据是边长为的等边三角形，即可判断B；由A可知的轨迹为线段，即可判断C；将矩形与正三角形展开在同一平面内，利用余弦定理求解后，即可判断D．解答过程：因为，其中，，且，所以在线段上，在正方体中，，又因为平面,平面，所以平面，同理可得平面，又因为，平面,，所以平面平面，又因为平面，所以平面，故A正确；因为，所以异面直线与所成的角为，易知是边长为的等边三角形，所以，即异面直线与所成的角为，故B错误；由A可知的轨迹为线段，其长度为，故C正确；将矩形与正三角形展开在同一平面内，如图所示：当为与的交点时，取最小值，此时在中，，，,由余弦定理可得，即取最小值为，故D错误.三、填空题（每题5分，共15分）12.已知复数，则复数的模为________．答案：解析：解答过程：，则．13.第十五届全国运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”一亮相，好评不断，这对吉祥物不仅在体育赛事中扮演着重要角色，还成为了文化自信与家国情怀的象征．现工厂决定从只“喜洋洋”，只“乐融融”和个全运会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本进行质量检测，若“喜洋洋”抽取了只，则______．答案：解析：思路：根据分层随机抽样的比例即可得到答案.解答过程：总体中“喜洋洋”、“乐融融”和会徽的数量分别为、和，已知“喜洋洋”抽取了只，抽样比为，根据分层随机抽样，则样本中“乐融融”的抽取数量为，会徽的抽取数量为，因此，样本总量.14.在中，角、、所对的边分别是、、，已知，则的取值范围是________．答案：解析：思路：由三角恒等变换可得，从而可得，，从而可求得，由正弦定理及三角恒等变换得，结合余弦函数的性质求解即可.解答过程：因为，即，所以，即，所以，因为，所以，所以，，由，解得，所以，因为，所以，，所以.四、解答题（共5大题，共77分）15.某学校举办了一场党史知识竞赛活动，共有名学生参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的得分情况，从中抽取了名学生的得分（得分均为整数，满分为分）进行统计，所有学生的得分都不低于分，将这名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组，得到如下的频率分布直方图.（1）求图中的值，并估计此次竞赛活动中学生得分的第百分位数；（2）根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动学生得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的名学生中有多少名学生获奖.答案：（1），第百分位数为分（2）平均值为分，名学生获奖解析：思路：（1）根据频率和为可求得；由频率分布直方图估计百分位数的方法可求得结果；（2）根据频率分布直方图估计平均值的方法可求得，进而估计得到得分不低于平均值的频率，由频率和频数关系可求得估计值.（1）由频率分布直方图知：，解得：；设此次竞赛活动学生得分的第百分位数为分，数据落在内的频率为，落在内的频率为，，，解得：，即此次竞赛活动学生得分的第百分位数为分.（2）由频率分布直方图及（1）知：数据落在，，，的频率分别为，，，，此次竞赛活动学生得分的平均值，此次竞赛活动学生得分不低于分的频率为，在参赛的名学生中，估计有名学生获奖.16.如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的四等分点.设，.（1）用，表示，；（2）若，，，求与的夹角的余弦值.答案：（1）,（2）解析：思路：（1）利用向量的三角形法则即可求解（2）根据向量夹角公式即可求解；（1）因为点是的中点，点，分别是，的四等分点所以，因为，.所以（2）因为，，，所以，所以，令与的夹角为，所以与的夹角的余弦值为.17.已知函数.（1）求函数在上的最小值；（2）已知，，分别为内角，，的对边，，，且，求边的长.答案：（1）；（2）8.解析：思路：（1）先用和的正弦公式展开，再利用辅助角公式化简，即可根据的范围求出最小值；（2）由可求出，由可得，再利用正弦定理即可解出.解答过程：（1），又，所以，所以当即时，取得最小值，所以，（2）因为，，所以，又，所以，所以由正弦定理有，所以.方法提示：本题考查简单的三角恒等变换，考查正弦定理的应用，属于基础题.18.在多面体ABCDEF中，，且，.（1）证明：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值；（3）在（2）的条件下，求该多面体的体积.答案：（1）证明见解析；（2）（3）16解析：思路：（1）利用余弦定理计算可得，再利用勾股定理可得，同理可得，由线面垂直判定定理可证明平面，再由线面垂直性质可得；（2）根据线段长度作出二面角的平面角，再由余弦定理即可求得结果；（3）将多面体分割成四棱锥和三棱锥两部分，再利用体积公式求出两部分体积相加即可.（1）在中，，，由余弦定理可得，即；满足，即；又，所以；同理可得，因为，平面，，所以平面,又平面，所以；又因为，，所以四边形是平行四边形；因此，所以.（2）若平面平面,由（1）知，所以可得平面，平面，所以，且，，由勾股定理可知，取的中点为，连接，如下图所示：易知，即可得即为二面角的平面角，显然，，又，在中，，即可得二面角的余弦值为.（3）连接，如下图所示：易知多面体的体积等于四棱锥的体积加上三棱锥的体积；由（2）可知和分别是四棱锥和三棱锥的高，易知，，可得多面体的体积.19.若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”．定义在上的奇函数，当时，．（1）求的解析式；（2）求函数在内的“倒域区间”；（3）若函数在定义域内所有“倒域区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数m，使集合恰含有2个元素？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．答案：（1）；（2）；（3）存在，．解析：思路：（1）运用奇函数的性质即可求得函数的解析式；（2）根据题意列出方程组，从而求解；（3）分析题意得出，从而只需考虑或两种情况；再根据（2）的结论求出，从而根据方程思想求m的值．（1）当时，，所以（2）设，显然在上递减，所以